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1．5　向量的数量积
最新课程标准
1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．会用数量积判定两个平面向量的垂直关系．
学科核心素养
1.理解向量投影的概念，会求向量的夹角与投影向量，会求两个向量的数量积．(逻辑推理、数学运算)
2．理解向量数量积的运算律，会用向量的数量积表示向量的夹角，求向量的模，判断两个向量的垂直关系．(逻辑推理、数学运算)
1.5.1　数量积的定义及计算
导学
教材要点
要点一　数量积的定义
(1)设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，则定义a·b＝_________为a与b的数量积．
(2)a·b＝0 ________．
状元随笔　(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；
(2)数量积的结果为数量，不再是向量；
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角〈〉决定：当〈〉是锐角时，数量积为正；当〈〉是钝角时，数量积为负；当〈〉是直角时，数量积等于零．
要点二　投影
(1)设a，b是两个非零向量，这两个向量的夹角为α，在平面内任取一点O，作＝a，＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量；投影向量的长度OM1|＝|||cos α|称为投影长；____________称为在上的投影．
(2)a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的投影________的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上的投影________的乘积．
状元随笔　(1)若是两个非零向量，两个向量的夹角为〈〉在方向上的投影||cos α的计算公式为||cos α＝
(2)向量在向量方向上的投影||cos α可以为正，可以为负，也可以为0.
要点三　数量积的运算律
设a，b，c是任意向量，λ是任意实数，则
(1)交换律：a·b＝________；
(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：(a＋b)·c＝________．
状元随笔　(1)向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且＝，但得不到＝.
(2)() ·≠·()，因为是数量积，是实数，不是向量，所以() ·与向量共线，·()与向量共线，因此，() ·＝·()在一般情况下不成立．
(3)推论：( ±)2＝±2.
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两向量的数量积仍是一个向量．(　　)
(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ＞0 a·b＞0.(　　)
(3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　)
(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.(　　)
2．已知单位向量a，b的夹角为60°，则a·b＝(　　)
A. B．
C．1 D．－
3．若|a|＝1，|b|＝2，向量a与向量b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为(　　)
A．－b B．b
C．－b D．b
4．若向量a，b满足|a|＝，|b|＝，a·b＝－5，则a与b的夹角为________．
导思
题型一　向量数量积的计算
角度1　向量数量积的计算
例1　已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．
总结
求向量的数量积的方法
求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量的数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，使问题转化为两个单一向量的数量积，再用数量积公式计算．
角度2　几何图形中向量的数量积的计算
例2　在边长为3的等边三角形ABC中，＝，则·＝(　　)
A． B．
C．－ D．
总结
解决几何图形中向量的数量积运算问题的思路方法
(1)解决几何图形中向量的数量积运算问题，要充分利用图形特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量．
(2)向量的夹角是由向量的方向确定的，在△ABC中，注意与与与的夹角不是∠C，∠A，∠B，而是它们的补角．
(3)设D是△ABC的边BC的中点，则＝)．
跟踪训练1　(1)已知向量a与b的夹角θ＝120°，|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝(　　)
A．－6 B．－6
C．6 D．6
(2)在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于________．
题型二　向量数量积的几何意义
例3　如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
总结
求投影向量的方法
(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线，直接得到投影向量．
(2)首先根据题意确定向量a的模，与b同向的单位向量e，及两向量a与b的夹角θ，然后依据公式|a|cos θ·e计算．
跟踪训练2　(1)若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b的方向上的投影向量的模长为(　　)
A．2 B．
C．2 D．4
(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是与b方向相同的单位向量，则a在b上的投影向量为________．
题型三　向量数量积的应用
角度1　求两向量的夹角
例4　已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，则a与b的夹角为________．
总结
求向量a与b夹角的关键是计算a·b及|a||b|，利用cos θ＝，θ∈[0，π]，求出θ的值．在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos θ的值．
角度2　求向量的模
例5　(1)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则|2a＋b|＝(　　)
A．2 B．2
C．4 D．12
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a与b的夹角为60°，则|b|＝________．
角度3　两向量的垂直问题
例6　已知向量a，b的夹角为π，|a|＝1，|b|＝2.若2a－b和ta＋b垂直，求实数t的值．
总结
向量垂直问题的处理思路
解决与垂直相关题目的依据是a⊥b a·b＝0，利用数量积的运算律代入，结合与向量的模、夹角相关的知识解题．
跟踪训练3　(1)已知单位向量a，b满足a·b＝，则a与b夹角的大小为________；|a－2b|＝________．
(2)设向量e1，e2为单位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，则k＝________．
易错辨析　忽视向量共线的特殊情况出错
例7　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围．
解析：由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝＜0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，化简得2t2＋15t＋7＜0.
解得－7＜t＜－.
当向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为180°时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ＜0，则
解得
∴所求实数t的取值范围是(－7，－，－).
易错点
易错原因 纠错心得
(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0包括了向量共线反向的情况，若忽视了这种情况，就得到了错误的答案. 若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负，反之不成立．所以解题时注意结论的应用．
课时训练
1．已知a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
2．已知正方形ABCD的边长为1，则·＝(　　)
A． B．1
C． D．2
3．已知e为单位向量，|a|＝4，当向量e，a的夹角等于30°时，向量a在向量e上的投影向量为(　　)
A．2e B．2e
C．2e D．e
4．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
温馨提示：请完成课时作业(七)
1．5　向量的数量积
1．5.1　数量积的定义及计算
导学
要点一
(1)|a||b|cos 〈a，b〉　(2)a⊥b
要点二
(1)||cos α　(2)|b|cos α　|a|cos α
要点三
(1)b·a　(3)a·c＋b·c
[练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：由向量的数量积公式a·b＝|a||b|cos θ＝1×1×＝.
答案：A
3．解析：a在b上的投影向量是|a|cos θ·＝1×＝b.
答案：D
4．解析：cos 〈a，b〉＝＝＝－，
∴夹角为.
答案：
导思
例1　解析：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 120°＝－3.
(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.
例2　解析：＝＝＝1，
·＝·cos (180°－60°)＝3×1×＝－.
答案：C
跟踪训练1　解析：(1)根据平面向量数量积的定义可得a·b＝|a|·|b|·cos 120°＝3×4×(－)＝－6.
(2)·＝()·＝||2＋·＝||2＝||2＝2.
答案：(1)B　(2)2
例3　解析：(1)如图，连接AD.因为D为BC的中点，AB＝AC，
所以AD⊥BC.设与同方向的单位向量为e，又BD＝DC＝，且与的夹角为150°，
所以在上的投影向量||cos 150°e＝－e＝－＝－＝.
(2)如图，延长CB至点M，使BM＝CD，过点M作AB延长线的垂线MN，并交AB的延长线于点N，易知＝，BN＝.
在上的投影向量即为在上的投影向量．
又MN⊥BN，BN＝与的夹角为150°，
故在上的投影向量为＝－，即在上的投影向量为－.
跟踪训练2　解析：(1)a·b＝|a|·|b|cos 30°＝4×2×＝4，
a在b的方向上的投影向量为：|a|cos 30°×＝4×＝b，
所以a在b的方向上的投影向量的模长为|b|＝2.
(2) 解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝－，
所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e＝3×·e＝－e.
答案：(1)C　(2)－e
例4　解析：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos 〈a，b〉＝6cos 〈a，b〉，
∵(a＋2b)·(a－3b)＝－18，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝9－6cos 〈a，b〉－6×4＝－18
整理得：cos 〈a，b〉＝，
∴a与b的夹角为.
答案：
例5　解析：(1)由题意，向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝－1，
又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，
所以|2a＋b|＝2.
(2) 解析：由题意得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos 60°＝，即－|b|＝，解得|b|＝.
答案：(1)A　(2)
例6　解析：由题设知a·b＝|a||b|cos ＝1×2×＝－1
又因为2a－b和ta＋b垂直，
所以(2a－b)·(ta＋b)＝0，
即2ta2＋(2－t)a·b－b2＝0，
所以2t－(2－t)－4＝0，所以t＝2.
跟踪训练3　解析：(1)设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，又θ∈，所以θ＝；
|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4＝3，
所以|a－2b|＝.
(2)因为向量e1，e2为单位正交基，a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，a⊥b，
所以(2e1－e2)·(e1＋ke2)＝0，即＝0，
所以2－k＝0，即k＝2.
答案：(1)　(2)2
[课时训练]
1．解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)＝3.
答案：B
2．解析：如图，因为ABCD是边长为1的正方形，所以＝·＝·＝2＋·＝1.
答案：B
3．解析：∵向量a在向量e上的投影数量为|a|cos 〈a，e〉＝4cos 30°＝2，
∴向量a在向量e上的投影向量为2e.
答案：A
4．解析：由向量垂直得
即
化简得
∴cos 〈a，b〉＝＝＝，
∴a与b的夹角为.

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