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1．5.2　数量积的坐标表示及其计算
导学
教材要点
要点一　数量积的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________．
状元随笔　对于·＝||·||·cos θ和 ·＝x1x2＋y1y2，两者无本质区别，计算时根据已知条件选用即可．可用坐标运算的结果判断cos θ的正负．
要点二　向量的长度
若a＝(x，y)，则|a|＝____________．
要点三　夹角余弦值
设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos 〈a，b〉＝＝____________．
要点四　垂直条件
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b a·b＝0 ____________．
状元随笔　这个结论与∥ x1y2－x2y1＝0不能混淆．可以从平行与垂直的定义来理解，设非零向量的起点均为原点O，的终点为A，的终点为B，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．若∥，且x1，x2不为0，则kOA＝kOB，即＝，得＝0.垂直则是从数量积的角度理解，若⊥，则cos θ＝0(θ为向量与的夹角)，·＝0，即x1x2＋y1y2＝0.
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．(　　)
(2)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1x2＋y1y2>0，则向量a，b的夹角为锐角．(　　)
(3)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(　　)
(4)两向量a与b的夹角公式cos θ＝的使用条件是a≠0且b≠0.(　　)
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是(　　)
A．23 B．7
C．－23 D．－7
3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．已知a＝(1，)，b＝(－2，0)，则|a＋b|＝________．
导思
题型一　数量积的坐标运算
例1　(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　)
A．(－15，12) B．0
C．－3 D．－11
(2)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝，D，E是线段BC上的点，且DE＝BC，则·的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
总结
向量数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，看到题目中的直角条件要敏锐地产生建系的想法，并写出相应点的坐标求解．
跟踪训练1　(1)已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，c＝(－1，2)，则(a＋b)·c＝________
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________．
题型二　向量的长度
例2　已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．
(1)求a－2b及其模的大小；
(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.
总结
向量长度的计算，如果给出了坐标，先进行线性运算，再利用向量的长度公式计算．
跟踪训练2　(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　)
A． B． C． D．
(2)平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
题型三　向量的夹角
例3　已知向量a＝(1，1)，b＝(0，－2)，当k为何值时，
(1)ka－b与a＋b共线？
(2)ka－b与a＋b的夹角为120°？
总结
利用平面向量数量积的两种表示，建立方程，再解方程求解，是处理这类问题的一种重要思路．
跟踪训练3　已知向量a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，c＝λa＋b(λ≠0)，且|c|＝.
(1)求实数λ的值；
(2)求a与c夹角的余弦值．
题型四　向量的垂直
例4　已知向量a，b，c在同一平面上，且a＝(－2，1)．
(1)若a∥c，且|c|＝25，求向量c的坐标﹔
(2)若b＝(3，2)，且ka－b与a＋2b垂直，求k的值．,
总结
“a·b＝0 a⊥b”是常用的结论，需牢记！
跟踪训练4　已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．
易错辨析　考虑问题不周致误
例5　已知A(1，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)，判断由此四点构成的四边形的形状．
解析：因为＝(4，0)－(1，2)＝(3，－2)，＝(8，6)－(5，8)＝(3，－2)，
所以＝，
所以四边形ABCD是平行四边形．
因为＝(5，8)－(1，2)＝(4，6)，
所以·＝3×4＋(－2)×6＝0，所以⊥，
所以四边形ABCD是矩形．
因为||＝，||＝2，||≠||，
所以四边形ABCD不是正方形．
综上，四边形ABCD是矩形．
易错点
易错原因 纠错心得
只考虑到了＝，未进一步分析与是否垂直以及它们的模是否相等，从而得到错误答案：四边形ABCD是平行四边形． 在判断三角形，四边形的形状时，要从向量的共线，向量的垂直、向量的模及夹角等方面考虑，考虑问题要周全，防止出错．
课时训练
1．设向量a＝(3，2)，b＝(－1，4)，则a·b＝(　　)
A．11 B．9
C．7 D．5
2．已知a，b为平面向量，且a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)
A． B．－
C． D．－
3．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，1)，c＝(k，4)，且(a－b)⊥c，则k＝(　　)
A．－6 B．－1
C．1 D．6
4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为________．
5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量a与b夹角的大小．
温馨提示：请完成课时作业(八)
1．5.2　数量积的坐标表示及其计算
导学
要点一
x1x2＋y1y2
要点二
要点三
要点四
x1x2＋y1y2＝0
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.
答案：D
3．解析：由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
答案：A
4．解析：因为a＋b＝(－1，)，所以|a＋b|＝＝2.
答案：2
导思
例1　解析：(1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
(2)
解析：如图所示，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，设D(x，0)，
则E.
∴＝(x，－1)，＝，
∴·＝x2＋x＋1＝＋，
当x＝－时，·取得最小值；
当x＝－1或时，·取得最大值，
所以·的取值范围是.
答案：(1)C　(2)A
跟踪训练1　解析：(1)因为向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，所以a＋b＝(－1，5)，
所以(a＋b)·c＝－1×(－1)＋5×2＝11，
(2)以AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系(也可以以A点为坐标原点)．则A(－1，0)，B(1，0)，D(－1，2)，E(0，2)，则＝(－2，2)，＝(1，2)，
于是·＝1×(－2)＋2×2＝2.
答案：(1)11　(2)2
例2　解析：(1)∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，
∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3＋4，5－2)＝(7，3)，
∴|a－2b|＝＝.
(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，
∴c＝a＋b＝(1，6)，
∴|c|＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)因为a∥b，所以1·y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.
(2)∵a＝(2，0)，∴|a|＝2
∴|a＋2b|＝
＝＝2.
答案：(1)A　(2)2
例3　解析：因为a＝(1，1)，b＝(0，－2)，
所以ka－b＝k(1，1)－(0，－2)＝(k，k＋2)，
a＋b＝(1，1)＋(0，－2)＝(1，－1)．
(1)因为ka－b与a＋b共线，
所以k＋2－(－k)＝0，解得k＝－1.
(2)因为|ka－b|＝，|a＋b|＝，所以(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
而ka－b与a＋b的夹角为120°，
所以cos 120°＝，
即－＝，
化简，整理得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±.
跟踪训练3　解析：(1)由向量a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，c＝λa＋b(λ≠0)
则c＝λa＋b＝λ(－1，3)＋(2，－1)＝(2－λ，3λ－1)，又|c|＝，
所以|c|＝＝，解得λ＝1或λ＝0(舍)
所以λ＝1.
(2)当λ＝1时，c＝(1，2)
则cos 〈a，c〉＝＝＝.
例4　解析：(1)∵a∥c，设c＝λa＝(－2λ，λ)
∵|c|＝25，即＝25，则|λ|＝25.
∴|λ|＝5，∴λ＝±5
c＝(－10，5)或c＝(10，－5)．
(2)ka－b＝(－2k－3，k－2)，a＋2b＝(4，5)
∵(ka－b)⊥(a＋2b)，∴(ka－b)·(a＋2b)＝0，即4(－2k－3)＋5(k－2)＝0即－3k＝22，则k＝－.
跟踪训练4　解析：∵a＝(3，1)，b＝(1，0)，∴c＝a＋kb＝(3＋k，1)，
∵a⊥c，∴a·c＝3(3＋k)＋1×1＝0，解得k＝－.
答案：－
[课时训练]
1．解析：∵a＝(3，2)，b＝(－1，4)，
∴a·b＝3×(－1)＋2×4＝－3＋8＝5，故选D.
答案：D
2．解析：∵a＝(4，3)，∴2a＝(8，6)．又2a＋b＝(3，18)，
∴b＝(－5，12)，∴a·b＝－20＋36＝16.
又∵|a|＝5，|b|＝13，
∴cos 〈a，b〉＝＝.
答案：C
3．解析：∵a＝(－1，2)，b＝(3，1)，c＝(k，4)，∴a－b＝(－4，1)，∵(a－b)⊥c，∴－4k＋4＝0，解得k＝1.
答案：C
4.解析：建立如图所示的直角坐标系，则A(0，)，B(－，0)，C(，0)，D(－)．
设F(x0，y0)，则＝(，－)，＝(x0，y0)．
∵＝2，∴F(，－)．
∴＝(，－)，＝(1，0)，
∴·＝.
答案：
5．解析：(1)由题意得a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，得a·(a＋b)＝6＋1－x＝0，解得x＝7.
∴b＝(1，7)．∴|b|＝＝5.
(2)a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，故2x－1＝－7，
解得x＝－3.
∴b＝(1，－3)．
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为.

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