资源简介

1．6.2　正弦定理
第1课时　正弦定理(1)
导学
教材要点
要点一　正弦定理及常见变形
文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比值相等
符号 语言 ________＝________＝________
状元随笔　(1)正弦定理对任意三角形都适用．
(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．
(3)正弦定理是直角三角关系的一个推广，它的主要功能是实现三角形中的边角互化．
(4)通过正弦定理可“知三求一”．
要点二　利用正弦求三角形面积
S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)正弦定理对任意的三角形都成立．(　　)
(2)在△ABC中，等式b sin C＝c sin B总能成立．(　　)
(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　)
(4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(　　)
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝，A＝60°，B＝45°，则b＝(　　)
A． B．2 C． D．2
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A． B． C． D．1
4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________．
导思
题型一 角及任意一边解三角形
例1　在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
总结
(1)正弦定理实际上是三个等式：＝＝＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
跟踪训练1　△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　)
A．1 B． C． D．2
题型二 边及其中一边的对角解三角形
例2　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形．
变式探究　若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
总结
已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤
(1)利用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．
(2)利用三角形内角和为180°求出第三个角．
(3)根据正弦定理求出第三条边．
其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
跟踪训练2　(1)若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，a＝2，b＝4，则B＝(　　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．以上都不对
(2)(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，C＝70°
B．a＝7，b＝5，A＝60°
C．a＝14，b＝16，A＝45°
D．a＝3，c＝4，cos C＝
题型三　求三角形的面积
例3　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝.
(1)求sin C的值；
(2)求△ABC的面积．
总结
利用公式“S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A”求三角形的面积，关键是要求出两边及这两边的夹角．
跟踪训练3　(1)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　)
A． B．
C． D．＋1
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，B＝120°，则△ABC的面积为________．
易错辨析　解三角形时忽略隐含条件出错
例4　在△ABC中，若∠A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．135° D．45°或135°
解析：根据正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝.又因为BC>AC，所以A>B，所以角B的大小为45°.
答案：B
易错点
易错原因 纠错心得
忽略BC＝4>4＝AC A>B这一条件，导致选D出错．即忽略了三角形中大边对大角的条件． 已知三角形的两边及其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，由于三角形内角的正弦都为正的，而这个内角可能为锐角，也可能为钝角，因此需要由题中的隐含条件来判断角的情况．
课时训练
1．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝30°，B＝45°，a＝6，则b等于(　　)
A．3 B．6
C．2 D．4
2．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3，a＝2，C＝150°，则sin A＝(　　)
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，若a＝2，b＝2，∠A＝30°，则∠B＝(　　)
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
4．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，C＝60°，则CA＝________．
5．如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上一点，AD＝10，AC＝14，CD＝6，求AB的长度．
第2课时　正弦定理(2)
导学
教材要点
要点一　扩充的正弦定理
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则＝＝＝________．
要点二　几个常用结论
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(4)＝＝＝.
要点三　三角形的面积公式
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ha，hb，hc分别为三条边上的高，R和r分别为△ABC的外接圆和内切圆半径，S为△ABC的面积，则
(1)S＝aha＝bhb＝chc；
(2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B；
(3)S＝；
(4)S＝2R2sin A sin B sin C；
(5)S＝(a＋b＋c)·r；
(6)S＝，[p＝(a＋b＋c)].
练习
1.在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　)
A．A>B
B．AC．A≤B
D．A，B的大小关系不能确定
2．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C分别所对的边，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝(　　)
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．1∶∶2 D．2∶∶1
3．在△ABC中，a cos A＝b cos B，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
4．在△ABC中，A、B、C成等差数列，且b＝2，则外接圆的半径R＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导思
题型一　与三角形外接圆半径有关的问题
例1　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c cos A＋a cos C＝3a.
(1)求的值；
(2)若a＝1，c＝，求△ABC外接圆的面积．
总结
解决与三角形外接圆有关的问题时，关键会应用扩充的正弦定理求出外接圆的半径，然后再解决其它问题．
跟踪训练1　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝2，∠C＝.
(1)求△ABC外接圆的面积S；
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
题型二　判断三角形形状
例2　(1)在△ABC中，若b cos A cos C＋c cos A cos B＝0，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
(2)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则△ABC的形状为________(填“锐角三角形”“钝角三角形”或“直角三角形”)．
总结
结合三角形的性质和正、余弦定理判断三角形的形状，是解三角形中的一类重要问题．解决这类问题时，一是要注意三角形的有关结论，如内角和定值、勾股定理、余弦定理、正弦定理以及等腰三角形和正三角形的一些性质；二是要注意三角函数的相关性质和结论．
跟踪训练2　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
题型三　正、余弦定理的综合应用
例3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，m＝(sin B，5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直．
(1)求sin A的值；
(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．
总结
通过正弦定理或余弦定理进行边角互化，综合利用三角恒等变换等知识推出三角形的边角关系求值．
跟踪训练3　在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(a cos B＋b cos A)＝2c sin B.
(1)若cos A＝，求sin (2A＋B)的值；
(2)若a＋c＝6，b＝2，求△ABC的面积．
课时训练
1．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，则的值为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．4 B．2 C．4 D．1
2．在△ABC中，若BC＝8，cos ∠BAC＝，则△ABC外接圆的直径为(　　)
A．3 B．6 C．12 D．24
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2a cos B.则△ABC的形状一定为(　　)
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝2sin C，a2＋c2－ac＝b2，则∠C＝________．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝，b＝5，c＝2.
(1)求角A的大小；
(2)求sin C的值．
1．6.2　正弦定理
第1课时　正弦定理(1)
导学
要点一
正弦　
[练习]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：由正弦定理可得＝，即＝，解得b＝.
答案：A
3．解析：∵a＝3，b＝5，sin A＝，
∴由正弦定理得sin B＝＝＝.
答案：B
4．解析：由正弦定理得
sin B＝＝＝，
又b答案：
导思
例1　解析：因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2()．
跟踪训练1　解析：由已知得C＝180°－B－A＝30°，根据正弦定理，＝，故c＝2.
答案：D
例2　解析：∵＝，∴sin C＝＝＝，
∵0°当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
变式探究　解析：∵＝，∴sin A＝＝＝.
∵c＝>2＝a，∴C>A.
∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个．
跟踪训练2　解析：(1)由正弦定理可得＝，
∴sin B＝.
∵b>a，∴B>A.∵0°(2) 解析：对于A，因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，结合b＝10，△ABC唯一确定；
对于B，由正弦定理得，sin B＝＝<1.因为b对于C，由正弦定理得，sin B＝＝.因为b>a，所以B>A，且sin B＝>，所以此时B在中有两个解，△ABC不唯一；
对于D，由余弦定理知，a2＋b2－c2＝2ab cos C，代入得b2－2b－7＝0，
解得b＝1＋2或b＝1－2(舍)，△ABC唯一确定．
答案：(1)C　(2)ABD
例3　解析：(1)因为cos A＝>0，所以A∈，
故sin A＝ ＝，
所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B
＝
＝.
(2)由正弦定理可得＝，所以a＝，
利用三角形的面积公式可得S△ABC＝ab sin C＝＝.
跟踪训练3　解析：(1)由正弦定理＝，可得c＝＝＝2，
因为sin A＝sin (B＋C)＝sin cos ＋cos sin ＝，
因此，S△ABC＝bc sin A＝2＝＋1.
(2)由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即7＝1＋c2－2×c·cos 120°＝c2＋c＋1，即(c－2)(c＋3)＝0，
故c＝2或c＝－3(舍去)．
所以S△ABC＝ac sin 120°＝×1×2×＝.
答案：(1)D　(2)
[课时训练]
1．解析：因为A＝30°，B＝45°，a＝6，
所以由正弦定理得＝＝，
所以b＝6×，得b＝6.
答案：B
2．解析：由正弦定理知：＝，题中，a＝2，c＝3，C＝150°，
∴＝，∴sin A＝＝.
答案：A
3．解析：由＝，得sin B＝＝＝.因为b＞a，所以∠B＞∠A，所以∠B＝60°或∠B＝120°.
答案：B
4．解析：因为锐角△ABC的面积为3，BC＝4，C＝60°，
所以S△ABC＝CB×CA×sin C＝×4×CA×＝3，
所以CA＝3.
答案：3
5．解析：在△ADC中，由余弦定理得
cos ∠ADC＝＝＝－，
∵0°<∠ADC<180°，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝180°－120°＝60°.
在△ABD中，由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝＝5.
第2课时　正弦定理(2)
导学
要点一
2R
[练习]
1．解析：由正弦定理可知：＝，由sin A>sin B a>b A>B.
答案：A
2．解析：由题A∶B∶C＝1∶2∶3且A＋B＋C＝π，∴A＝，B＝，C＝，
由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.
答案：C
3．解析：a cos A＝b cos B，正弦定理可得
2R sin A cos A＝2R sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B，2A∈(0，2π)，2B∈(0，2π)，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
答案：D
4．解析：在△ABC中，A、B、C成等差数列，可得2B＝A＋C
因为A＋B＋C＝π，可得3B＝π，解得B＝，
又因为b＝2，由正弦定理可得2R＝＝＝，可得R＝，
即外接圆的半径R＝.
答案：
导思
例1　解析：(1)因为c cos A＋a cos C＝3a，由正弦定理得
sin C cos A＋sin A cos C＝3sin A，
即sin (A＋C)＝3sin A，
所以sin B＝3sin A，
由正弦定理得＝＝.
(2)因为a＝1，c＝，所以b＝3
所以cos C＝＝＝，
所以sin C＝＝，
由正弦定理得2R＝＝＝，
所以S＝πR2＝π＝.
跟踪训练1　解析：(1)设△ABC外接圆的半径为R，因为c＝2，∠C＝，由正弦定理，可得2R＝＝，
即R＝，
因此外接圆的面积为S＝π×＝.
(2)由sin B＝2sin A及正弦定理，可得b＝2a，由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C，
从而4＝a2＋4a2－4a2×＝3a2，a2＝，
所以S△ABC＝ab sin C＝a×2a×＝a2＝.
例2　解析：(1)由题意变形，利用正弦定理化简可得：
cos A(sin B cos C＋sin C cos B)＝0，
即cos A sin (B＋C)＝0，
所以cos A sin A＝0，
由0所以A＝.
(2) 解析：因为sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，结合正弦定理得a∶b∶c＝2∶3∶4，
设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k>0)，则c>b>a，所以C>B>A，
结合余弦定理cos C＝＝<0，又C∈(0，π)，所以C∈，即C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．
答案：(1)C　(2)钝角三角形
跟踪训练2　解析：由正弦定理可得 sin C即sin [π－(A＋B)]所以sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A故sin A cos B<0
因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，
则△ABC为钝角三角形．
答案：A
例3　解析：(1)∵m＝(sin B，5sin A＋5sin C)与n＝(5sin B－6sin C，sin C－sin A)垂直，
∴m·n＝5sin2B－6sinB sin C＋5sin2C－5sin2A＝0，
即sin2B＋sin2C－sin2A＝，
根据正弦定理得b2＋c2－a2＝，
由余弦定理得cos A＝＝.
∵A是△ABC的内角，∴sin A＝＝.
(2)由(1)知b2＋c2－a2＝，∴＝b2＋c2－a2≥2bc－a2.
又∵a＝2，∴bc≤10.
∵△ABC的面积S＝bc sin A＝≤4，
∴△ABC的面积S的最大值为4.
跟踪训练3　解析：(1)因为(a cos B＋b cos A)＝2c sin B，利用正弦定理得：
sin (A＋B)＝2sin C sin B，sin C＝2sin C sin B，
因为B，C∈，所以sin B＝，所以B＝；
因为cos A＝，所以sin A＝，
所以sin 2A＝2sin A cos A＝2×＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝－，
所以sin(2A＋B)＝sin 2A cos B＋cos 2A sin B
＝＝.
(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－2ac－2ac cos B，
又因为a＋c＝6，b＝2，所以ac＝4
所以三角形ABC的面积是S＝ac sin B＝×4×＝.
[课时训练]
1．解析：在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝＝4，
所以a＝4sin A，c＝4sin C，
所以＝＝4.
答案：A
2．解析：∠BAC∈(0，π)，sin ∠BAC＝＝，
所以外接圆的直径2R＝＝＝6.
答案：B
3．解析：∵c＝2a cos B，根据正弦定理可知sin C＝2sin A cos B，
∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin (A＋B)，
∴sin (A＋B)＝2sin A cos B，即sin A cos B－cos A sin B＝sin (A－B)＝0，
所以A＝B，即△ABC是等腰三角形．
答案：B
4．解析：因为sin A＝2sin C，由正弦定理得：a＝2c，代入a2＋c2－ac＝b2，解得：b＝c，
由余弦定理得：cos C＝＝＝，
因为C∈(0，π)，所以∠C＝.
答案：
5．解析：(1)在△ABC中，根据余弦定理得，cos A＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，根据正弦定理＝，
得sin C＝＝＝.