资源简介

1．6.3　解三角形应用举例
导学
教材要点
要点　几个相关概念
(1)基线：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫作基线．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角．如图①.
(3)方向角：从指定方向到目标方向线所成的水平角．
如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°，如图②.
(4)方位角：指从正北方向起按顺时针转到目标方向线所成的水平夹角．如方位角是45°，指北偏东45°，即东北方向．
(5)视角：观察物体的两端，视线张开的夹角，如图③.
状元随笔　利用正弦定理和余弦定理解决有关的实际问题时，经常涉及一些功能性的概念问题．对于这些概念，一般要结合具体问题和图形理解．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(2)题图
(1)东偏北45°的方向就是东北方向．(　　)
(2)如图所示，为了测量隧道AB的长度，可测量数据a，b，γ进行计算．(　　)
(3)俯角和仰角都是对于水平线而言的．(　　)
(4)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
2．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(　　)
A． km B． km
C．1.5 km D．2 km
3．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
4．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　)
A．(30＋30)m B．(30＋15)m
C．(15＋30)m D．(15＋3)m
导思
题型一　测量距离问题
例1　海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A、B两点间的距离，先在珊瑚群岛上取两点C、D，测得CD＝40米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°.
(1)求B，D两点的距离；
(2)求A，B两点的距离．
总结
求距离问题时应注意的两点
(1)选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若有未知量，则先把未知量放在另一确定三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
跟踪训练1　为了测出图中草坪边缘A，B两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与D(A，B，C，D四点共面)，测得AC＝1.6 m，CD＝2 m，BD＝1.8 m，已知cos ∠BDC＝－，tan ∠ACD＝3.
(1)求△ACD的面积；
(2)求A，B两点间的距离．
题型二　测量高度问题
例2　如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝135°，CD＝50米，在点C测得塔顶A的仰角为45°，求塔高AB.
总结
测量高度问题一般涉及仰角、俯角等，在画图时，要注意运用空间想象力．解题时要尽可能地寻找直角三角形，利用直角三角形中的特殊关系解决问题，避免复杂的运算．　
跟踪训练2　圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．犇犇同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为35 m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，则索菲亚教堂的高度为(　　)
A．44 m　　B．47 m C．50 m　　D．53 m
题型三　测量角度问题
例3　如图，A、B是某海域位于南北方向相距15(1＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．
(1)求B、C两点间的距离；
(2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏东多少度(精确到0.01°)？救援船到达C处需要多长时间？
(参考数据：sin 21.79°≈0.37，cos 21.79°≈0.93)
总结
解角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
跟踪训练3　甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________n mile.
易错辨析　把空间问题当作平面问题致误
例4　学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖D的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖D的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.
解析：如图所示，在Rt△ACD中，
∵AC＝10 m，∠DAC＝45°，∴DC＝10 m.
在Rt△DCB中，∵∠DBC＝30°，
∴BC＝10 m.
在△ABC中，
cos ∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°.
答案：30°
易错点
易错原因 纠错心得
画图时，误认为A、B、C三点在同一条线从而得到图形： 把立体图形画成了平面图形致误． 解答此类问题，概括题意正确画出“立体图形”是求解的关键．
课时训练
1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　)
A．东偏北45°10′方向上
B．东偏北45°50′方向上
C．南偏西44°50′方向上
D．西偏南45°50′方向上
2．海上有A、B两个小岛，相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是(　　)
A．10 n mile B．10 n mile
C．5 n mile D．5 n mile
3．如图，CD是一座铁塔，线段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B两点测得塔顶C的仰角分别为60°，45°，又测得AB＝24 m，∠ADB＝30°，则此铁塔的高度为(　　)
A．18 m B．120 m
C．32 m D．24 m
4．学校体育馆的“人字形”屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为________ m．
5．如图，某巡逻艇在A处发现在北偏东45°距A处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．
1．6.3　解三角形应用举例
导学
[练习]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝ (km)．
答案：A
3．解析：根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图所示，因为两直线平行内错角相等，所以α＝β.
答案：B
4．解析：方法一　在△ABP中，由正弦定理可得＝，
则PB＝＝30()(m)
设树的高度为h，则h＝PB sin 45°＝(30＋30)m.
方法二　设树的高度为h，则AB＝＝60，解得h＝(30＋30) m.
答案：A
导思
例1　解析：(1)由题意可知∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，CD＝40.
所以∠DCB＝135°，∠DBC＝30°，
在△BCD中，由正弦定理，得＝.
所以BD＝＝＝40.
所以B，D两点的距离为40米．
(2)在△ACD中，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，
所以∠ADC＝150°，∠DAC＝15°，
所以AD＝DC＝40米．
在△ABD中，由余弦定理得：
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB
＝402＋(40)2－2×40×40＝8 000，
所以AB＝40，
所以A、B两点的距离为40米．
跟踪训练1　解析：(1)因为tan ∠ACD＝3，可得sin ∠ACD＝，
所以S△ACD＝AC·CD·sin ∠ACD＝ m2.
(2)因为tan ∠ACD＝3，所以cos ∠ACD＝，
所以AD2＝1.62＋22－2×1.6×2×＝5.76，则AD＝2.4，
因为cos ∠ADC＝＝，所以sin ∠ADC＝，
又cos ∠BDC＝－，所以∠ADB＝，
所以AB＝＝＝3 m．
例2　解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝180°－30°－135°＝15°，
∵sin ∠CBD＝sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，
由正弦定理＝得BC＝＝＝50(＋1)．
在Rt△ABC中∠ACB＝45°.∴AB＝BC＝50(＋1)．
所以塔高AB为50(＋1)米．
跟踪训练2　解析：由题意知：∠CAM＝60°，∠AMC＝75°，
∴∠ACM＝45°，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝AB，
在△ACM中，由正弦定理得：＝，
∴CM＝＝AB，
在Rt△DCM中，CD＝CM·sin 60°＝AB＝1.5×35＝52.5≈53.
答案：D
例3　解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝30°，则∠ACB＝105°，
sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝＝，
由正弦定理＝得BC＝＝＝＝30(海里)．
(2)△DBC中，∠DBC＝120°，由余弦定理
DC2＝DB2＋BC2－2DB·CB cos ∠DBC＝502＋302－2×50×30cos 120°＝4 900，
DC＝70，t＝＝1.75(小时)，
cos D＝＝≈0.93，D为锐角，
所以D＝21.79°，90°－21.79°＝68.21°
救援船前往营救渔船时的目标方向线的方向是南偏东68.21°.
跟踪训练3　解析：如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv.又∵B＝120°，则在△ABC中，由正弦定理得＝.
即＝，
得sin ∠CAB＝.
∵0°<∠CAB<60°，
∴∠CAB＝30°，∴60°－∠CAB＝60°－30°＝30°，
即甲船应沿北偏东30°方向行驶．
又∵∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝a n mile，
∴AC＝a n mile，即追上时甲船行驶了a n mile.
答案：北偏东30°　a
[课时训练]
1．解析：如图所示
答案：C
2．解析：如图，易知∠ACB＝45°，由正弦定理，得＝，
∴BC＝5 n mile.
答案：D
3．解析：设塔高为h m，因为∠CAD＝60°，∠CBD＝45°，CD⊥AD，CD⊥BD，所以AD＝＝，BD＝＝h.
在△ABD中，由余弦定理得242＝()2＋h2－2××h×cos 30°，解得h＝24.
答案：D
4．解析：△ABC为等腰三角形，A＝30°，所以B＝30°，C＝120°，所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝42＋42－2×4×4×＝48，
所以AB＝4 m.
答案：4
5．解析：设经过t小时在点C处刚好追上走私船，依题意：AC＝12t，BC＝12t，∠ABC＝120°，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以sin ∠BAC＝，所以∠BAC＝30°，
所以AB＝BC＝8＝12t，解得t＝，航行的方向为北偏东75°.
即巡逻艇最少经过小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．

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