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第三章复数
3．1　复数的概念
最新课程标准
1.通过方程的解，认识复数．
2．理解两个复数相等的含义．
学科核心素养
1.理解复数的概念、表示法及相关概念．(数学抽象)
2．理解复平面、实轴、虚轴的概念．(直观想象)
3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的含义．(数学运算、逻辑推理)
导学
教材要点
要点一　复数的概念及其代数表示法
1．复数的定义：形如________(a，b∈R)的数叫做复数．其中i叫做________，满足：i2＝________．
2．复数的表示：复数通常用字母z表示，即________，这种表示形式叫做复数的代数形式，其中实数a叫做复数z的________，实数b叫做复数z的________．
要点二　复数的分类
1．复数的分类
2．集合表示
要点三　复数相等
两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)
相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di，当且仅当________且________．
状元随笔　(1)理解复数与复数集的概念应注意以下几点
①复数集是最大的数集，任何一个数都可写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
②复数的虚部是实数b而非bi.
③复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
(2)复数代数形式的应用
①从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)
②当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．(　　)
(2)复数z1＝2i，z2＝i，则z1>z2.(　　)
(3)复数z＝－1－2i的虚部是2i.(　　)
(4)复数z＝bi是纯虚数．(　　)
2．复数z＝－3－5i的实部和虚部分别是(　　)
A．3和5i B．3和－5i
C．－3和－5i D．－3和－5
3．z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则有(　　)
A．m＝±1 B．m＝－1
C．m＝1 D．m≠1
4．若x，y为实数且满足(2x－y)i＋(x－y)＝3＋2i，则x＝________，y＝________．
导思
题型一　复数的概念
例1　(多选)下列说法中，错误的是(　　)
A．复数由实数、虚数、纯虚数构成
B．若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n
C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数
总结
利用复数的概念时的注意点
(1)复数的代数形式：若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
跟踪训练1　下列说法中，正确的是(　　)
A．1－ai(a∈R)是一个复数
B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小
D．若a>b，则a＋i>b＋i
题型二　复数的分类
例2　已知复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i，当实数m取什么值时，z是：
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
总结
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解，否则容易产生增根．特别要注意，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件为a＝0且b≠0.
跟踪训练2　(1)“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，
①z为实数？
②z为虚数？
③z为纯虚数？
题型三　复数相等
例3　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值．
(2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．
总结
复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程组求解．
跟踪训练3　(1)设i为虚数单位，若2＋ai＝b－3i，a，b∈R，则a＋bi＝(　　)
A．2＋3i B．－3＋2i
C．3－2i D．－3－2i
(2)若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝________．
(3)已知x2－y2＋2xyi＝2i，则z＝x＋yi＝________．
易错辨析　对复数虚部的认识不清致错
例4　若z＝i＋i2(i为虚数单位)，则z的虚部是(　　)
A．1 B．－1 C．i D．－i
解析：z＝i＋i2＝－1＋i，∴z的虚部为1.
答案：A
易错点
易错原因 纠错心得
对复数虚部认识不清，认为虚部是i. 对于复数的实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，而且要注意当a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．
课时训练
1．复数1－2i的虚部为(　　)
A．－2i B．2i C．－2 D．2
2．“a＝－2”是“复数z＝(a2－4)＋(a＋1)i(a，b∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，全集U＝C，则下面结论正确的是(　　)
A．A∪B＝C B． UA＝B
C．A∩ (瘙綂UB)＝ D．B∪ (瘙綂UB)＝C
4．已知x，y∈R，i是虚数单位，x－i＋y＋xi＝3＋yi，则x＝________；y＝________．
5．若x，y∈R，且(x－1)＋yi>2x，求x，y的取值或取值范围．
第三章　复数
3．1　复数的概念
导学
要点一
1．a＋bi　虚数单位　－1
2．z＝a＋bi　实部　虚部
要点二
1．b＝0　b≠0　a＝0　a≠0
要点三
a＝c　b＝d
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：由复数的代数形式可知实部为－3，虚部为－5.
答案：D
3．解析：∵z是纯虚数，∴　解得
∴m＝－1.
答案：B
4．解析：由题意知
解得
答案：－1　－4
导思
例1　解析：A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n；C正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数；D错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数．
答案：ABD
跟踪训练1　解析：由复数的定义知A正确；当a∈R，b＝0时，a＋bi(b∈R)表示实数，故B项错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C项错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D项错误．
答案：A
例2　解析：(1)z为实数时，m2－2m－15＝0，解得m＝5或m＝－3.
(2)z为虚数时，m2－2m－15≠0，解得m≠5且m≠－3.
(3)z为纯虚数时，m2－2m－15≠0，且m2＋5m＋6＝0，解得m＝－2.
跟踪训练2　解析：(1)若a＝1，则复数z＝4i是纯虚数，
若复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i是纯虚数，
则a2－1＝0且a＋1≠0，
所以a＝1.
因此“a＝1”是“复数z＝(a2－1)＋2(a＋1)i(a∈R)为纯虚数”的充要条件．
(2) 解析：①要使z为实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.
②要使z为虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
③要使z为纯虚数，m需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或－2.
答案：(1)A　(2)见解析
例3　解析：(1)由复数相等的充要条件，得解得
(2)设方程的实根为x＝m，
则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
所以解得a＝11或a＝－.
跟踪训练3　解析：(1)由2＋ai＝b－3i，a，b∈R，得a＝－3，b＝2.则a＋bi＝－3＋2i.
解析：(2)由复数相等的充要条件知
∴a＝－4.
(3)∵x2－y2＋2xyi＝2i
∴
解得或.
答案：(1)B　(2)－4　(3)1＋i或－1－i
[课时训练]
1．解析：复数1－2i的虚部为－2.
答案：C
2．解析：a＝－2时，z＝(22－4)＋(－2＋1)i＝－i是纯虚数；z为纯虚数时，a2－4＝0，且a＋1≠0，即a＝±2.
∴“a＝－2”可以推出“z为纯虚数”，反之不成立．
答案：A
3．解析：由复数的分类可知D项正确．
答案：D
4．解析：依题意x＋y＋(x－1)i＝3＋yi，
所以 .
答案：2　1
5．解析：∵(x－1)＋yi>2x，∴y＝0且x－1>2x，∴x<－1，
∴x的取值范围为(－∞，－1)，y＝0.

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