资源简介

3．2　复数的四则运算
最新课程标准
掌握复数代数表示式的四则运算．
学科核心素养
1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算的运算法则．(数学抽象、数学运算)
2．能利用复数代数形式的四则运算法则进行加、减、乘、除混合运算．(数学运算)
第1课时　复数的四则运算(1)
导学
教材要点
要点一　复数的加法与减法
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＋z2＝________，z1－z2＝________．
2．加法运算律：设z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝________．
状元随笔　复数加法运算的理解
(1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形．
(2)在这个规定中，当b＝0，d＝0时，则与实数的加法法则一致．
(3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
要点二　复数的乘法与乘方
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________．
2．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律 z1·z2＝________
结合律 (z1·z2)·z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝________
3．复数的乘方
对任意的复数z，z1，z2及正整数m，n，有
zm·zn＝zm＋n，
(zm)n＝zmn，
(z1·z2)n＝.
特别地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，其中n∈Z.
状元随笔　(1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
(2)复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式，完全平方公式等．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个复数的和(或差)仍然是一个确定的复数．(　　)
(2)两个虚数的和(或差)一定是虚数．(　　)
(3)复数的加法满足结合律，但减法不满足结合律．(　　)
(4)两个虚数相乘的结果可能为实数．(　　)
2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(　　)
A．2＋2i B．4－2i C．2 D．0
3．复数i(2＋i)的虚部为________．
导思
题型一　复数的加减运算
例1　(1)计算(3＋5i)＋(3－4i)＝________；
(2)计算＋(2－i)－＝________；
(3)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.
总结
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
(2)复数的加、减运算结果仍是复数；
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
跟踪训练1　(1)若z＋5－6i＝3＋4i，则复数z＝(　　)
A．－2＋10i B．－1＋5i
C．－4＋10i D．－1＋10i
(2)已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是(　　)
A．1 B． C．－1 D．－i
(3)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________．
题型二　复数的乘法与乘方运算
例2　计算：
(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)；
(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 021.
总结
(1)复数乘法运算的技巧
①复数乘法与实数多项式乘法类似，在计算两个复数的乘积时，先按照多项式的乘法展开，再将i2换成－1，最后合并同类项即可．
②三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数的运算顺序一致．
③在复数乘法运算时，若符合乘法公式，则可直接运用公式计算．例如(a±b)2＝a2±2ab＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．
(2)利用i幂值的周期性解题的技巧
①熟记i幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i.
②对于n∈N*，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
跟踪训练2　(1)复数i(2＋i)的实部为(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
(2)已知i为虚数单位，则i2 020＋i2 021＝________．
题型三　复数加、减、乘和乘方的综合运算
例3　(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2；
(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)．
总结
在复数加、减、乘和乘方的运算中，可以运用一些技巧，以简化运算过程．
跟踪训练3　求(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8的值．
课时训练
1．计算2(5－2i)－3(－1＋i)－5i＝(　　)
A．－8i B．13＋8i C．8＋13i D．13－12i
2．设z1＝1－i，z2＝a＋2ai(a∈R)，其中i是虚数单位，若复数z1＋z2是纯虚数，则有(　　)
A．a＝1 B．a＝ C．a＝0 D．a＝－1
3．设i为虚数单位，若复数z＝(3＋2i)(1－i)2，则z＝(　　)
A．4＋6i B．4－6i C．6＋4i D．6－4i
4．已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的虚部为________．
5．计算：(1－2i)＋(2＋i)(1－4i)－(1＋i)5.
第2课时　复数的四则运算(2)
导学
教材要点
要点一　复数的除法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
则＝＝＝i.状元随笔　复数的除法实质上就是分母实数化的过程，这与实数的除法有所不同．
要点二　代数形式下复数的开平方
(1)若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的平方根为x＋yi(x，y∈R)，则＝a＋bi.由复数相等可得方程组解方程组，可以求出x，y，从而可得复数z＝a＋bi的两个平方根．
(2)一个复数的平方根对应两个复数．
状元随笔　复数的加、减、乘、除、乘方运算是封闭的，即它们运算的结果仍然是一个确定的复数，但复数的开方对应多个复数．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　)
(2)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　)
(3)若z1，z2∈C，且＝0，则z1＝z2＝0.(　　)
2．设zi＝1－2i，则z＝(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．2＋i D．2－i
3．复数z＝＝(　　)
A．－i B．－i
C．i D．i
4．(2－i)÷i＝________．
导思
题型一　复数的除法运算
例1　(1)已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．－＋i D．－－i
(2)i是虚数单位，复数＝________．
总结
(1)在进行复数运算时可以利用＝－i这一等式．
(2)进行复数的除法运算，若分母为a＋bi(a，b∈R)，则可以将分子分母同乘a－bi，从而将分母化为实数，这个过程也可以称为分母实数化．
跟踪训练1　(1)＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)已知a∈R，且＝－2i，那么a＝(　　)
A．－2 B．2
C．4 D．－4
题型二　复数的四则运算
例2　计算：(1)－()2 022；
(2)＋(5＋i19)－()22.
总结
进行复数的四则运算时，注意下面几个等式：
(1)(1＋i)2＝2i；(2)(1－i)2＝－2i；(3)＝－i；
(4)＝i；(5)＝－i.
跟踪训练2　(1)计算：＝(　　)
A．1＋i B．－1＋i
C．1－i D．－1－i
(2)计算：＝________．
题型三　在复数范围内解方程
例3　在复数范围内解方程x2＋6x＋10＝0.
总结
与复数范围内一元二次方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但根的判别式“Δ”不再适用．
跟踪训练3　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是否是方程的根．
课时训练
1．若复数z满足(1－i)z＝2，则z＝(　　)
A．2＋i B．2－i
C．1－i D．1＋i
2．已知i是虚数单位，则＝(　　)
A．1－2i B．2－i
C．2＋i D．1＋2i
3．若复数z＝，则z的虚部为(　　)
A．i B．－i
C． D．－
4．方程x2＋2x＋2＝0在复数范围内的解为x＝________．
5．已知z1＝1－i，z2＝2＋2i，若＝，求z.
3．2　复数的四则运算
第1课时　复数的四则运算(1)
导学
要点一
1．(a＋c)＋(b＋d)i　(a－c)＋(b－d)i
2．z2＋z1　z1＋(z2＋z3)
要点二
1．(ac－bd)＋(bc＋ad)i
2．z2·z1　z1·(z2·z3)　z1z2＋z1z3
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(3－2＋1)＋(2－1－1)i＝2.
答案：C
3．解析：i(2＋i)＝2i＋i2＝－1＋2i，
所以复数i(2＋i)的虚部为2.
答案：2
导思
例1　解析：(1)原式＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i
(2)原式＝i＝1＋i.
(3)∵z＋1－3i＝5－2i，
∴z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
答案：(1)6＋i　(2)1＋i　(3)见解析
跟踪训练1　解析：(1)z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i.
(2)z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，
故复数z的虚部为－1.
(3)z1＝x＋2i，z2＝3－yi，且z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i，
∴即
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：(1)A　(2)C　(3)－1＋10i
例2　解析：(1)(1＋i)(2－i)(3＋2i)＝(2－i＋2i－i2)(3＋2i)＝(3＋i)(3＋2i)＝9＋6i＋3i＋2i2＝7＋9i.
(2)i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2 021＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020)＋i2 021＝0＋0＋…＋0＋i＝i.
跟踪训练2　解析：(1)i(2＋i)＝－1＋2i的实部为－1.
(2)i2 020＋i2 021＝i4×505＋i4×505＋1＝1＋i.
答案：(1)A　(2)1＋i
例3　解析：(1)(1＋2i)(1－2i)＋(3－4i)2
＝1－4i2＋9－24i＋16i2
＝－2－24i.
(2)(1＋i)10(1－i)7－(1＋i)(2＋i)
＝(1＋i)7(1＋i)3(1－i)7－(1＋3i)
＝[(1＋i)(1－i)]7(1＋i)2·(1＋i)－(1＋3i)
＝27×2i(1＋i)－(1＋3i)
＝28(i－1)－(1＋3i)
＝－257＋253i.
跟踪训练3　解析：(3＋i)－(1－2i)2－i20＋(1－i)8＝3＋i－(1－4i－4)－1＋(－2i)4＝21＋5i.
[课时训练]
1．解析：原式＝10－4i＋3－3i－5i＝13－12i.
答案：D
2．解析：∵复数z1＋z2＝1－i＋a＋2ai＝1＋a＋(2a－1)i是纯虚数，∴a＋1＝0，2a－1≠0，∴a＝－1.
答案：D
3．解析：根据复数的乘法运算得：z＝(3＋2i)(1－i)2＝－2i(3＋2i)＝4－6i.
答案：B
4．解析：z＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，所以复数z的虚部为3.
答案：3
5．解析：原式＝(1－2i)＋(6－7i)－(2i)2(1＋i)＝(7－9i)＋4(1＋i)＝11－5i.
第2课时　复数的四则运算(2)
导学
[练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．解析：由已知z＝＝＝＝－2－i.
答案：A
3．解析：z＝＝＝＝i.
答案：D
4．解析：(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.
答案：－1－2i
导思
例1　解析：(1)(1－i)2z＝－2iz＝3＋2i，
z＝＝＝＝－1＋i.
(2)由复数的运算法则，可得＝＝＝i.
答案：(1)B　(2)i
跟踪训练1　解析：(1)＝＝＝
＝－i.
(2)＝＝＝－2i，
所以，解得a＝－2.
答案：(1)D　(2)A
例2　解析：(1)＝－＝－i1 011＝i＋i＝2i.
(2)＋(5＋i19)－＝＋(5－i)－＝i＋5－i＋i＝5＋i.
跟踪训练2　解析：(1)＝＝＝＝－1＋i.
(2)＝
＝＝＝＝1－i.
答案：(1)B　(2)1－i
例3　解析：方法一　因为x2＋6x＋10＝x2＋6x＋9＋1＝(x＋3)2＋1＝0，
所以(x＋3)2＝－1，
又因为i2＝－1，所以(x＋3)2＝i2，
所以x＋3＝±i，即x＝－3±i.
方法二　因为Δ＝62－4×10×1＝－4<0，
所以方程的根为x＝＝－3±i.
跟踪训练3　解析：(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得
∴b＝－2，c＝2.
(2)方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
[课时训练]
1．解析：由题意可得：z＝＝＝＝1＋i.
答案：D
2．解析：＝＝＝1＋2i，故选D.
答案：D
3．解析：因为z＝＝＝＝i，所以z的虚部为－.
答案：D
4．解析：由方程x2＋2x＋2＝0可得(x＋1)2＋1＝0，
即(x＋1)2＝－1＝i2，
所以x＋1＝±i，
所以方程的根为x＝－1±i.
答案：－1±i
5．解析：由＝，得z＝，所以z＝＝＝＝i.

展开更多......

收起↑