资源简介

3．3　复数的几何表示
最新课程标准
1.理解复数的代数表示及其几何意义．
2．了解复数加、减运算的几何意义．
学科核心素养
1.理解复平面、实轴、虚轴的概念．(直观想象)
2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(直观想象、逻辑推理)
3．掌握复数的几何意义，并能简单应用．(直观想象、逻辑推理)
导学
教材要点
要点一　复平面的定义
在平面直角坐标系中，点与全体复数建立一一对应关系的平面来表示复数的平面叫作复平面．x轴叫作________，y轴叫作________，实轴上的点都表示________；除________外，虚轴上的点都表示纯虚数．
状元随笔　复平面上的点的坐标与复数的关系
(1)复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．
(2)表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.
要点二　复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)→复平面内的点________；
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)→平面向量________．
要点三　复数的模
对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，将它在复平面上所对应的向量的模________称为复数z的模，也称为z的绝对值，记作|z|，即|z|＝________．
状元随笔　复平面内|z |的意义
我们知道，在实数集中，实数a的绝对值，即|a|是表示实数a的点与原点O间的距离．那么在复数集中，类似地，|z |是表示复数z的点到坐标原点间的距离，也就是向量的模，|z |＝| |.
要点四　共轭复数
1．概念：对任意复数z＝a＋bi(a，b∈R)，如果保持它的________不变，将________变成它的相反数________，得到的复数a－bi称为原复数z的共轭复数，记作.
2．性质：
①z＝z.
②z·＝|z|2＝||2.
③复平面上两点P、Q关于________对称 它们所对应的复数相互共轭．
要点五　复数加减法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1＋z2是以、为两邻边的________的对角线所对应的复数，即复数的加法可以按照向量的________来进行，如图，这就是复数加法的几何意义．
这两个复数的差z1－z2与向量(等于)对应．作＝，则点Z对应复数z1－z2(如图)，即复数(a－c)＋(b－d)i.
状元随笔　复数减法的几何定义的实质
(1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差．
(2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)实轴和虚轴的单位都是1.(　　)
(2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．(　　)
(3)复数与复平面内的无数多个向量对应．(　　)
(4)若两个复数互为共轭复数，则这两个复数的模相等．(　　)
2．复数1－2i在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，则向量对应的复数为(　　)
A．2－2i B．－8＋2i
C．2 D．8－2i
4．设复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
导思
题型一　复数的几何意义
角度1　复数与复平面内点的位置关系
例1　(1)当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点
①位于第二象限？
②位于直线y＝x上？
总结
(1)判断复数对应的点所在的象限，应先判断复数的实部、虚部的符号，再类比平面直角坐标系进行判断．
(2)根据复数与复平面内的点Z一一对应的关系可通过点Z的位置来求参数的取值．点的横坐标对应复数的实部，点的纵坐标对应复数的虚部．
角度2　复数与复平面内向量的对应关系
例2　(1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量对应的复数为(　　)
A．－3＋2i B．－2＋10i
C．4－2i D．－12i
(2)在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
总结
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
跟踪训练1　(1)在复平面内，O为坐标原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量对应的复数为(　　)
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
(2)已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复数平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
①在实轴上；②在第三象限．
题型二　复数的模与共轭复数
角度1　共轭复数的有关问题
例3　已知复数z＝是z的共轭复数，求z·.
总结
与共轭复数有关的问题，可以利用复数的运算性质求解，也可以利用模与共轭复数的性质求解．
跟踪训练2　如果z＝1＋i，那么＝________．
角度2　复数模的有关问题
例4　(1)已知复数z＝3＋4i(i为虚数单位)，则||＝________．
(2)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则|z|的最大值为________．,
总结
利用复数的概念时的注意点
解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．
跟踪训练3　(1)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　)
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
(2)已知复数z＝3＋ai(a∈R)且|z|<4，则实数a的取值范围是________．
题型三　复数加、减运算的几何意义
例5　如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量对应的复数；
(2)向量对应的复数；
(3)向量对应的复数．
总结
(1)向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据．
(2)利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．
(3)注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
跟踪训练4　(1)已知i为虚数单位，在复平面内，点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D对应的复数是(　　)
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
(2)如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好为平行四边形的四个顶点，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则zA－zC＝________．
易错辨析　对复数加、减运算的几何意义理解不准确致误例6　复数z满足|z－1－i|＝1，则|z＋1＋i|的最小值为________.
解析：因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意义得复数z对应的点的轨迹是以点(1，1)为圆心，1为半径的圆．而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为－1＝2－1.
答案：2－1
易错点
易错原因 纠错心得
误认为复数z对应的点的轨迹是以点(1，－1)为圆心，1为半径的圆致错． 根据复数的几何意义知，|z|表示复数z对应的点Z与原点O的距离，也就是向量的模；|z－a－bi|(a，b∈R)表示复数z对应的点Z与复数a＋bi对应的点A间的距离|ZA|.
课时训练
1．复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．已知平行四边形OABC，O，A，C三点对应的复数分别为0，1＋2i，3－2i，则向量的模等于(　　)
A． B．2
C．4 D．
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．1
C．3 D．2
4．若复数z＝i2＋3i(i为虚数单位)，则||＝________．
5．已知复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
3．3　复数的几何表示
导学
要点一
实轴　虚轴　实数　原点
要点二
1．Z(a，b)
2.＝(a，b)
要点三
要点四
1．实部a　虚部b　－b
2．实轴
要点五
平行四边形　加法
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：复数1－2i在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，位于第四象限．
答案：D
3．解析：向量＋对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.
答案：C
4．解析：由z＝1＋2i得|z|＝＝.
答案：
导思
例1　解析：(1)∵∴2<3m<3
∴3m－2>0，m－1<0
∴z在复平面内对应的点的坐标在第四象限．
(2)根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2).
①由点Z位于第二象限得
解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2，1).
②由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
答案：(1)D　(2)见解析
例2　解析：(1)由复数的几何意义知：
＝(1，4)，＝(－3，6)
∴＋＝(1，4)＋(－3，6)＝(－2，10)
∴向量＋对应的复数为－2＋10i.
(2) 解析：记O为复平面的原点，由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3).
设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
＝ (－5，－5).
由题知，
故点D对应的复数为－3－2i.
答案：(1)B　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)因为复数－1＋2i对应的点为(－1，2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2，1)，所以对应的复数为－2＋i.
(2) 解析：复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1，2a－1)．
①若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝.
②若z对应的点在第三象限，则有解得－1答案：(1)B　(2)见解析
例3　解析：方法一　因为z＝
＝
＝
＝
＝
＝－，
所以＝－，
从而z·＝.
方法二　因为z＝，
所以|z|＝
＝
＝＝，
由z·＝|z|2＝||2，得z·＝.
跟踪训练2　解析：∵z＝1＋i，
∴z2＝(1＋i)2＝1－2＋2i＝－1＋2i，
所以＝－1－2i.
答案：－1－2i
例4　解析：(1)方法一　因为复数z＝3＋4i，所以＝3－4i，故||＝＝5.
方法二　||＝|z|＝＝5.
(2)复数z＝x＋yi且|z－2|＝，复数z的几何意义是复平面内以点(2，0)为圆心，为半径的圆(x－2)2＋y2＝3，
|z|的几何意义是坐标原点到圆上的点的距离，
坐标原点到圆心的距离为2，所以|z|max＝2＋.
答案：(1)5　(2)2＋
跟踪训练3　解析：(1)因为z＝2－i，故＝2＋i，故z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.
(2) 解析：方法一　∵z＝3＋ai(a∈R，i为虚数单位)，
∴|z|＝.
由已知得32＋a2<42，∴a2<7，∴a∈(－)．
方法二　利用复数的几何意义，由|z|<4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，4为半径的圆内(不包括边界)．
由z＝3＋ai知z对应的点在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图可知－答案：(1)C　(2)(－)
例5　解析：(1)因为＝－，所以向量对应的复数为－3－2i.
(2)因为＝，所以向量对应的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为＝，所以向量对应的复数为
(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
跟踪训练4　解析：(1)∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，
∴对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，∵＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，2)，
∴解得
∴点D对应的复数为3＋5i.
(2) 解析：因为＝，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，所以所以所以zA＝4＋2i，
zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
答案：(1)C　(2)2－4i
[课时训练]
1．解析：＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限．
答案：A
2．解析：由于四边形OABC是平行四边形，故＝，
因此||＝||＝|3－2i|＝.
答案：D
3．解析：依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3.
答案：A
4．解析：z＝i2＋3i＝－1＋3i，
所以＝－1－3i，
因此||＝＝.
答案：
5．解析：z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
由题意得解得m<或m>，即实数m的取值范围是.

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