资源简介

*3.4　复数的三角表示
最新课程标准
1.了解复数的三角形式，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．
2．了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
学科核心素养
1.借助复数的三角形式，培养数学抽象的核心素养．
2．通过复数三角形式的运算，培养数学运算的核心素养．
导学
教材要点
要点一　i2＝－1的几何意义
将复数z对应的向量绕起点逆时针旋转180°，就是将复数z乘i2.
虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量逆时针旋转90°.
状元随笔　(1)复数z对应的复平面上的向量与iz对应的复平面上的向量互相垂直．
(2)将直角坐标平面上的点P(x，y)逆时针旋转90 °得到的点Q的坐标为(－y ，x)．
要点二　复数的三角表示
1．复数的辐角：以x轴的正半轴为始边，复数z对应的复平面上的向量所在射线为终边的角，叫作复数z的辐角，记作θ＝arg z.
2．若复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为r，辐角为θ，则复数z＝a＋bi可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，称z＝r(cos θ＋isin θ)为复数z＝a＋bi的三角形式．
状元随笔　(1)若θ为复数z的一个辐角，则arg z ＝θ＋2kπ(k∈Z)．
(2)复数z ＝0的辐角是任意的．
(3)两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2 2 2)相等的充要条件是r1＝r2＝0或r1＝r2>0且θ1＝θ2＋2kπ(k∈Z)．
要点三　三角形式下复数的乘除运算
1．若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则
z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)].
2．若复数z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ).
3．若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)(r2>0)，则＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
状元随笔　(1)两个三角形式的复数的乘积的模等于模的积，乘积的辐角等于它们的辐角之和．
(2)复数三角形式的乘方法则，也叫作棣莫弗定理，它是复数中一个重要公式．
(3)三角形式的复数的商，其辐角等于它们的辐角之差．
要点四　复数乘法和除法的几何意义
两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的积z1z2对应的向量为：在复平面上，将复数z1对应的向量旋转θ2，再将模变成原来的r2倍而得到的向量.
两个复数相除，商的模等于它们模的商，商的辐角等于它们的辐角之差．
状元随笔　当θ2>0时，将z1对应向量逆时针旋转；当θ2<0时，将z1对应向量顺时针旋转．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在复数z＝r(cos θ＋isin θ)中，r≠0.(　　)
(2)复数的辐角θ∈[0，2π)．(　　)
(3)复数z＝2没有三角形式．(　　)
(4)复数z＝1＋i的三角形式可以为z＝(cos ＋isin)．(　　)
2．复数1＋i的辐角的主值为(　　)
A． B． C． D．
3．将复数i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是(　　)
A．i B．－i
C．－i D．i
4．将复数z＝8化为代数形式为________．
导思
题型一　复数的代数形式与三角形式的互化
角度1　复数的代数形式化为三角形式
例1　把下列复数的代数形式化成三角形式：
(1)＋i；
(2)i.
总结
复数的代数形式化为三角形式的步骤
(1)先求复数的模．
(2)决定辐角所在的象限，求出辐角．
(3)求出复数的三角形式．
提醒：一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式的辐角不一定取主值．
角度2　复数的三角形式化为代数形式
例2　分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式．
(1)4；
(2)(cos 60°＋isin 60°)；
(3)2.,
总结
复数的三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．
跟踪训练1　(1)复数－i的三角形式是________．
(2)将复数3化为代数形式为________．
题型二　复数三角形式的乘、除运算
例3　计算：
(1)8×4；
(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)].
总结
(1)熟悉特殊角的三角函数．
(2)进行复数三角形式的除法运算时，注意两辐角差的符号．
(3)进行复数运算时，最后答案一般用代数形式表示．
跟踪训练2　计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)×；
(2)(－i)÷.
题型三　复数三角形式乘、除运算的几何意义
例4　在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．,
总结
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2(r2为的长度)倍，得到向量表示的复数就是积z1z2.
跟踪训练3　在复平面内，把与复数i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示)
课时训练
1．复数1－i的辐角的主值是(　　)
A．π B．π
C．π D．
2．－1－i的三角形式是(　　)
A．－2
B．2
C．2
D．2
3．若θ∈，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．复数2的代数形式为________．
5．计算：2(cos 300°＋isin 300°)÷[(cos π＋isinπ)].
*3.4　复数的三角表示
导学
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝.
答案：C
3．解析：i＝cos ＋isin ，将绕原点按逆时针方向旋转得到对应的复数为cos ＋isin ＝－i.
答案：B
4．解析：z＝8＝8×＋8×i＝4＋4i.
答案：4＋4i
导思
例1　解析：(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限，所以cos θ＝，即θ＝.
所以＋i＝2.
(2)r＝＝2，cos θ＝，又因为i对应的点位于第四象限，所以θ＝.
所以i＝2.
例2　解析：(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝.
4＝4cos ＋4isin＝4×＋4×i＝2＋2i.
(2)复数(cos 60°＋isin 60°)的模r＝，辐角的主值为θ＝.
(cos 60°＋isin 60°)＝i＝i.
(3)2
＝2
＝2.
所以复数的模r＝2，辐角的主值为π.
2＝2cos π＋2isin π＝2×＋2×i＝1－i.
跟踪训练1　解析：(1)－i＝cos ＋isin .
(2)由题得3＝3＝i.
答案：(1)cos ＋isin 　(2)－i
例3　解析：(1)8×4(cos π＋isinπ)＝32
＝32
＝32
＝32＝16＋16i.
(2)(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]＝[cos (225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝(cos 75°＋isin 75°)＝＝i＝i.
跟踪训练2　解析：(1)i＝＝，
所以(cos 75°＋isin 75°)×
＝
＝
＝cos π＋isinπ
＝cos ＋isin＝i.
(2)因为－i＝cos π＋isinπ
所以÷
＝÷
＝
＝＝i.
例4　解析：因为3－i＝2
＝2
所以2
＝2
＝2
＝2＝3＋i，
2
＝2
＝2＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
跟踪训练3　解析：i＝，由题意得：＝×2＝3(cos ＋isin)＝3i，即与所得向量对应的复数为3i.
[课时训练]
1．解析：因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π.
答案：A
2．解析：－1－i＝2＝2[cos ＋isin ].
答案：B
3．解析：由复数的几何意义知(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内对应点的坐标为(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)．因为θ∈，所以cos θ＋sin θ＝sin <0，sin θ－cos θ＝sin >0.所以原复数在复平面内对应的点位于第二象限．
答案：B
4．解析：2＝2＝－i.
答案：－i
5．解析：2(cos 300°＋isin 300°)÷
＝2÷
＝
＝＝－i.

展开更多......

收起↑