资源简介

4．1.2　空间几何体的直观图
导学
教材要点
要点　斜二测画法的规则
(1)在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox，Oy，再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.
(2)画直观图时，把它们画成对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y＝________(或________)，∠x′O′z′＝90°，∠x′O′y′所确定的平面表示水平平面．
(3)已知图形中平行于x轴，y轴，或z轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴，y′轴或z′轴的线段．
(4)已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度________，平行于y轴的线段，长度______________．
状元随笔　(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化．因此图形的形状发生变化．
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．(　　)
(2)两条相交直线的直观图可能是平行直线．(　　)
(3)用斜二测画法画平面图形的直观图时，垂直的线段在直观图中仍垂直．(　　)
(4)正方形的直观图为平行四边形．(　　)
2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　)
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)
A.正方形
B．矩形
C．菱形
D．一般的平行四边形
4．水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导思
题型一　画水平放置的平面图形的直观图
例1　如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
总结
平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段平行性不变，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
跟踪训练1　画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．
题型二　空间几何体直观图的画法
例2　用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD A′B′C′D′的直观图．
总结
(1)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，然后画出竖轴．此外，坐标系的建立要充分利用图形的对称性，以便方便、准确的确定顶点；
(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以又快又准的画出．
跟踪训练2　画底面半径为2，高为5的圆柱的直观图．
题型三　平面图形与其直观图的关系
例3　如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求水平放置的梯形ABCD的直观图的面积．
总结
平面多边形与其直观图面积间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
跟踪训练3　如图所示，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是(　　)
A．
B．1
C．
D．2
易错辨析　忽略斜二测画法的规则致误
例4　如图是水平放置的四边形ABCD的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是________．
解析：方法一　延长A′D′交O′x′于点E′.如图，画平面直角坐标系xOy，取OE＝O′E′，过点E作EF∥y轴，在EF上截取AE＝2A′E′，
AD＝2A′D′＝8，再过点D作DC∥x轴，过点A作AB∥x轴，并截取DC＝D′C′＝2，AB＝A′B′＝5.连接BC，得直观图A′B′C′D′的原四边形ABCD.由作法得S四边形ABCD＝×(2＋5)×8＝28.
方法二　因为A′D′＝4，所以梯形A′B′C′D′的高为2，故S梯形A′B′C′D′＝×2×(2＋5)＝7，则S四边形ABCD＝2×S梯形A′B′C′D′＝28.
答案：28
易错点
易错原因 纠错心得
忽略与y轴平行的线段即A′D′长度的变化而致误．错误答案：14. 在斜二测画法中，与y轴平行的线段长度为原来的一半，且∠x′O′y′变为45°，做题时千万不要忽略这点．
课时训练
1．(多选)利用斜二测画法得到的直观图有以下结论，其中正确的是(　　)
A．三角形的直观图是三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．正方形的直观图是正方形
D．菱形的直观图是菱形
2．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的(　　)
3.水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC是一个(　　)三角形．
A．等边
B．三边互不相等的
C．三边中只有两边相等的等腰
D．直角
4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．
5．一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，求这个平行四边形的面积．
4．1.2　空间几何体的直观图
导学
要点
(2)45°　135°　(3)平行　(4)不变　取原来的一半
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．故选C.
答案：C
3．解析：如图，在原图形OABC中，
应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OC＝＝＝6 (cm)，所以OA＝OC，
故四边形OABC是菱形，故选C.
答案：C
4．解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AB边上的中线为2.5.
答案：2.5
导思
例1　解析：(1)如图甲所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图乙所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
(2)在图甲中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′＝AE＝≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝＝0.75(cm)，再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.
(3)连接A′D′，B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图丙所示，则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．
跟踪训练1　解析：(1)如图①所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．
(3)擦去x′、y′轴得直观图△A′B′C′，如图③所示．
例2　解析：(1)画轴．如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
(3)画侧棱．过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.
(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②)．
跟踪训练2　解析：(1)画轴．画出x轴，y轴，z轴．
(2)在z轴上取点O′，使OO′等于5个单位长度，过O′作x轴的平行线O′x′，过O′作y轴的平行线O′y′.在x轴，x′轴上分别取点A，B，A′，B′，使OA＝OB＝O′A′＝O′B′＝2个单位长度，在y轴，y′轴上分别取C，D，C′，D′，使OC＝OD＝O′C′＝O′D′＝1个单位长度，画两个圆(椭圆形)，即底面圆O和底面圆O′.
(3)连线．连接AA′，BB′，并擦去辅助线，则得到圆柱OO′.
例3　
解析：方法一　在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，水平放置的梯形ABCD的直观图仍为梯形，且上底和下底的长度都不变，作D′E′⊥A′B′于E′，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD＝，梯形A′B′C′D′的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
方法二　因为梯形ABCD的面积为＝，所以直观图的面积为＝.
跟踪训练3　解析：
如图所示，因为Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，其中斜边O′B′＝2，所以O′A′＝，
根据斜二测画法的规则，可得OB＝O′B′＝2，OA＝2O′A′＝2，
所以直角△OAB的面积为S＝×2×2＝2.
答案：D
[课时训练]
1．解析：由斜二测画法规则知：A项正确；平行性不变，故B项正确；正方形的直观图是平行四边形，C项错误；因为平行于y′轴的线段长减半，平行于x′轴的线段长不变，故D项错误．
答案：AB
2．解析：设直观图中与x′ 轴和y′轴的交点分别为A′和B′，如图①，根据斜二测画法的规则在直角坐标系中先作出对应的A点和B点，
再由平行于x′轴的线段在原图中平行于x轴，且长度不变，作出原图如图②所示，故选C.
答案：C
3．解析：由图形知，在原△ABC中，AO⊥BC，
∵A′O′＝，∴AO＝，
∵B′O′＝C′O′＝1，∴BC＝2，
∴AB＝AC＝＝2，
∴△ABC为正三角形．
答案：A
4．解析：因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，
按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.
答案：45°或135°
5．解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为，故面积为.

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