资源简介

4．2　平面
最新课程标准
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
2．了解关于平面的三个基本事实．
学科核心素养
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学抽象)
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(直观想象)
3．能用三个基本事实证明简单的共面、共线问题．(逻辑推理)
导学
教材要点
要点一　平面
概念 几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的
画法 通常用一个平行四边形来代替平面
表示 方法 (1)用小写希腊字母：如α，β，γ，…来表示； (2)用表示平面的平行四边形顶点字母表示； (3)用表示平面的平行四边形的对角顶点字母来表示．
状元随笔　(1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；
(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
要点二　空间中点、线、面的位置关系的符号表示
数学符号表示 文字语言表达 图形语言表达
________ 点A在直线l上
________ 点A在直线l外
________ 点A在平面α内
________ 点A在平面α外
________ 直线l在平面α内
________ 直线l在平面α外
________ 直线l，m相交于点A
________ 平面α，β相交于直线l
要点三　平面的基本事实与推论
内容 图形 符号 推论
基本 事实1 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α ______
基本 事实2 过______________的三点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α 推论1　一条直线和直线外一点确定一个平面． 推论2　两条相交直线确定一个平面． 推论3　两条平行直线确定一个平面．
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β __________________
状元随笔　(1)基本事实1的作用：①用直线检验平面(常被应用于实践，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆)；②判断直线是否在平面内(经常被用于立体几何的证明中)．
(2)基本事实2的作用：①确定平面；②证明点、线共面. 基本事实2中要注意条件“不在同一条直线上的三点”，事实上，共线的三点是不能确定一个平面的．同时要注意经过一点、两点或在同一条直线上的三点可能有无数个平面；过不在同一条直线上的四点，不一定有平面．因此，要充分重视“不在同一条直线上的三点”这一条件的重要性．
(3)基本事实3的主要作用：①判定两个平面是否相交；②证明共线问题；③证明线共点问题．
基本事实3强调的是两个不重合的平面，只要它们有公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)有一个平面的长是50 m，宽是20 m，厚20 cm.(　　)
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面．(　　)
(3)空间不同的三点可以确定一个平面．(　　)
(4)四边形是平面图形．(　　)
2．如果a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，那么下列关系成立的是(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝A D．l∩α＝B
3．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是(　　)
A．A、B、C、D四点中必有三点共线
B．A、B、C、D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
导思
题型一　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
例1　(1)若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是(　　)
A．若A α，B α，则AB α
B．若A∈α，B∈α，则AB∈α
C．若A a，a α，则AB α
D．若A∈a，a α，则A∈α
(2)如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
总结
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”表示；直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”表示．
(3)根据已知符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
跟踪训练1　(1)已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m α，n β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．
(2)根据下列条件画出图形：
α∩β＝AB，a α，b β，a∥AB，b∥AB.
题型二　点、线共面问题
例2　已知：如图所示，l1＝A，l2＝B，l1＝C.
求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．
总结
证明点线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
跟踪训练2　
如图，已知直线a∥b∥c，＝A，l∩b＝B，l∩=c＝C.求证：直线a，b，c和l共面．
题型三　三点共线、三线共点问题
例3　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．求证：CE，D1F，DA三线交于一点．
总结
(1)证明三点共线的方法
(2)证明三线共点的步骤
跟踪训练3　已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P，Q，R三点共线．
易错辨析　忽略基本事实的重要条件致误
例4　已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点的位置关系是(　　)
A．共面　 B．不共面
C．共线　 D．不确定
解析：分两类进行讨论．
(1)若B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内．
因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内．所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．
(2)若B，C，D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面，但平面不唯一；
若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能共面，也可能不共面．
答案：D
易错点
易错原因 纠错心得
解本题时易误认为因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．以上错解忽略了基本事实1中“不在一条直线上的三个点”这个重要条件．实际上B，C，D三点有可能共线． 对于确定平面问题，在应用基本事实1及三个推论时一定要注意它们成立的前提条件．
课时训练
1．下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
2．空间中，可以确定一个平面的条件是(　　)
A．三个点 B．四个点
C．三角形 D．四边形
3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为(　　)
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
4．三条平行直线最多能确定的平面的个数为________．
5．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1)E，F，H，G四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
4．2　平面
导学
要点二
A∈l　A l　A∈α　A α　l α　l α　l∩m＝A　α∩β＝l
要点三
两个点　AB α　不在一条直线上　α∩=β＝l且P∈l
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：∵l∩a＝A又a α，∴A∈l且A∈α.同理B∈l且B∈α.∴l α.
答案：A
3．解析：A、B、C、D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交，否则A、B、C、D共面．
答案：B
导思
例1　解析：(1)点与面的关系用符号∈，而不是 ，所以选项A错误；直线与平面的关系用 表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB α，选项C错误；A∈a，a α，则A∈α，所以选项D正确．故选D.
(2)在图1中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在图2中，α∩=β＝l，a α，b β，a∩=l＝P，b∩l＝P.
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练1　解析：(1)因为m α，n β，m∩=n＝P，所以P∈α，且P∈β.
又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.
(2)图形如图所示．
答案：(1)P∈l　(2)见解析
例2　证明：方法一(纳入平面法)：
因为l1＝A，所以l1和l2确定一个平面α.
因为l2＝B，所以B∈l2.
又因为l2 α，所以B∈α.同理可证C∈α.
又因为B∈l3，C∈l3，所以l3 α.
所以直线l1，l2，l3在同一平面内．
方法二(辅助平面法)：
因为l1＝A，所以l1，l2确定一个平面α.
因为l2＝B，所以l2，l3确定一个平面β.
因为A∈l2，l2 α，所以A∈α.
因为A∈l2，l2 β，所以A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
所以不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．
所以平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
跟踪训练2　解析：方法一　(辅助平面法)
因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以a∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
因为C∈l，所以C∈α，所以直线a与点C同在平面α内．
又a∥c，所以直线a，c确定一个平面β.
因为C∈c，c β，所以C∈β，即直线a与点C同在平面β内．
由推论1，可得平面α和平面β重合，则c α.
所以a，b，c，l共面．
方法二　(纳入平面法)
因为a∥b，所以a，b确定一个平面α.
因为A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.
又A∈l，B∈l，所以l α.
则a，b，l都在平面α内，即b在a，l确定的平面内．
同理可证c在a，l确定的平面内．
因为过a与l只能确定一个平面，
所以a，b，c，l共面于a，l确定的平面．
例3　
证明：连接EF，D1C，A1B，
因为E为AB的中点，F为AA1的中点，
所以EF綊A1B.
又因为A1B綊D1C，
所以EF綊D1C.
所以E，F，D1，C四点共面．
可设D1F∩CE＝P.
又D1F 平面A1D1DA，CE 平面ABCD，
所以点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．
又因为平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，
所以P∈DA，
即CE，D1F，DA三线交于一点．
跟踪训练3　
解析：证明：因为AB∩α＝P，所以P∈α，P∈AB，
而AB 平面ABC，则P∈平面ABC；
同理可得R∈α，R∈平面ABC；Q∈α，Q∈平面ABC，
所以P，Q，R在平面α与平面ABC的交线上．
所以P，Q，R三点共线．
[课时训练]
1．解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示．
答案：D
2．解析：由平面的基本性质及推论得：在A项中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A项错误；在B项中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B项错误；在C项中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C项正确；在D项中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D项错误．
答案：C
3．解析：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a α，B∈α.
答案：B
4．解析：当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定3个平面．综上最多可确定3个平面．
答案：3
5．证明：(1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF綊BD.因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
所以GH綊BD.
所以EF∥GH.
所以E，F，H，G四点共面．
(2)由(1)知，EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形．
设两腰EG，FH相交于一点T.
因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.

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