资源简介

4.3.1　空间中直线与直线的位置关系
第1课时　空间中直线与直线的位置关系
导学
教材要点
要点一　空间两直线的位置关系
1．空间中两条直线的位置关系
2．异面直线：把不同在________平面内的两条直线叫作异面直线．
状元随笔　　(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．
(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a?∩b＝O，所以a与b不是异面直线．
要点二　基本事实4
文字语言 平行于同一条直线的两条直线________
图形语言 　　a b 　c
符号语言 ├a∥b b∥c} ________
作用 证明两条直线平行
说明 基本事实4表述的性质通常叫做平行线的______
要点三　等角定理
文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应________，那么这两个角________或________
符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言
作用 判定两个角相等或互补
状元随笔　等角定理实质上是由如下两个结论合成的：
①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；
②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行．(　　)
(2)分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线．(　　)
(3)若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥d.(　　)
(4)如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等．(　　)
2．三棱锥A BCD中，E、F、M、N分别是AB、AD、BC、CD的中点，求EF与MN的位置关系(　　)
A．平行　 B．相交
C．异面　 D．都有可能
3．如图，在直三棱柱ABC A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1为异面直线的条数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a，b的位置关系是________．
导思
题型一　两直线的位置关系辨析
例1　(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(2)如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________．
总结
判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
跟踪训练1　(多选)如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，下列结论中正确的是(　　)
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
题型二　基本事实4的应用
例2　在棱长为a的正方体ABCD A′B′C′D′中，M，N分别为棱CD，AD的中点．求证：四边形MNA′C′是梯形．
总结
证明两条直线平行的两种方法
(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．
(2)利用基本事实4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本事实4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．
跟踪训练2　
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
求证：四边形BB1M1M为平行四边形．
题型三　等角定理及其应用
例3　如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别为棱AD，AB，B1C1，C1D1的中点．
求证：∠EA1F＝∠E1CF1.
总结
(1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反，那么这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补．
(2)证明角相等，一般采用三种途径
①利用等角定理及推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．
跟踪训练3　在三棱柱ABC A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
易错辨析　对两直线的位置关系把握不准致误
例4　分别和两条异面直线相交的两条不同直线的位置关系是________．
解析：分两类进行讨论．(1)若两条直线与两异面直线的交点有4个，如图(1)，直线AB与异面直线a，b分别相交于点A，B，直线CD与异面直线a，b分别相交于点C，D，那么A，B，C，D四点不可能共面，否则与a，b异面矛盾，故直线AB与CD异面；
(2)若两条直线与两异面直线的交点有3个，如图(2)，两条直线相交．
答案：异面或相交
易错点
易错原因 纠错心得
解题时易忽略两条直线与两异面直线的交点有3个的情况，认为交点只有4 个，此时两条直线是异面直线，导致错填异面． 在立体几何中，空间点、直线、平面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题．在判断两条直线的位置关系时，可通过画出相关图形帮助分析．
课时训练
1．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面　 D．相交、平行或异面
2.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
3．正方体ABCD A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是(　　)
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D．空间四边形
4．空间中一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．
5．如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点．
求证：四边形EFF′E′为平行四边形．
第2课时　异面直线
导学
教材要点
要点一　异面直线的画法
异面直线的表示，一般借助辅助平面．如图，图中的两条直线a，b均为异面直线．
要点二　异面直线的另一种判断方法
与平面________的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线．
要点三　异面直线所成的角
1．定义：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线平行的直线，这两条直线所成的锐角或直角，叫作两条异面直线所成的角．
2．范围：____________．
3．如果两条异面直线a与b所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直，记作________．
状元随笔　(1)异面直线所成角的定义的理论依据是等角定理．
(2)两异面直线所成角的大小与点O的选取无关，所以在具体计算两条异面直线所成角的问题中，点O经常选在一些特殊的位置或两异面直线的一条上．
(3)两条直线垂直，既包括相交垂直，也包括异面垂直．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)分别位于两个不同平面内的两条直线是异面直线．(　　)
(2)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线是异面直线．(　　)
(3)过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线．(　　)
(4)两条直线垂直不一定相交，两条相交直线不一定垂直．(　　)
2．已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b (　　)
A．一定是异面直线
B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线
D．不可能是相交直线
3．在三棱锥S ABC中，与SA是异面直线的是(　　)
A．SB　　　 B．SC
C．BC D．AB
4．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为________．
导思
题型一　异面直线的判断
例1　(1)若两个平面相交，则分别在这两个平面内的两条直线(　　)
A．平行 B．异面
C．相交 D．以上皆有可能
(2)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
总结
判定异面直线的方法
(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不可能同在一个平面内．
(2)利用异面直线的判定定理．
(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即可能相交或平行，然后推出矛盾即可．
跟踪训练1　如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________．
题型二　求异面直线所成的角
例2　如图，在正方体ABCD EFGH中，O为侧面ADHE的中心．
求：(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
变式探究1　在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．
变式探究2　(变换条件)在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为θ，求AM和BN所成的角．
总结
求异面直线所成的角的步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°，则θ为所求；若90°<θ<180°，则180°－θ为所求．
提醒：求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练2　如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
易错辨析　忽略异面直线所成的角的范围致误
例3　如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角．
解析：如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°.∵异面直线所成角θ∈(0°，90°]，∴BC与AD所成的角为60°.
易错点
易错原因 纠错心得
解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解． 在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角．
课时训练
1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是(　　)
A．平行 　
B．相交　　
C．异面但不垂直
D．异面且垂直
3．(多选)如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有(　　)
4．如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，异面直线A′B′与BC所成的角的大小为________．
5．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为60°，E，F分别是BC，AD的中点，求EF与AB所成的角的大小．
4．3.1　空间中直线与直线的位置关系
第1课时　空间中直线与直线的位置关系
导学
要点一
1．一个　没有　没有
2．任何一个
要点二
平行　a∥c　传递性
要点三
平行　相等　互补
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：
∵E，F是AB、AD中点，
∴EF∥BD
∵M，N是BC，CD中点
∴MN∥BD
∴EF∥MN.
答案：A
3．解析：与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条．
答案：C
4．解析：a与b无公共点，a与b可能平行，可能异面．
答案：平行或异面
导思
例1　解析：(1)由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
(2)经探究可知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A1，B，B1在平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C异面．同理，直线AB与直线B1C异面．所以②④应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．
答案：(1)D　(2)①平行　②异面　③相交　④异面
跟踪训练1　解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以AB错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．故选CD.
答案：CD
例2　证明：
如图，连接AC.
∵M，N分别为棱CD，AD的中点，
∴MN綊AC.
由正方体的性质可知AC綊A′C′，
∴MN綊A′C′，∴A′N与MC′相交，
即A′N不平行于MC′，MN平行于A′C′，
∴四边形MNA′C′是梯形．
跟踪训练2　证明：∵ABCD A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，
∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
例3　证明：如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则BF＝A1M.
又∵BF∥A1M，∴四边形A1FBM为平行四边形，
∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，则F1M綊C1B1.
而C1B1綊BC，∴F1M綊BC，∴四边形F1MBC为平行四边形．
∴BM∥CF1.又BM∥A1F，
∴A1F∥CF1.
同理，取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则有A1E∥CE1.
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，
∴∠EA1F＝∠E1CF1.
跟踪训练3　
证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，
所以PN∥BC.①
又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，
所以A1M綊NC.
所以四边形A1NCM为平行四边形，
于是A1N∥MC.②
由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.
[课时训练]
1．解析：异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，a，b异面，直线c的位置可如图所示．故选D.
答案：D
2．解析：EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
答案：B
3．解析：设正方体的棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为，
又四边形D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．故选B.
答案：B
4.解析：①若∠A的两边和∠B的两边分别平行，且方向相同，则∠A与∠B相等，此时∠B＝∠A＝70°；
②当∠A的两边和∠B的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A与∠B互补，此时∠B＝180°－∠A＝110°.
答案：70°或110°
5．证明：连接BD，B′D′，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF綊BD，
同理E′F′綊B′D′，在正方体ABCD A′B′C′D′中，四边形BB′D′D为平行四边形，所以BD綊B′D′，所以EF綊E′F′，
故四边形EFF′E′为平行四边形．
第2课时　异面直线
导学
要点二
相交
要点三
2．(0°，90°]
3．a⊥b
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：假设c与b平行，由于c∥a，根据基本事实4可知a∥b，与a，b是异面直线矛盾，故c与b不可能是平行直线．
答案：C
3．解析：如图所示，SB，SC，AB，AC与SA均是相交直线，BC与SA既不相交，又不平行，是异面直线．
答案：C
4．解析：因为a∥OA，根据等角定理，又因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以a与OB所成的角为60°.
答案：60°
导思
例1　
解析：(1)平面α，β相交，如图所示：
则a α，b β，a∥b；又a α，c β，a、c异面；c β，d α，c，d相交；所以分别在这两个平面内的两条直线可能平行，也可能异面，也可能相交．
(2) 解析：分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
还原的正方体如图所示．
答案：(1)D　(2)见解析
跟踪训练1　解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．
答案：③
例2　解析：(1)如图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角．
又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB.
又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形．
又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
变式探究1　解析：连接EG，HF，则P为HF的中点．连接AF，AH，则OP∥AF.
又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角．
由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°.
故OP与CD所成的角为45°.
变式探究2　解析：连接MG.因为四边形BCGF是正方形，所以BF綊CG.
因为M，N分别是BF，CG的中点，所以BM綊NG.
所以四边形BNGM是平行四边形．
所以BN∥MG.所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角．
因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝θ.
所以∠AMG＝180°－2θ，即AM和BN所成的角为180°－(180°－2θ)＝2θ.
跟踪训练2　解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD.
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角．
因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥AD.
因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，
所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
答案：
[课时训练]
1．解析：因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.
答案：B
2．解析：因为正方体的对面平行，且直线A1C1与BD不平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．
答案：D
3．解析：A中，直线GH∥MN；
B中，G，H，N三点共面，但M 平面GHN，且N GH，
因此直线GH与MN异面；
C中，连接MG(图略)，GM∥HN，
因此，GH与MN共面；
D中，G，M，N三点共面，但H 平面GMN，且G MN，
所以GH与MN异面．
答案：BD
4．解析：∵BC∥B′C′，∴∠A′B′C′即异面直线A′B′与BC所成的角，且∠A′B′C′＝90°.
答案：90°
5．解析：取AC的中点G，连接EG，FG，
则EG∥AB，EG＝AB，GF∥CD，GF＝CD，
由AB＝CD，知EG＝FG，
∴∠GEF(或其补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或其补角)为AB与CD所成的角．
∵AB与CD所成的角为60°，
∴∠EGF＝60°或120°.
由EG＝FG，知△EFG为等腰三角形，
当∠EGF＝60°时，∠GEF＝60°；
当∠EGF＝120°时，∠GEF＝30°.
∴EF与AB所成的角为60°或30°.

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