资源简介

4.4.1　平面与平面平行
第1课时　平面与平面平行的判定
导学
教材要点
要点一　平面与平面之间的位置关系
位置关系 图形 写法 公共点情况
两平面相交 ____________ 有一条公共直线
两平面平行 ____________ 没有公共点
状元随笔　(1)判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．
(2)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．
要点二　平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的________直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
图形语言
符号语言 若a α，b α，________且a∥β，b∥β，则α∥β
状元随笔　(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
练习
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知平面α，β和直线m、n，若m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β .(　　)
(2)一个平面内两条不平行的直线都平行于另一个平面，则两平面平行．(　　)
(3)平行于同一条直线的两个平面平行．(　　)
(4)平行于同一平面的两个平面平行．(　　)
2．在正方体中，相互平行的面不会是(　　)
A．前后相对侧面 B．上下相对底面
C．左右相对侧面 D．相邻的侧面
3．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是(　　)
A．一定平行 B．一定相交
C．平行或相交 D．以上判断都不对
4.如图，已知在三棱锥P ABC中D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
导思
题型一　平面与平面位置关系的判定
例1　已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不对
变式探究1　在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何？
变式探究2　在本例中，若将条件改为平面α内有无数条直线与平面β平行，那么平面α与平面β的关系是什么？
总结
平面与平面的位置关系的判定方法
(1)平面与平面相交的判定，主要是以基本事实3为依据找出一个交点；
(2)平面与平面平行的判定，主要依据面面平行的判定定理．
跟踪训练1　(1)已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
(2)两个平面将空间分成________部分．
题型二　面面平行判定定理的应用
例2　如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，点G和点H分别是CE和CF的中点．证明：平面BDGH∥平面AEF.
总结
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)利用线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
跟踪训练2　
如图所示，在三棱锥SABC中，D，E，F分别是棱AC，BC，SC的中点，求证：平面DEF∥平面SAB.
题型三　线面平行与面面平行的综合应用
例3　如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．
求证：(1)E、F、B、D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
总结
线线平行、线面平行与面面平行可以相互转化．要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此，“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．
跟踪训练3　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
易错辨析　受思维定式的影响出错
例4　如图，已知E，F分别是正方体ABCD A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．
证明：如图，在棱BB1上取一点G，使B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF綊B1C1綊A1D1，
所以四边形GFD1A1为平行四边形，
所以A1G綊D1F.
因为A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，AA1綊BB1，
所以A1E綊BG，
所以四边形EBGA1为平行四边形，
所以A1G綊EB.
所以D1F綊EB，
所以四边形EBFD1是平行四边形．
易错点
易错原因 纠错心得
误认为E、B、F、D1四点共面，但由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE＝C1F也没有用到． 证明结论是否成立时要有严格的推理过程，不能凭直观感觉．同时，若发现有没用到的条件，则需要考虑自己的证明过程是否正确．
课时训练
1．若M∈平面α，M∈平面β，则不同平面α与β的位置关系是(　　)
A．平行　 B．相交
C．重合 D．不确定
2．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，则在下列条件下，可判定α∥β的是(　　)
A．α、β都平行于直线a、b
B．α内有三个不共线的点到β的距离相等
C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D．a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
3．六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有(　　)
A．1对　 B．2对
C．3对　 D．4对
4.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________．
5．如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.
第2课时　平面与平面平行的性质
导学
教材要点
要点一　平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果一个平面与这两个平面________，那么两条交线________．
符号语言 ├α∥β ________ ________} a∥b
图形语言
状元随笔　(1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
要点二　两平行平面间的距离
如果平面α平行于平面β，则称平面α上任意一点到平面β的距离为平面α到平面β的距离．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个平面与两个平面相交，交线平行．(　　)
(2)若平面α∥平面β，l 平面β，m 平面α，则l∥m.(　　)
(3)已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行．(　　)
(4)夹在两平行平面间的平行线段相等．(　　)
2．已知长方体ABCDA′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交　
C．异面 D．不确定
3．平面α∥平面β，直线a∥平面α，则(　　)
A．a∥β　　 B．a在平面β上
C．a与β相交 D．a∥β或a β
4．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导思
题型一　利用面面平行的性质定理证明线线平行
例1　如图所示，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行，求证：四边形ABCD是平行四边形．
总结
证明直线与直线平行的方法
(1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等，两直线平行；三角形中位线的性质；平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等；
(2)基本事实4；
(3)线面平行的性质定理；
(4)面面平行的性质定理．
跟踪训练1　
如图，在三棱锥P ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
题型二　利用面面平行的性质定理求线段长
例2　如图，平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且AS＝3，BS＝9，CD＝34，求SC的长．
总结
由面面平行，得到线线平行，然后利用平行线分线段成比例性质就可解决问题．
跟踪训练2　
如图，已知在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
题型三　平行关系的综合问题
例3　在三棱柱ABCA1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点．
(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1.
(2)当BC1∥平面AB1D1时，求证：平面BC1D∥平面AB1D1.
总结
(1)注意三种平行关系的相互转化．判定某一平行的过程就是从一平行关系出发不断转化的过程，在证明问题时要切实把握这一点，灵活地确定转化思路和方向．
(2)“平行关系”的应用是证明线线、线面、面面平行的依据．充分理解并掌握三者之间的转化，并进一步理解转化的数学思想，是解决“平行关系”问题的关键所在．
跟踪训练3　
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ与平面PAO平行？
课时训练
1．若平面α∥平面β，直线a α，点M∈β，过点M的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
2．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　)
A．AB∥CD B．AD∥CB
C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面
3.如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，则两个平行平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　)
A．相似但不全等的三角形
B．全等三角形
C．面积相等的不全等三角形
D．以上结论都不对
4．如图，已知平面α∥β∥γ，两条相交直线l，m分别与平面α，β，γ相交于A，B，C与D，E，F，若AB＝6，DE∶DF＝2∶5，则AC＝________．
5．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.
4．4　平面与平面的位置关系
4．4.1　平面与平面平行
第1课时　平面与平面平行的判定
导学
要点一
α∩β＝a　α∥β
要点二
两条相交　a∩b＝A
[练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行．
答案：D
3．解析：可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
答案：C
4．解析：在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理，可证EF∥平面ABC.
又DE∩EF＝E，DE，EF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
答案：平行
导思
例1　解析：如图，可能会出现以下两种情况：
故选C.
答案：C
变式探究1　解析：如图，a α，b β，a，b异面，则两平面平行或相交．
变式探究2　解析：如图，α内都有无数条直线与平面β平行．
由图知，平面α与平面β可能平行或相交．
跟踪训练1　解析：(1)当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．故选D.
(2)两个平面平行时，将空间分成三部分；两个平面相交时，将空间分成四部分．
答案：(1)D　(2)3或4
例2　证明：
在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，
所以GH∥EF，
又因为GH 平面AEF，EF 平面AEF，
所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，
连接OH，在△ACF中，
因为OA＝OC，CH＝HF，
所以OH∥AF，
又因为OH 平面AEF，AF 平面AEF，
所以OH∥平面AEF.
又因为OH∩GH＝H，OH，GH 平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
跟踪训练2　证明：因为D，E分别是棱AC，BC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，DE∥AB.
因为DE 平面SAB，AB 平面SAB，
所以DE∥平面SAB，
同理可证：DF∥平面SAB，
又因为DE∩DF＝D，DE 平面DEF，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面SAB.
例3　证明：(1)连接B1D1，如图．
∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点，
∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，
∴BD∥EF.
∴E、F、B、D四点共面．
(2)由题知MN∥B1D1，B1D1∥BD，
∴MN∥BD.
又MN 平面EFDB，BD 平面EFDB.
∴MN∥平面EFDB.
如图，连接MF.∵M、F分别是A1B1，C1D1的中点，
∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，
∴AM∥DF.
又AM 平面BDFE，DF 平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，
∴平面MAN∥平面EFDB.
跟踪训练3　证明：(1)如图，连接SB.
∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB 平面BDD1B1，
EG 平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
(2)如图，连接SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，
FG 平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
[课时训练]
1．解析：由基本事实3可知，平面α与平面β相交．
答案：B
2．解析：若a∥b，则不能断定α∥β，A错；若三点不在β的同一侧，α与β相交，B错；若a∥b，则不能断定α∥β，C错．
答案：D
3．解析：由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，
∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．
答案：D
4．解析：
∵A1E∥BE1，A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1.
同理，A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E＝A1，A1E，A1D1 平面EFD1A1，
∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案：平行
5．证明：因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，又PC 平面PCE，FH 平面PCE，所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，又CE 平面PCE，AF 平面PCE，所以AF∥平面PCE.
又FH 平面AFH，AF 平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
第2课时　平面与平面平行的性质
导学
要点一
相交　平行　α∩γ＝a　β∩γ＝b
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：由面面平行的性质定理易得．
答案：A
3．解析：如图1满足a∥α，α∥β，此时a∥β；
如图2满足a∥α，α∥β，此时a β，故选D.
答案：D
4．解析： 由夹在两平行平面间的平行线段相等可得．
答案：平行四边形
导思
例1　证明：∵四边形A′B′C′D′是平行四边形，
∴A′D′∥B′C′.
∵A′D′ 平面BB′C′C，B′C′ 平面BB′C′C，
∴A′D′∥平面BB′C′C.同理AA′∥平面BB′C′C.
∵A′D′ 平面AA′D′D，AA′ 平面AA′D′D，且A′D′＝A′，
∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C.
又∵平面ABCD∩平面AA′D′D＝AD，
平面ABCD∩平面BB′C′C＝BC，∴AD∥BC.
同理可证AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
跟踪训练1　证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，
所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩=DF＝D，DE，DF 平面DEF，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以NF∥CM.
例2　解析：设AB，CD共面γ，因为γ∩α＝AC，γ∩β＝BD，且α∥β，
所以AC∥BD，所以△SAC∽△SBD，
所以＝，即＝，
所以SC＝17.
跟踪训练2　
解析：连接A1B，设A1B＝O，连接OD1，如图，
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.
知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.
所以＝＝.
又因为 ＝1，所以＝1，即＝1.
例3　解析：(1)＝1时，BC1∥平面AB1D1，理由如下：
如图，此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由棱柱的定义知四边形A1ABB1为平行四边形，
所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，
所以OD1∥BC1.
又因为OD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以当＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)证明：由(1)知，当BC1∥平面AB1D1时，点D1是线段A1C1的中点，则有AD∥D1C1，且AD＝D1C1，
所以四边形ADC1D1是平行四边形．
所以AD1∥DC1.
又因为DC1 平面AB1D1，AD1 平面AB1D1，
所以DC1∥平面AB1D1.
又因为BC1∥平面AB1D1，BC1 平面BC1D，DC1 平面BC1D，DC1＝C1，
所以平面BC1D∥平面AB1D1.
跟踪训练3　
解析：如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥D1M∥AP.因为P为DD1的中点，
所以M为AA1的中点，Q为CC1的中点，
故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
[课时训练]
1．解析：由于α∥β，a α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确．
答案：D
2．解析：充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．
答案：D
3．解析：由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.
答案：B
4．解析：由面面平行的性质定理知AD∥BE∥CF，所以＝，所以AC＝·AB＝×6＝15.
答案：15
5．证明：
过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则＝.
∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，
∴＝.∴FG∥B1C1∥BC，
易得EG∥平面ABCD，FG∥平面ABCD，
又∵EG∩FG＝G，EG，FG 平面EFG，
∴平面EFG∥平面ABCD，
又∵EF 平面EFG，∴EF∥平面ABCD.

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