资源简介

4．4.2　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
导学
教材要点
要点一　二面角
二面角 的定义 从一条直线出发的____________所组成的图形叫作二面角
二面角的 相关概念 这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面
二面角 的画法
二面角 的记法 二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ
二面角的平面角 定义 在二面角αlβ的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角
图形
范围 ∠AOB的范围是____________
状元随笔　(1)二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量．
(2)二面角的平面角的大小与O点选取无关．
要点二　两个平面互相垂直的定义
1．两个平面相交，如果它们所成的二面角是________角，就说这两个平面互相垂直．
2．平面α，β互相垂直，记作________．
3．画法：
要点三　 平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直 ├a⊥β a α} α⊥β
状元随笔　(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况．例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
(3)判定定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)二面角的平面角所确定的平面与二面角的棱垂直．(　　)
(2)对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱上的位置有关．(　　)
(3)已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直．(　　)
(4)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.(　　)
2．在二面角αlβ的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A．AO⊥BO，AO α，BO β
B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β
D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
3．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有________对．
导思
题型一　二面角及其平面角的概念
例1　(多选)下列命题正确的是(　　)
A．两个相交平面组成的图形叫做二面角
B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补
C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角
D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系
总结
(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．
(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别．
(3)可利用实物模型，作图帮助判断．
跟踪训练1　若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)
A．相等　 B．互补
C．相等或互补　 D．关系无法确定
题型二　求二面角的大小
例2　如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中：
(1)求二面角D′ABD的大小；
(2)求二面角A′ABD的大小．
总结
(1)求二面角的关键是要找出二面角的平面角，而找平面角的关键是要找到二面角的棱上一点并分别在两个面内与棱垂直的两条射线．
(2)由于二面角的平面角的大小与棱上一点的位置无关，所以在具体问题中，这个点经常选在一些特殊的位置，如线段的中点．
跟踪训练2　在四棱锥VABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面是腰长为3的等腰三角形，则二面角VAB C的余弦值的大小为(　　)
A． B．
C． D．
题型三　平面与平面垂直的证明
角度1　利用面面垂直的定义证明
例3　如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.
证明：平面ACD⊥平面ABC.
总结
证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
(1)找出两相关平面的平面角；
(2)证明这个平面角是直角；
(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．
角度2　利用面面垂直的判定定理证明
例4　如图，在正三棱柱ABCA1B1C1(侧棱垂直于底面，且底面是正三角形)中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．
求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1.
总结
利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决．
跟踪训练3　如图，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.
易错辨析　判断面面位置关系时主观臆断
例5　如图所示，已知在长方体ABCDA1B1C1 D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由．
解析：因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为BB1⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，
所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
所以AC⊥平面BB1D1D，又AC 截面ACB1，
所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.
易错点
易错原因 纠错心得
选错直线D1B1，推导出D1B1与平面ACB1不垂直，得到平面BB1D1D与平面ACB1不垂直． 判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质．
课时训练
1．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A．有1个　 B．有2个
C．有无数个　 D．不存在
2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有(　　)
A．平面ABC⊥平面ACD
B．平面ABC⊥平面ABD
C．平面ABC⊥平面BCD
D．平面ADC⊥平面BCD
3．从空间一点P向二面角αlβ的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝30°，则二面角αlβ的平面角的大小是(　　)
A．30°　 B．150°
C．30°或150°　 D．不确定
4．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，P为平面ABC外一点，且PA＝PB＝PC，则平面PBC与平面ABC的位置关系是________．
5．如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，E，F分别为PC和BD的中点，且EF⊥CD.
证明：平面PCD⊥平面PAD.
第2课时　平面与平面垂直的性质
导学
教材要点
要点　平面与平面垂直的性质
文字 语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的________，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号 语言
图形 语言
作用 ①面面垂直 线面垂直； ②作面的垂线
状元随笔　对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．
(2)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个平面垂直，则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内．(　　)
(2)若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.(　　)
(3)若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α.(　　)
(4)三个两两垂直的平面的交线两两垂直．(　　)
2．若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么(　　)
A．直线a垂直于第二个平面
B．直线b垂直于第一个平面
C．直线a不一定垂直于第二个平面
D．过a的平面必垂直于过b的平面
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
4．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导思
题型一　平面与平面垂直的性质定理的应用
例1　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD.
总结
(1)证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．
(2)利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
跟踪训练1　
已知：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：BC⊥平面PAB.
题型二　垂直关系的综合应用
例2　如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．
(1)求证：PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．
总结
(1)熟练垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路．
(2)垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明．
跟踪训练2　如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.
(1)求证：平面PBC⊥平面PAC.
(2)求证：直线l⊥AC.
易错辨析　平面与平面垂直的条件把握不准确致误
例3　(多选)已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有(　　)
A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直
D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
解析：如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，对于A，AD1 平面AA1D1D，BD 平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故A错误；B正确；对于C，A1A⊥平面ABCD，A1A 平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正确；对于D，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故D错误．故选BC.
答案：BC
易错点
易错原因 纠错心得
对平面与平面垂直的条件把握不准确，很容易认为D正确，导致错选为BCD. D选项其实与平面与平面垂直的性质定理是不同的，即“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内．
课时训练
1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，要使n⊥β，则应增加的条件是(　　)
A．m∥n B．n⊥m
C．n∥α D．n⊥α
2．已知平面α，β及直线a满足α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则(　　)
A．a β　　　 B．a⊥β
C．a∥β　　 D．a与β相交但不垂直
3．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
4．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
5．如图，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
4．4.2　平面与平面垂直
第1课时　平面与平面垂直的判定
导学
要点一
两个半平面　[0°，180°]
要点二
1．直二面　
2．α⊥β
要点三
垂线
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：由二面角的平面角的定义可知．
答案：D
3．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．
答案：5
导思
例1　解析：由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以A不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故B正确；C中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故C不对；由定义知D正确．
答案：BD
跟踪训练1　
解析：如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．
答案：D
例2　解析：(1)在正方体ABCDA′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′ABD的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′ABD的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′ABD的平面角．
又∠A′AD＝90°，所以二面角A′ABD的大小为90°.
跟踪训练2　
解析：如图所示，取AB的中点E，连接VE，过V作底面的垂线，垂足为O，连接OE.根据题意可知，∠VEO是二面角V AB C的平面角．因为OE＝1，VE＝＝2，所以cos ∠VEO＝＝＝.
答案：B
例3　
证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.
又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.
如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角DACB的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC.
例4　证明：
连接A1B交AB1于O，连接MO，易得O为A1B，AB1的中点，
∵CC1⊥平面ABC，AC 平面ABC，
∴CC1⊥AC，
又M为CC1的中点，AC＝CC1＝6，
∴AM＝＝3，
同理可得B1M＝3.∴MO⊥AB1.连接MB，同理可得A1M＝BM＝3.
∴MO⊥A1B，
又AB1＝O，AB1，A1B 平面ABB1A1，
∴MO⊥平面ABB1A1，
又MO 平面AB1M，
∴平面AB1M⊥平面 ABB1A1.
跟踪训练3　
证明：如图，连接AC，与BD交于点F，连接EF.
∵F为 ABCD的对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点．
∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC.
∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.
又∵EF 平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.
[课时训练]
1．解析：由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个．
答案：C
2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.
答案：D
3．解析：若点P在二面角内，则二面角的平面角为150°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为30°.
答案：C
4．解析：因为PA＝PB＝PC，所以P在△ABC所在平面上的投影必落在△ABC的外心上，
又Rt△ABC的外心为BC的中点，设为O，则PO⊥平面ABC，又PO 平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.
答案：垂直
5.证明：如图所示，连接AC，由题意知，四边形ABCD是正方形，
因为F是BD的中点，可得F也是AC的中点，
在△PAC中，因为E，F分别是PC，AC的中点，可得EF∥PA，
又因为EF⊥CD，所以PA⊥CD，
又由AD⊥CD，且AD∩AP＝A，所以CD⊥平面PAD.
又因为CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.
第2课时　平面与平面垂直的性质
导学
要点
交线　AB α　AB⊥CD
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：直线a与直线b均不一定垂直两面的交线．
答案：C
3．解析：两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面可能平行，也可能相交，故A、B、C都有可能．
答案：D
4．解析：由题意知n⊥α，又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
导思
例1　证明：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形．
∵G为AD中点，
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，
∴BG⊥平面PAD.
跟踪训练1　证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E.
∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，
∴AE⊥平面PBC.
∵BC 平面PBC，
∴BC⊥AE.
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴BC⊥PA.
又PA∩AE＝A，PA，AE 平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.
例2　证明：(1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，
作DG⊥AB于点G.
∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA 平面PAC，
∴DF⊥PA.
同理可证DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于点H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.
又AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，AB 平面ABE，∴PC⊥AB.
又PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，
∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．
跟踪训练2　
证明：(1)因为AB是⊙O的直径，所以AB所对的圆周角∠ACB＝90°，所以AC⊥CB，
又因为平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC 平面ABC，所以BC⊥平面PAC，又因为BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.
(2)因为E，F分别为PC，PB的中点，所以EF为△PCB的中位线，所以EF∥BC，又因为EF 平面ACB，BC 平面ACB，所以EF∥平面ABC，又因为EF 平面AEF，且平面AEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l，故l∥BC，由(1)知，BC⊥AC，所以l⊥AC.
[课时训练]
1．解析：根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n α，应增加条件n⊥m，才能使n⊥β.
答案：B
2．解析：由题意，α中存在直线b，b∥a，因为a⊥AB，所以b⊥AB，因为α⊥β，α∩β＝AB，所以b⊥β，因为b∥a，所以a⊥β.
答案：B
3．解析：选项A缺少了条件l α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．
答案：D
4．解析：∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD 平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．
答案：6
5．证明：因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又因为平面SDC⊥平面ABCD，平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面SCD.
又因为BC 平面SBC，所以平面SCD⊥平面SBC.

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