资源简介

4．5.2　几种简单几何体的体积
导学
教材要点
要点　柱、锥、台、球的体积公式
几何体 体积公式
柱体 圆柱、棱柱 底面积为S，高为h，V＝________
锥体 圆锥、棱锥 底面积为S，高为h，V＝________
台体 圆台、棱台 上底面积为S′，下底面积为S，高为h，V＝(S′＋＋S)·h
球 V球＝________(R为球的半径)
状元随笔　柱体、锥体、台体体积之间的关系
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)底面积相等且高相等的两个同类几何体的体积相等．(　　)
(2)在三棱锥P ABC中，VP ABC＝VA PBC＝VB PAC＝VC PAB.(　　)
(3)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)
(4)若长方体的相邻三个面的面积分别为2，6，9，则长方体的体积是6.(　　)
2．三棱锥V ABC底面是边长为2的正三角形，高为3，求三棱锥的体积(　　)
A． B．2
C．3 D．
3．若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是(　　)
A．24π B．24
C．3π D．3
4．若球的表面积为4π，则体积为________．
导思
题型一　柱体、锥体、台体的体积
例1　(1)正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为(　　)
A．20＋12 B．28
C． D．
(2)如图所示，已知E，F分别是棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，CC1的中点，则四棱锥C1 B1EDF的体积为________．
(3)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)
A． B．
C． D．
总结
简单几何体体积的求法
(1)直接法：直接套用体积公式求解．
(2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．
(3)分割法：在求一些不规则的空间图形的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的空间图形．
(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的空间图形，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的空间图形．
跟踪训练1　(1)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)
A． B．
C．64π D．128π
(2)三棱锥A BCD的高为4，底面BCD为直角三角形，两直角边BD和CD的长分别为5，3，则该三棱锥的体积为(　　)
A．60 B．30
C．20 D．10
(3)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为________．
题型二　有关球的体积问题
角度1　球的切、接问题
例2　(1)已知正方体的内切球的体积是π，则正方体的棱长为(　　)
A．2 B．
C． D．
(2)棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，则球的体积为________．
总结
常见几何体与球的切、接问题的解决策略
(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
角度2　球的体积在实际中的应用
例3　把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个铁球，则这个大铁球的半径是________ cm.
总结
解决本题的关键是总体积不变．
跟踪训练2　(1)圆柱形容器内部盛有高度为h的水，若放入两个直径为3 cm的铁球(球的半径与圆柱底面半径相等)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则h＝(　　)
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．5 cm
(2)一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的体积为________．
题型三　简单组合体的体积
例4　如图所示，在棱长为4的正方体上底面中心位置打一个直径为2，深为4的圆柱形孔，求打孔后的几何体的表面积和体积．
总结
求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中各简单几何体的结构特征及组合形式，对于与旋转体有关的组合体问题，要根据条件分清各个简单几何体的底面半径及母线长，再分别代入公式求解．
跟踪训练3　已知某几何体的直观图如图所示(单位：cm)，求这个几何体的体积为________cm3.
易错辨析　忽略对侧面展开图的分类讨论致错
例5　已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，则此正三棱柱的体积为________cm3.
解析：设正三棱柱的高为h cm，底面等边三角形的边长为a cm.
①若正三棱柱的底面周长为9 cm，则高h＝6 cm，3a＝9 cm，∴a＝3 cm.
∴S底面＝×3×3×＝(cm2)．
∴V正三棱柱＝Sh＝×6＝(cm3)．
②若正三棱柱的底面周长为6 cm，则高h＝9 cm，3a＝6 cm，
∴a＝2 cm.
∴S底面＝×2×2×＝(cm3)．
∴V正三棱柱＝Sh＝×9＝9(cm3)．
故该正三棱柱的体积为 cm3或9 cm3.
答案：或9
易错点
易错原因 纠错心得
易忽略另一种情况，导致错误答案． 解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解．
课时训练
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)
A．48 B．64 C．16 D．96
2．将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为(　　)
A．2π B． C． D．
3．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P ABC的体积V＝________．
4．正四棱台的底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面积为，求其体积．
4．5.2　几种简单几何体的体积
导学
要点
Sh　Sh　πR3
[练习]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：底面是正三角形，边长为2，则面积为，V＝Sh＝··3＝.
答案：A
3．解析：设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝＝＝.由圆锥的体积公式可得V＝πr2h＝3π.
答案：C
4．解析：∵S＝4πR2＝4π
∴R＝1
∴V＝πR3＝.
答案：
导思
例1　解析：(1)作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝＝，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝×(16＋4＋)＝.
(2)方法一　连接EF，由题意得，VC1 B1EDF＝VB1 C1EF＋VD C1EF＝2VB1 C1EF＝2VE B1C1F＝2×·S△B1C1F·a＝a3.
方法二　连接EF，B1D.设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝a.
由题意得，VC1 B1EDF＝VB1 C1EF＋VD C1EF＝·S△C1EF·(h1＋h2)＝a3.
(3) 解析：如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，易得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝，则△BHC中BC边的高h＝.
∴S△AGD＝S△BHC＝×1＝，∴该多面体的体积V＝VE ADG＋VF BHC＋VAGD BHC＝2VE ADG＋VAGD BHC＝2××1＝.
答案：(1)D　(2)a3　(3)A
跟踪训练1　解析：(1)作圆锥的轴截面，如图所示，
由题意知，在△PAB中，∠APB＝90°，PA＝PB.
设圆锥的高为h，底面半径为r，则h＝r，PB＝r.
由S侧＝π·r·PB＝16π，
得πr2＝16π，所以r＝4.则h＝4.
故圆锥的体积V圆锥＝πr2h＝.
(2)如图所示的三棱锥A BCD符合题意，把三棱锥A BCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5，3，4，△BCD为直角三角形，直角边长分别为5和3，三棱锥A BCD的高为4，故该三棱锥的体积V＝×5×3×4＝10.
(3) 解析：设上底面半径为r，
则下底面半径为4r，高为4r，如图．
∵母线长为10，∴102＝(4r)2＋(4r－r)2，
解得r＝2.
∴下底面半径R＝8，高h＝8，
∴V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π.
答案：(1)A　(2)D　(3)224π
例2　解析：(1)正方体的棱长为a，其内切球的半径为R，则a＝2R，又πR3＝π，∴R3＝2，∴R＝，∴a＝2.
(2) 解析：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝x，
由题意知2R＝x＝＝a，
所以R＝a，
所以V＝π＝a3π.
答案：(1)A　(2)a3π
例3　
解析：设大铁球半径为R cm，则πR3＝π×63＋π×83＋π×103＝π×1 728.
∴R＝＝12.
答案：12
跟踪训练2　
解析：(1)依题意由体积相等可得π×h＋π××2＝π××4，解得h＝2 cm.
(2)因为正六棱柱的底面边长为4，所以它的底面圆的半径为4，所以球的半径为＝5，故球的体积为π×R3＝π×53＝π.
答案：(1)A　(2)π
例4　解析：正方体的表面积为S正方体＝4×4×6＝96，
圆柱形孔的半径为1，高为4，
∴圆柱的侧面积S圆柱侧＝2π×1×4＝8π，
∴所求的表面积为S＝96＋8π－2π＝96＋6π，
正方体的体积为V正方体＝4×4×4＝64，
圆柱的体积为V圆柱＝4π，
∴所求的体积为V＝64－4π.
跟踪训练3　
解析：这个几何体可看成是正方体ABCD A1B1C1D1与直三棱柱B1C1Q A1D1P的组合体．
由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，
可得PA1⊥PD1.
故所求几何体的体积V＝23＋×()2×2＝10(cm3)．
答案：10
[课时训练]
1．解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a2＝16，∴a＝4，∴V正方体＝a3＝43＝64.
答案：B
2．解析：设圆锥底面半径为r，扇形弧长为l，
则l＝2πr＝π×1，∴r＝，
∴圆锥的高为 ＝，
∴圆锥的体积为V＝×π×＝.
答案：B
3．解析：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝S△PAC·PB＝×2×4×3＝4.
答案：4
4．解析：
正四棱台的大致图形如图所示，其中A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形．
∵S侧＝4××(10＋20)EE1＝780 (cm2)，∴EE1＝13 cm.
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm，
∴O1O＝＝12 (cm)．
∴该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)．

展开更多......

收起↑