资源简介

第四章　立体几何初步 章末复习课
考点一　空间中的平行关系
1．空间中的平行主要有线线平行、线面平行、面面平行，主要考查在空间几何体中证明线面平行、面面平行以及线线平行．
2．通过线线平行、线面平行、面面平行之间相互转化的考查，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．
例1　如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点．
(1)证明：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
跟踪训练1　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
(1)直线SC∥平面A1BD；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
考点二　空间中的垂直关系
1．主要考查空间中线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，以及线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的联系与转化．
2．通过线线垂直、线面垂直、面面垂直之间相互转化的考查，提升学生直观想象和逻辑推理素养．
例2　如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD，平面PAD⊥平面ABCD.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC的中点，能否在棱PC上找到一点F，使得平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
跟踪训练2　如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求证：AC⊥平面BCE；
(2)求证：AD⊥AE.
考点三　简单几何体的表面积与体积
1．主要考查多面体、旋转体的表面积，旋转体的侧面展开图，柱体、锥体、台体的体积，球的表面积和体积，不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
2．通过对空间几何体的表面积与体积的考查，提升学生的数学运算素养．
例3　如图所示，在四棱锥PABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；
(2)求三棱锥ACMN的侧面积．
跟踪训练3　如图，已知三棱锥APBC，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝4，PA⊥PC，D为AB的中点，且△PDB为正三角形．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)求三棱锥DPBC的体积．
第四章　立体几何初步 章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M、N、Q分别为BC、PA、PB的中点，
∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC，
又NQ 平面PCD，CD 平面PCD，MQ 平面PCD，PC 平面PCD，
∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD，
∵NQ∩MQ＝Q，
且NQ、MQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PCD.
(2)存在点E是线段PD的中点，使得MN∥平面ACE，且＝.证明如下：
取PD中点E，连接NE，CE，
∵N、E、M分别是AP，PD，BC的中点，∴NE∥AD，NE＝AD，且BC∥AD，BC＝AD，即MC∥AD，MC＝AD，
∴NE∥MC，NE＝MC，∴四边形MCEN是平行四边形，
∴MN∥CE，
∵MN 平面ACE，CE 平面ACE，∴MN∥平面ACE，且＝.
跟踪训练1　证明：(1)连接AC与BD交于点O，连接A1S，A1O，则A1S∥OC，且A1S＝OC，则四边形A1SCO为平行四边形，所以SC∥A1O，
∵SC 平面A1BD，A1O 平面A1BD，
∴SC∥平面A1BD.
(2)连接SB，因为G，E分别是SC，BC中点，所以GE∥SB，
又因为SB 平面BDD1B1，GE 平面BDD1B1，
所以GE∥平面BDD1B1，
同理EF∥平面BDD1B1，
因为GE，EF 平面EFG，且GE∩EF＝E，
所以平面EFG∥平面BDD1B1.
例2　解析：(1)如图，取AD的中点O，连接PO，BO，BD，
因为PA＝PD，所以PO⊥AD.
因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
所以△ABD是等边三角形．
又O是AD的中点，所以AD⊥OB.
又OB∩OP＝O，
所以AD⊥平面POB.
因为PB 平面POB，所以AD⊥PB.
(2)当F是棱PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，连接OE，OC.
因为在菱形ABCD中，E为BC的中点，O是AD的中点，
所以DO∥CE，DO＝CE，
所以四边形DOEC是平行四边形．
设DE∩OC＝M，所以M是OC的中点．
连接FM.
又因为F是棱PC的中点，
所以FM∥PO.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，
所以PO⊥平面ABCD，
所以FM⊥平面ABCD.
又因为FM 平面DEF，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
跟踪训练2　
证明：(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因为AF⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩=AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
例3　解析：(1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA，
又MN 平面PAB，PA 平面PAB，∴MN∥平面PAB，
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°，
又∠BAC＝60°，∴CN∥AB，
∵CN 平面PAB，AB 平面PAB，∴CN∥平面PAB，
又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB.
(2)∵PA⊥平面ABCD，AN 平面ABCD，CN 平面ABCD，
由(1)可知MN∥PA，∴MN⊥AN，MN⊥CN，
∵∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA＝2，AB＝1，
∴AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，MN＝PA＝1，
由(1)可知CN＝AN＝AD＝2，
在Rt△CMN中，AM＝CM＝＝＝，
∴S△ACN＝AN·CN·sin 60°＝×2×2×＝，
又S△AMN＝AN·MN＝×2×1＝1，
在△ACM中，AM＝CM，
∴AC边上的高h＝＝＝2，
∴S△ACM＝AC·h＝×2×2＝2，
∴三棱锥ACMN的侧面积S＝S△ACN＋S△AMN＋S△ACM＝3＋.
跟踪训练3　
解析：(1)∵D为AB的中点且△PDB为正三角形，
∴AP⊥PB，
又∵PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，
又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.
(2)由(1)得PB＝10且PC＝＝＝2，
所以S△PBC＝BC·PC＝×4×2＝4，
又AP⊥平面PBC，且AP＝＝＝10，
VAPBC＝AP·S△PBC＝×10×4＝40，
由D为AB的中点，所以VDPBC＝VAPBC＝×40＝20.

展开更多......

收起↑