资源简介

滚动习题(六)
1.A　[解析] 因为随机变量X的分布列为P(X=i)=,i=1,2,3,所以++=1,解得a=3.故选A.
2.B　[解析] 因为η~B,所以E(η)=2×=1,所以E(ξ)=E(3η+1)=3E(η)+1=4.故选B.
3.B　[解析] 易得=2.3,由正态密度曲线的对称性可得P(0.40.4)=P(0.44.B　[解析] 由题意得,X的所有可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=,P(X=1)=×=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×××1=,所以E(X)=0×+1×+2×+3×=,所以D(X)=×=.故选B.
5.C　[解析] 由题意得,X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2=p2-3p+3,由题意得p2-3p+3>,解得p>或p<,又p∈(0,1],所以p∈.故选C.
6.A　[解析] 试验一:由题意得,X1的所有可能取值是0,1,2,则P(X1=0)==,P(X1=1)===,P(X1=2)==,故随机变量X1的分布列为
X1 0 1 2
P
则数学期望E(X1)=0×+1×+2×=,
方差D(X1)=×+×+×=.
试验二:逐个有放回地随机摸出2件产品,则每次摸到次品的概率均为=,则X2~B,故E(X2)=2×=,方差D(X2)=2××=,所以D(X1)=<==D(X2),故E(X1)=E(X2),D(X1)7.ABD　[解析] 由题可得解得故A,B正确;E(Y)=2E(X)-1=1,D(X)=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=,故D(Y)=22D(X)=,故C错误,D正确.故选ABD.
8.BC　[解析] 由题可知,P(AB)=p(1-p),若进行n次试验,则易得X~B(n,p),Y~B(n,1-p),Z~B(n,p(1-p)).对于A,因为E(X)=np,E(Y)=n(1-p),所以pE(X)≠(1-p)E(Y),A错误;对于B,E(Z)=np(1-p),D(Y)=n(1-p)[1-(1-p)]=np(1-p),故E(Z)=D(Y),B正确;对于C,E(Z)=np(1-p),则nE(Z)=n×[np(1-p)]=np[n(1-p)]=E(X)E(Y),C正确;对于D,因为D(Z)=np(1-p)[1-p(1-p)],D(X)·D(Y)=n2p2(1-p)2,所以[D(Z)]2≠D(X)·D(Y),D错误.故选BC.
9.　[解析] 因为X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1,因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],解得P(X=0)=,所以a=.
10.900　[解析] 由题可知,P(X<76)==,因为成绩X近似服从正态分布N(108,σ2),所以P(108≤X≤140)=P(76≤X≤108)=-P(X<76)=-=,所以估计一分钟跳绳成绩X在[108,140]内的人数为2400×=900.
11.　　[解析] 若不放回地摸球,每次摸出1个球,摸取4次,恰有3次摸到红球的概率为==;若有放回地摸球,每次摸出1个球,每次摸到红球的概率为,摸取3次,则摸到红球的次数X~B,由二项分布的期望公式可得E(X)=3×=.
12.解:(1)设事件A为“取出的是红球”,事件B1为“取到甲袋”,事件B2为“取到乙袋”,则P(B1)=P(B2)=,P(A|B1)=,P(A|B2)=,
则P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=×+×=.
(2)合为一袋后,袋中有7个红球和3个白球,则X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)==,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
13.解:(1)设“甲第i(i=1,2)次投进”为事件Ai,“乙第i(i=1,2)次投进”为事件Bi,则P(Ai)=,P(Bi)=.
设“甲、乙需要进行第3次投篮”为事件C,则事件C的发生包括以下三种情况:
①“甲、乙前2次都投进2次”,其概率为P(A1A2)·P(B1B2)=×=.
②“甲、乙前2次都投进1次”,其概率为P(A1+A2)·P(B1+B2)=2×××2××=.
③“甲、乙前2次都投进0次”,其概率为P()·P()=×=.
所以P(C)=++=.
(2)由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=×+×=,
P(X=1)=×××+×=,
P(X=2)=×+×=,
P(X=3)=×=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
14.解:(1)(i)因为=400=202,所以Y~N(5000,202).
因为P(μ-2σ所以P(Y≤μ-2σ)≈=0.023.
因为4960=5000-2×20,
所以P(Y≤4960)=P(Y≤μ-2σ)≈0.023.
(ii)由(i)得P(Y≤4960)≈0.023.
因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克,4958.77<4960,0.023<0.05,
所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件,
小概率事件基本不会发生,这就是小法举报该超市的理由.
(2)设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为K,则K~N(5000,10 000).由4900=5000-100,5200=5000+2×100,得P(4900根据题意易得随机变量Z~B(100,0.818 5),
则D(Z)=100×0.818 5×(1-0.818 5)≈14.86.滚动习题(六)
(时间:45分钟　分值:100分)
一、单项选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
1.设随机变量X的分布列为P(X=i)=,i=1,2,3,则a= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.3 B.
C.2 D.
2.已知η~B,若ξ=3η+1,则E(ξ)= (　 )
A. B.4
C. D.9
3.已知随机变量X服从正态分布N(2.3,σ2),且P(2.30.4)= (　 )
A.0.46 B.0.73
C.0.23 D.0.27
4.盒中装有除颜色外完全相同的3个黄球和1个红球,现从盒中每次随机取出1个球且不放回,直至取出红球为止.设在此过程中,取到黄球的个数为X,则D(X)= (　 )
A.1 B.
C. D.2
5.若某科技小制作课的模型制作规则是:每位学生最多制作3次,一旦制作成功,则停止制作,否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为p(p≠0),各次是否制作成功互不影响,制作次数为X,若X的数学期望E(X)>,则p的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
6.一个不透明的袋子中有10件质地、外观均一样的产品,其中有6件正品,4件次品.现进行如下两个试验,试验一:逐个不放回地随机摸出2件产品,记取得次品的件数为X1,数学期望和方差分别为E(X1),D(X1);试验二:逐个有放回地随机摸出2件产品,记取到次品的件数为X2,数学期望和方差分别为E(X2),D(X2).则下列判断正确的是 (　 )
A.E(X1)=E(X2),D(X1)B.E(X1)=E(X2),D(X1)>D(X2)
C.E(X1)>E(X2),D(X1)>D(X2)
D.E(X1)二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)
7.已知离散型随机变量X,Y满足Y=2X-1,其中X的分布列为
X 0 1 2
P m n
且E(X)=1,则下列结论正确的是 (　 )
A.m= B.n=
C.E(Y)=2 D.D(Y)=
8.(多选题)[2025·江苏盐城高二期中] 在某独立重复试验中,事件A,B相互独立,且在一次试验中,事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,其中p∈(0,1).若进行n次试验,记事件A发生的次数为X,事件B发生的次数为Y,事件AB发生的次数为Z,则下列结论正确的是 (　 )
A.pE(X)=(1-p)E(Y)
B.E(Z)=D(Y)
C.nE(Z)=E(X)E(Y)
D.[D(Z)]2=D(X)·D(Y)
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
9.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a=　　　　.
10.某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计,成绩X近似服从正态分布N(108,σ2),已知成绩小于76的有300人,则可估计该校一分钟跳绳成绩X在[108,140]内的人数为　　　　.
11.已知一个不透明的袋中有大小、质地均相同的4个红球、3个白球和2个黑球.若不放回地摸球,每次摸出1个球,摸取4次,则恰有3次摸到红球的概率为　　　　;若有放回地摸球,每次摸出1个球,摸取3次,则摸到红球的次数X的数学期望为　　　　.
四、解答题(本大题共3小题,共43分)
12.(13分)[2025·辽宁沈阳期末] 现有一堆颜色不同,形状、质地均相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中,其中甲袋中有4个红色小球,2个白色小球,乙袋中有3个红色小球,1个白色小球.
(1)先从甲、乙两袋中任取一袋,然后在所取袋中任取一球,求取出的是红球的概率;
(2)将甲、乙两袋合为一袋,然后在袋中任取3个球,设所取3个球中红球的个数为X,求X的分布列及数学期望.
13.(15分)甲、乙两人进行投篮比赛,甲先投2次,然后乙投2次,投进次数多者为胜,结束比赛.若甲、乙投进的次数相同,则甲、乙需要再各投1次(称为第3次投篮),结束比赛,规定3次投篮投进次数多者为胜,若3次投篮甲、乙投进的次数相同,则判定甲、乙平局.已知甲每次投进的概率为,乙每次投进的概率为,各次投进与否相互独立.
(1)求甲、乙需要进行第3次投篮的概率;
(2)若每次投篮投进得1分,否则得0分,求甲得分X的分布列与数学期望.
14.(15分)[2025·辽宁辽阳期末] 小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果,该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克,且每箱苹果的质量服从正态分布N(5000,1002).
(1)若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),从ξ的所有取值中随机抽取m(m∈Z*,m≥2)个数据,记这m个数据的平均值为X,则随机变量X服从正态分布N.
(i)若该售货员所说属实,则小法从该大型超市随机购买25箱苹果,记这25箱苹果的平均质量为Y,求P(Y≤4960).
(ii)若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录,25周后,得到的数据都在(4900,5100)内,计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克.小法举报了该大型超市,从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由.
(2)若该售货员所说属实,则现从该大型超市随机抽取100箱苹果,记这100箱苹果中质量在(4900,5200)内的箱数为Z,求Z的方差.(结果保留两位小数)
附:①若随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<η≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<η≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<η≤μ+3σ)≈0.997;②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.(共35张PPT)
滚动习题（六） 范围8.2~8.3
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.设随机变量的分布列为，,2,3，则 ( )
A.3 B. C.2 D.
[解析] 因为随机变量的分布列为， ,2,3，
所以，解得 .故选A.
√
2.已知，若，则 ( )
A. B.4 C. D.9
[解析] 因为，所以 ，
所以 .故选B.
√
3.已知随机变量服从正态分布 ，且
，则 ( )
A.0.46 B.0.73 C.0.23 D.0.27
[解析] 易得 ，由正态密度曲线的对称性可得
，故
.故选B.
√
4.盒中装有除颜色外完全相同的3个黄球和1个红球，现从盒中每次随
机取出1个球且不放回，直至取出红球为止.设在此过程中，取到黄球
的个数为，则 ( )
A.1 B. C. D.2
√
[解析] 由题意得，的所有可能取值为0,1,2,3，则 ,
， ,
，
所以 ，所以
.故选B.
5.若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一
旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的
概率为，各次是否制作成功互不影响，制作次数为，若
的数学期望，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得，的所有可能取值为1，2，3，则 ，
， ，
则，
由题意得，解得 或 ，
又，所以 .故选C.
6.一个不透明的袋子中有10件质地、外观均一样的产品，其中有6件
正品，4件次品.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸
出2件产品，记取得次品的件数为，数学期望和方差分别为 ,
；试验二：逐个有放回地随机摸出2件产品，记取到次品的件
数为，数学期望和方差分别为, .则下列判断正确的是
( )
A.,
B.,
C.,
D.,
√
[解析] 试验一：由题意得， 的所有可能取值是0，1，2，则
， ,
，
故随机变量 的分布列为
0 1 2
P
则数学期望 ，
方差 .
试验二：逐个有放回地随机摸出2件产品，则每次摸到次品的概率均
为，则，故 ，方差
，
所以 ，
故， .
故选A.
二、多项选择题（本大题共2小题,每小题6分,共12分）
7.已知离散型随机变量，满足，其中 的分布列为
0 1 2
且 ，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 由题可得解得 故A，B正确；
,
，
故,故C错误，D正确.
故选 .
8.（多选题）［2025·江苏盐城高二期中］在某独立重复试验中，事
件，相互独立，且在一次试验中，事件发生的概率为，事件
发生的概率为,其中.若进行次试验，记事件 发生的
次数为，事件发生的次数为，事件发生的次数为 ，则下列
结论正确的是( )
A. B.
C. D.
√
√
[解析] 由题可知，，若进行 次试验，则易得
，， .
对于A,因为,,所以 ,
A错误；
对于B， ,，
故 ，B正确；
对于C， ,则
，C正确；
对于D，因为 ，
，所以 ，D错误.
故选 .
三、填空题（本大题共3小题,每小题5分,共15分）
9.已知离散型随机变量 服从两点分布，且
，则 __.
[解析] 因为服从两点分布，所以 ，
因为 ，
所以，解得，所以 .
10.某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩 近似服从
正态分布 ，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一
分钟跳绳成绩在 内的人数为_____.
900
[解析] 由题可知，,因为成绩 近似服从正态分
布 ，所以
,
所以估计一分钟跳绳成绩在内的人数为 .
11.已知一个不透明的袋中有大小、质地均相同的4个红球、3个白球
和2个黑球.若不放回地摸球，每次摸出1个球，摸取4次，则恰有3次
摸到红球的概率为___；若有放回地摸球，每次摸出1个球，摸取3次，
则摸到红球的次数 的数学期望为__.
[解析] 若不放回地摸球，每次摸出1个球，摸取4次，恰有3次摸到红
球的概率为 ；
若有放回地摸球，每次摸出1个球，每次摸到红球的概率为 ，摸取3次，
则摸到红球的次数，
由二项分布的期望公式可得 .
四、解答题（本大题共3小题,共43分）
12.（13分）［2025·辽宁沈阳期末］现有一堆颜色不同，形状、质地
均相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色
小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球.
（1）先从甲、乙两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取
出的是红球的概率；
解：设事件为“取出的是红球”，事件为“取到甲袋”，事件 为
“取到乙袋”，则，， ，
则 .
12.（13分）［2025·辽宁沈阳期末］现有一堆颜色不同，形状、质地
均相同的小球在甲、乙两个完全相同的袋中，其中甲袋中有4个红色
小球，2个白色小球，乙袋中有3个红色小球，1个白色小球.
（2）将甲、乙两袋合为一袋，然后在袋中任取3个球，设所取3个球
中红球的个数为，求 的分布列及数学期望.
解：合为一袋后，袋中有7个红球和3个白球，则 的所有可能取值为
0,1,2,3，
则 ，
，
，
.
则 的分布列为
0 1 2 3
所以 .
13.（15分）甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，
投进次数多者为胜，结束比赛.若甲、乙投进的次数相同，则甲、乙
需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次
数多者为胜，若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局.
已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为 ，各次投进与否
相互独立.
（1）求甲、乙需要进行第3次投篮的概率；
解：设“甲第次投进”为事件，“乙第 次投进”为
事件，则， .
设“甲、乙需要进行第3次投篮”为事件，则事件 的发生包括以下三
种情况：
①“甲、乙前2次都投进2次”，其概率为
.
②“甲、乙前2次都投进1次”，其概率为
.
③“甲、乙前2次都投进0次”，其概率为
.
所以 .
13.（15分）甲、乙两人进行投篮比赛，甲先投2次，然后乙投2次，
投进次数多者为胜，结束比赛.若甲、乙投进的次数相同，则甲、乙
需要再各投1次（称为第3次投篮），结束比赛，规定3次投篮投进次
数多者为胜，若3次投篮甲、乙投进的次数相同，则判定甲、乙平局.
已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为 ，各次投进与否
相互独立.
（2）若每次投篮投进得1分，否则得0分，求甲得分 的分布列与数
学期望.
解：由题意可得 的所有可能取值为0，1，2，3，
则 ，
，
，
.
0 1 2 3
所以 .
所以 的分布列为
14.（15分）［2025·辽宁辽阳期末］小法每周都去同一家大型超市购
买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平
均质量是5000克，且每箱苹果的质量服从正态分布 .
（1）若随机变量 服从正态分布，从 的所有取值中随机
抽取个数据，记这个数据的平均值为 ，则随机
变量服从正态分布 .
（ⅰ）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，
记这25箱苹果的平均质量为，求 .
解：因为，所以 .
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以 .
（ⅱ）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记
录，25周后，得到的数据都在 内，计算出这25箱苹果质
量的平均值为4958.77克.小法举报了该大型超市，从概率的角度说明
小法举报该大型超市的理由.
解：由得 .
因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，
， ，
所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由.
14.（15分）［2025·辽宁辽阳期末］小法每周都去同一家大型超市购
买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平
均质量是5000克，且每箱苹果的质量服从正态分布 .
（2）若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，
记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求 的方差.
（结果保留两位小数）
附：①若随机变量 服从正态分布 ，则
， ，
；②通常把发生概率小于0.05的事
件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
解： 设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为 ，则
.由 ，
，得 .
根据题意易得随机变量 ，
则 .
快速核答案
1.A 2.B 3.B 4.B 5.C 6.A 7.ABD 8.BC 9. 10.900
11.
12.（1）（2）的分布列略，
13.（1）（2）的分布列略，
14.（1）（ⅰ）（ⅱ）略（2）

展开更多......

收起↑