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数学北师大版 高二上
6.4.1 二项分布
某飞碟运动员每次射击中靶的概率为，连续射击次，且各次命中目标与否是相互独立的，用表示中靶次数，表示的分布列？
每次射击都有两种可能的结果;命中目标或没有命中目标,并且每次射击命中目标的概率都是p=,每次射击没有命中日标的概率均为1-p=，在4次射击中,命中目标的次数X的可能取值为0,1,2,3,4.
用事件Ak(k=1,2,3,4)表示“第k次射击命中目标”,用事件Bk(k=0,1,2,3,4)表示“运动员进行4次射击,命中目标k次”.
当X=0,即4次都没有命中目标(事件B0发生)时,由于B=
。,每次射击都是独立的,从而
，
当X=1,即4次射击恰有1次命中目标(事件B1发生)时,由于
B1=
.从而
( ) ()
事实上,当X=k(h=0,1,2,3,4)时,4次射击有k次命中目标,有(4-k)次没有命中目标(事件Bk发生),这包含
种情况.根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,可得
，．
的分布列
0 1 2 3 4
思考交流
在上面的问题中,将一次射击看成做了一次试验,思考并回答下列问题:(1)一共进行了几次试验 每次试验有几种可能的结果
(2)如果将每次试验的两种结果分别称为“成功”(命中目标)和“失败”(没有命中目标),那么每次试验成功的概率是多少 它们相同吗
(3)各次试验是否相互独立 在随机变量X的分布列的计算中,独立性具体应用在哪里
4次
2种
p=
相同
相互独立
独立性在求随机变量X的分布列的计算中
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
一般地,在相同条件下重复做n次伯努利试验,且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响,称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.
一般地,在n重伯努利试验中,用X表示这n次试验中成功的次数,且每次成功的概率均为p,则X的分布列可以表示为
n．若一个随机变量X的分布列如上所述,则称X服从参数为n,p 的二项分布,简记为X~B(n，p) .
显然,两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.
(1)二项分布中的各个量的意义是什么？对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？
(1) 如果把p看成b，看成a，则就是二项式的展开式的通项，由此才称为二项分布．
(2)二项分布与两点分布有怎样的关系
(2) 两点分布是只有两种试验结果的随机试验的概率分布，也就是伯努利试验的概率分布，与二项分布相比，两点分布是n=1的二项分布，二项分布可以看做两点分布的一般形式．
判断下列试验是否是n重伯努利试验：
(1)抛掷一枚质地均匀的硬币10次．
(2)某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次．
(3)一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件．
(4)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
(1)抛掷相同的硬币，每次试验的条件相同，且结果相互独立，是重伯努利试验．
(2)运动员射击中靶的概率是稳定的，是重伯努利试验．
(3)有放回地抽取，每次抽取的次品率相同，且结果相互独立，是是重伯努利试验．
(4)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验．
n重伯努利试验的判断依据
要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行．
每次试验相互独立，互不影响．
每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．
思考交流
下列随机变量X服从二项分布吗 如果服从二项分布,其参数n,p分别是什么
(1)抛掷n枚均匀的相同骰子,X表示“掷出的点数为1”的骰子数;
(2）n个新生婴儿,x表示男婴的个数;
(3）某产品的次品率为p,X表示n个产品中的次品的个数;
(4)女性患色亩的概率为0.25%,X表示任取n个女性中患色盲的人数、
X~B(n，)
X~B(n，)
X~B(n，)
X~B(n，)
X~B(n，0.25%)
例1某公司安装了3台报警器.它们彼此独立工作。且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率:
(1) 3台都没报警:(2)恰有1台报警:(3)恰有2台报警;（4) 3台都报警:(5)至少有2台报警;(6)至少有1台报警.
解：设X表示在发生险情时3台报警器中报警的台数,由题意知X~B(3.0.9).它的分布列为
P(X=k)=0.9k (1-0. 9)3-k(k=0,1,2,3).
如表
k 0 1 2 3
P(X=k) 0.001 0.027 0.243 0.729
(1) 3台都没报警的概率为P(X=0)=0.001;
(2)恰有1台报警的概率为P(X=1)=0.027;
(3)恰有2台报警的概率为P(X=2)=0.243;
(4) 3台都报警的概率为P(X=3)=0.729;
(5) 至少有2台报警的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)
=0.243+0. 729=0.972;
(6)至少有1台报警的概率为P(X≥1)=1- P(X=0)=1-0.001=0.999.
例2 一批产品中,次品率为,现连续抽取4次，每次抽取1件产品，用随机变量表示抽取的次品的件数,求E和D.
解: 由题意知ξ~B()。它的分布列为
P(=k)=()k (1-)4-k(k= 0.1.2,3.4)，
如表:
k 0 1 2 3 4
P(=k)
E+2×+3×+4×
D=
如果X~B（n，p），那么，．
下面我们对均值进行证明．
令，由，可得．
令，则
+
=(n-1)p+
如果X~B（n，p），那么，．
-[]2=(n-1)p+
．
右图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．
分析:小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果．设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5．在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验．小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X服从二项分布．
右图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．
解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P（A）=P（）=0.5．
因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，
而小球在下落过程中共碰撞小木钉10次，
所以X~B（10，0.5）．于是，X的分布列为
P（X=k）=，k=0，1，2，…，10．
X的概率分布图如右图所示．
某知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为
(1)求选手甲可进入决赛的概率．
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列．
解：(1)选手甲答3道题进入决赛的概率为；
选手甲答4道题进入决赛的概率为；
选手甲答5道题进入决赛的概率为.
所以选手甲可进入决赛的概率为.．
解：(2)依题意，ξ的可能取值为3，4，5，则有
，
，
，
所以ξ的分布列如下：
某知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方式进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为
(1)求选手甲可进入决赛的概率．
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列．
ξ 3 4 5
P
二项分布的定义：
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0，n．
如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p) ．
确定一个二项分布模型的步骤:
（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
（2）确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B（n，p）.
一般地，如果X~B（n，p），那么，．
课堂小结
甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
解法1：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜．
类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2．
因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为
p1＝0.62＋ ×0.62×0.4＝0.648．
p2＝0.63＋ ×0.63×0.4＋ ×0.63×0.42＝0.682 56．
解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X表示3局比赛中甲胜的局数，则X～B（3，0.6）．
采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X表示5局比赛中甲胜的局数，则X～B（5，0.6）．
甲最终获胜的概率为
p1＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ×0.62×0.4＋ ×0.63＝0.648．
p2＝P（X＝3）＋P（X＝4）＋P（X＝5）
甲最终获胜的概率为
因为p2＞p1，所以5局3胜制对甲有利．实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利．
＝ ×0.63×0.42＋ ×0.64×0.4＋ ×0.65
甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？
作业：教材215、216页练习题全做．
例3：某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30kw,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0,001).
分析：我们将每台机床是香能正常工作看成--次试验,那么一共有5次试验,并且它们彼此是独立的;在每次试验中,把正常工作看作“成功”,不正常工作看作“失败"，那么每次试验“成功”的概率都是0.2.如果令X为5台机床中正常工作的台数,那么X服从参数为n=5,p=0.2的二项分布.
而题目中“车间不能正常工作"是指总功率超过30kW.即X4.
例3：某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30kw,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0,001).
解：设X为5台机床中正常工作的台数,则X服从参数为n=5,p=0.2的二项分布,即P(X=k)=0.2k(1-0.2)5-k(k=0.1,2.3,4,5).
于是,由题意可得P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)
=0.24(1-0.2)5-4+0.25(1-0.2)5-50.007.
这是一个概率很小的事件，几乎不会发生.因此，如果车间不能正常工作时不会造成破坏性后果,那么在总功率只能为30kW的情况下仍可以正常安排生产
动手实践
1.全班每人抛掷一枚均匀的硬币100次(或利用科学计算器产生随机数进行模拟),记录正面朝上的次数.计算恰好得到了50次正面朝上的同学人数占全班同学总人数的比例.
2.每人再做一次试验 ,计算恰好得到了50次正面朝上的同学人数占全班同学总人数的比例。
分析理解
有人给出了一个抛掷均匀硬币的模拟试验O,试验相当于100个人，每人都抛掷100次均匀硬币,记录各自掷出正面朝上的次数如下:
在这100个数字中.50出现了7次.因此.“抛掷100次均匀的硬币.恰好出现50次正面朝上:”的频率是
我们也可以从理论上计算这个概率.用X表示100次抛掷中正面朝上的次数。则易知X服从参数为n=100.p=0.5的二项分布.因此.100次抛掷中恰有50次正面朝上的概率为
P(X=50)=0.550(1-0.5)100-50
由此可见，前面算出的频率与理论上的概率值是很接近的.
人们也许存在着这样的误解,认为“抛掷100次均匀的硬币出现50次正面朝上”是必然的。或者说它的概率应该很大.但通过做试验和计算表明这个概率只有8%左右.由此可见，
学习概率的知识有时能够帮助我们澄清--些误解。
谢谢
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