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本章总结提升
【素养提升】
题型一
例1　解:(1)散点图如图所示:
(2)由(1)中散点图可知,y与x具有线性相关关系.
因为=×(1.4+1.6+1.8+2+2.2)==1.8,
=×(12+10+7+5+3)==7.4,
故y关于x的经验回归方程为=28.1-11.5x.
(3)当x=1.9时,=28.1-11.5×1.9=6.25,
故预测每吨的价格为1.9万元时的需求量为6.25吨.
变式　解:(1)由题知==3,==5,
例2　解:(1)
题型二
例3　解:(1)2×2列联表如下:
有报考意向 无报考意向 合计
男生 100 400 500
女生 100 300 400
合计 200 700 900
(2)提出假设H0:学生是否有报考军事类院校的意向与性别无关.
由2×2列联表计算可得χ2=≈3.214,
因为当H0成立时,χ2≥2.706的概率约为0.1,所以有90%的把握认为学生是否有报考军事类院校的意向与性别有关.
变式　解:(1)由题意得
解得a=b=50.
(2)提出假设H0:对短视频剪接成长视频的APP的需求,青年人与中老年人没有差异.
由题意得2×2列联表,如下:
青年人 中老年人 合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550
对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450
合计 400 600 1000
根据表中数据,计算可得χ2=≈107.744>10.828,
因为当H0成立时,χ2≥10.828的概率约为0.001,
所以我们有99.9%的把握认为对短视频剪接成长视频的APP的需求,青年人与中老年人有差异.
题型三
例4　解:(1)由题意,r==≈0.74>0.5,
所以认为变量x与y的线性相关关系显著.
设=x+,则=≈0.56,
=-=70-0.56×110=8.4,
所以y关于x的经验回归方程为=0.56x+8.4.
所以10 000名考生的物理成绩Y服从正态分布N(70,8.52),
故P(Y≥61.5)=P(Y≥μ-σ)=0.5+P(μ-σ所以物理成绩不低于61.5分的人数Z~B(10 000,0.841 5),故E(Z)=10 000×0.841 5=8415.
变式　解:(1)5家超市中销售额不少于60万元的超市有C,D,E,共3家,
从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家,则随机变量X的可能取值为1,2,3,
P(X=1)==,P(X=2)==,
P(X=3)==,∴X的分布列为
X 1 2 3
P
E(X)=1×+2×+3×=.
(2)由表中数据可得,==5,==52,
=-=52-7×5=17,
∴y关于x的经验回归方程为=7x+17.
当x=10时,=7×10+17=87,
∴预测当广告支出为10万元时的销售额为87万元.
题型四
例5　解:(1)根据已知数据补全2×2列联表如表所示:
治愈 未治愈 合计
创新药 40 10 50
传统药 280 120 400
合计 320 130 450
提出假设H0:创新药的疗效与传统药的疗效没有差异.
根据表中数据计算可得χ2=≈2.16<2.706,
所以我们认为没有充分的证据说明创新药的疗效与传统药的疗效有差异,
所以我们认为创新药的疗效与传统药的疗效没有差异,即创新药的疗效没有比传统药的疗效好.
(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名患者,相当于每40名患者中抽取1名,
所以治愈者中抽取7名,未治愈者中抽取3名,再从这10人中随机抽取8人进行回访,
用X表示回访患者中治愈者的人数,则X的可能取值有5,6,7,
P(X=k)=,k=5,6,7,所以X服从超几何分布,
即P(X=5)===,P(X=6)===,P(X=7)===,
故X的分布列为
X 5 6 7
P
所以E(X)=5×+6×+7×==.
变式　解:(1)将表格补充完整为
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
K2的观测值k=≈4.688.
因为4.688>3.841,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
因为4.688<6.635,所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
(2)由题意可知,生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为=0.64,
用频率估计概率可得=0.64.
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5,
所以p+1.65=0.5+1.65≈0.5+1.65×≈0.567,
可知>p+1.65,
所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.本章总结提升
◆ 题型一　回归分析
[类型总述] (1)利用最小二乘法求经验回归方程;(2)利用点(,)确定经验回归方程,并进行回归分析;(3)借助题目给出的散点图或模型,利用数据确定方程,然后进一步解决问题.　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 [2025·江苏扬州高二期末] 在一段时间内,分5次测得某种商品每吨的价格x(万元)和需求量y(吨)的一组数据为:
x(万元) 1.4 1.6 1.8 2 2.2
y(吨) 12 10 7 5 3
已知xiyi=62,=16.6.
(1)画出散点图;
(2)求出y关于x的经验回归方程;
(3)预测每吨的价格为1.9万元时的需求量.
变式 某款3A级别游戏自发布以来受到了广泛关注,仅用了三天时间便在各大平台上卖出超过1000万份,这一速度令人惊讶.下表是该游戏自发布以来在某一平台上各月的销售量统计表.
月份编号x 1 2 3 4 5
销售量y(百万份) 8 6.3 5.1 3.2 2.4
(1)依据表中的统计数据,计算样本相关系数r(结果保留两位小数),并判断月份编号x与销售量y之间是否具有较强的线性相关关系;
(2)预测该平台半年时间的销售量能否突破26百万份.
参考数据:≈14.39.
参考公式:r=,
=,=-.
例2 某淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉,下表为年投入资金x(万元)与年收益y(万元)的8组数据:
x 10 20 30 40 50 60 70 80
y 12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
(1)用 y=bln x+a拟合生产食品淀粉的年收益y与年投入资金x的关系,求出经验回归方程;
(2)为响应国家“加快调整产业结构”的号召,该企业又自主研发出一种药用淀粉,预计其收益为投入的10%,2024年该企业计划投入200万元用于生产两种淀粉,求总的年收益y总(万元)的最大值.(精确到0.1万元)
附:①经验回归直线=v+中斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=- .
②
yi ln xi (ln xi)2 yiln xi
161 29 20 400 109 603
ln 2≈0.7,ln 5≈1.6.
◆ 题型二　独立性检验
[类型总述] 由公式χ2=计算χ2的值,判断两个分类变量之间是否有关系.
例3 [2025·江苏常州北郊高中高二期末] 近年来,解放军强军兴军的深刻变化,感召了越来越多的高中优秀学子献身国防,投身军营.2024年高考,很多考生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生,其中男生500人,女生400人,通过调查,有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.
(1)完成给出的2×2列联表;
有报考意向 无报考意向 合计
男生
女生
合计
(2)根据独立性检验,判断是否有90%的把握认为学生是否有报考军事类院校的意向与性别有关.
参考公式及数据:χ2=,n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
变式 [2025·江苏徐州二中质检] 近年来,短视频作为以视频为载体的聚合平台,社交属性愈发突出,在用户生活中覆盖面越来越广泛,针对短视频的碎片化缺陷,将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研,以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP,得到如表数据:
青年人 中年人 老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求 2a+4b 200 a
对短视频剪接成长视频的APP无需求 a+b 150 4b
其中的数据为统计的人数,已知被调研的青年人有400人.
(1)求a,b的值;
(2)分析对短视频剪接成长视频的APP的需求,青年人与中老年人是否有差异
参考公式:χ2=,其中n=a+b+c+d.
临界值表:
P(χ2≥x0) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
◆ 题型三　回归分析与统计、概率的综合应用
[类型总述] 根据条件求出经验回归方程,从而解决回归分析与统计、概率综合问题.
例4 在一次考试中,为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分析,随机抽取10位同学的成绩(单位:分),对应数据如下表:
数学成绩x 90 99 101 104 111 112 113 117 123 130
物理成绩y 65 66 52 67 72 73 72 77 69 87
(1)根据表中数据计算样本相关系数,并判断x与y之间是否具有较强的线性相关关系,若线性相关关系较强,请根据这10组数据建立y关于x的经验回归方程(精确到0.01);
(2)已知参加该次考试的10 000名考生的物理成绩Y服从正态分布N(μ,σ2),用样本平均值作为μ的估计值,用样本标准差作为σ的估计值,估计物理成绩不低于61.5分的人数Z的数学期望.
参考数据:
xi yi xiyi
1100 700 77 714 122 270 49 730 ≈96.3 ≈8.5
参考公式:
①对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),
样本相关系数r=,
经验回归方程=+u中,=,=-.
②若随机变量ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997.
变式 某地5家超市春节期间的广告支出x(万元)与销售额y(万元)的数据如下:
超市 A B C D E
广告支出x 2 4 5 6 8
销售额y 30 40 60 60 70
(1)从A,B,C,D,E这5家超市中随机抽取3家,记销售额不少于60万元的超市个数为X,求随机变量X的分布列及数学期望E(X);
(2)利用最小二乘法求y关于x的经验回归方程=x+,并预测当广告支出为10万元时的销售额.
附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.
◆ 题型四　独立性检验与统计、概率的综合应用
[类型总述] 根据条件列出2×2列联表,计算χ2的值,从而解决独立性检验与统计、概率综合问题.
例5 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药,治疗效果对比试验数据如下:服用创新药的50名患者中有40名治愈;服用传统药的400名患者中有120名未治愈.
(1)补全2×2列联表,并分析创新药的疗效是否比传统药的疗效好;
治愈 未治愈 合计
创新药
传统药
合计
(2)从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名患者,再从这10人中随机抽取8人进行回访,用X表示回访患者中治愈者的人数,求X的分布列及均值.
变式 [2024·全国甲卷] 某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表:
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异 能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.若>p+1.65,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了 (≈12.247)
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828(共52张PPT)
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题型一 回归分析
题型二 独立性检验
题型三 回归分析与统计、概率的综合应用
题型四 独立性检验与统计、概率的综合应用
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题型一 回归分析
［类型总述］（1）利用最小二乘法求经验回归方程;（2）利用点
确定经验回归方程,并进行回归分析;（3）借助题目给出的散点
图或模型,利用数据确定方程,然后进一步解决问题.
例1 ［2025·江苏扬州高二期末］在一段时间内，分5次测得某种商
品每吨的价格（万元）和需求量 （吨）的一组数据为：
（万元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2
（吨） 12 10 7 5 3
已知， .
（1）画出散点图；
解：散点图如图所示：
例1 ［2025·江苏扬州高二期末］在一段时间内，分5次测得某种商
品每吨的价格（万元）和需求量 （吨）的一组数据为：
（万元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2
（吨） 12 10 7 5 3
已知， .
（2）求出关于 的经验回归方程；
解：由（1）中散点图可知，与 具有线性相关关系.
因为 ，
，
， ，
所以 ，
，
故关于的经验回归方程为 .
例1 ［2025·江苏扬州高二期末］在一段时间内，分5次测得某种商
品每吨的价格（万元）和需求量 （吨）的一组数据为：
（万元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2
（吨） 12 10 7 5 3
已知， .
（3）预测每吨的价格为1.9万元时的需求量.
解：当时， ，
故预测每吨的价格为1.9万元时的需求量为6.25吨.
变式 某款 级别游戏自发布以来受到了广泛关注，仅用了三天时间
便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游
戏自发布以来在某一平台上各月的销售量统计表.
月份编号 1 2 3 4 5
销售量 （百万份） 8 6.3 5.1 3.2 2.4
（1）依据表中的统计数据，计算样本相关系数 （结果保留两位小
数），并判断月份编号与销售量 之间是否具有较强的线性相关关系；
解：由题知， ，
，
，
，
所以 ，
所以月份编号与销售量 之间具有较强的线性相关关系.
变式 某款 级别游戏自发布以来受到了广泛关注，仅用了三天时间
便在各大平台上卖出超过1000万份，这一速度令人惊讶.下表是该游
戏自发布以来在某一平台上各月的销售量统计表.
月份编号 1 2 3 4 5
销售量 （百万份） 8 6.3 5.1 3.2 2.4
（2）预测该平台半年时间的销售量能否突破26百万份.
参考数据： .
参考公式： ，， .
解：因为 ,
，
所以关于的经验回归方程为.
当 时,, ，
所以预测该平台半年时间的销售量不能突破26百万份.
例2 某淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金
（万元）与年收益 （万元）的8组数据：
10 20 30 40 50 60 70 80
12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
（1）用拟合生产食品淀粉的年收益与年投入资金 的
关系，求出经验回归方程；
解： ，
，
所以经验回归方程为 .
例2 某淀粉厂2024年之前只生产食品淀粉，下表为年投入资金
（万元）与年收益 （万元）的8组数据：
10 20 30 40 50 60 70 80
12.8 16.5 19 20.9 21.5 21.9 23 25.4
（2）为响应国家“加快调整产业结构”的号召，该企业又自主研发出
一种药用淀粉，预计其收益为投入的 ，2024年该企业计划投入
200万元用于生产两种淀粉，求总的年收益 （万元）的最大值.
（精确到0.1万元）
附：①经验回归直线 中斜率和截距的最小二乘估计分别
为， .
②
161 29 20 400 109 603
， .
解：设投入万元生产食品淀粉， 万元生产
药用淀粉，所以 .
设 ，
则，易得在上单调递增，在 上单调
递减，
所以 ,
所以年收益最大约为36.5万元.
题型二 独立性检验
［类型总述］由公式计算 的值,判断两个
分类变量之间是否有关系.
例3 ［2025·江苏常州北郊高中高二期末］近年来，解放军强军兴军
的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀学子献身国防，投身军营.
2024年高考，很多考生报考了军事类院校.从某地区内学校的高三年
级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，
有报考军事类院校意向的男生、女生各100名.
（1）完成给出的 列联表；
有报考意向 无报考意向 合计
男生 _____ _____ _____
女生 _____ _____ _____
合计 _____ _____ _____
100
400
500
100
300
400
200
700
900
（2）根据独立性检验，判断是否有 的把握认为学生是否有报考
军事类院校的意向与性别有关.
参考公式及数据：， .
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：提出假设 学生是否有报考军事类院校的意向与性别无关.
由列联表计算可得 ，
因为当成立时，的概率约为，所以有 的把握认
为学生是否有报考军事类院校的意向与性别有关.
变式 ［2025·江苏徐州二中质检］近年来，短视频作为以视频为载
体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广
泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一
种新的技能.某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决
策是否开发将短视频剪接成长视频的 ，得到如表数据：
青年人 中年人 老年人
对短视频剪接成长视频的 有需求 200
对短视频剪接成长视频的 无需求 150
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人有400人.
（1）求， 的值；
解：由题意得
解得 .
（2）分析对短视频剪接成长视频的 的需求，青年人与中老年人
是否有差异？
参考公式：，其中 .
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
解：提出假设对短视频剪接成长视频的 的需求，青年人与
中老年人没有差异.
由题意得 列联表，如下：
青年人 中老年人 合计
对短视频剪接成长视频的 有需求 300 250 550
对短视频剪接成长视频的 无需求 100 350 450
合计 400 600 1000
根据表中数据，计算可得
，
因为当成立时，的概率约为 ，
所以我们有的把握认为对短视频剪接成长视频的 的需求，
青年人与中老年人有差异.
题型三 回归分析与统计、概率的综合应用
［类型总述］根据条件求出经验回归方程,从而解决回归分析与统计、
概率综合问题.
例4 在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分
析，随机抽取10位同学的成绩（单位：分），对应数据如下表：
数学成绩 90 99 101 104 111 112 113 117 123 130
物理成绩 65 66 52 67 72 73 72 77 69 87
（1）根据表中数据计算样本相关系数，并判断与 之间是否具有较
强的线性相关关系，若线性相关关系较强，请根据这10组数据建立
关于的经验回归方程精确到 ；
解：由题意，
，
所以认为变量与 的线性相关关系显著.
设，则 ，
，
所以关于的经验回归方程为 .
例4 在一次考试中，为了对学生的数学、物理成绩的相关性进行分
析，随机抽取10位同学的成绩（单位：分），对应数据如下表：
数学成绩 90 99 101 104 111 112 113 117 123 130
物理成绩 65 66 52 67 72 73 72 77 69 87
（2）已知参加该次考试的10 000名考生的物理成绩 服从正态分布
，用样本平均值作为 的估计值，用样本标准差作为 的
估计值，估计物理成绩不低于61.5分的人数 的数学期望.
参考数据：
1100 700 77 714 122 270 49 730
参考公式：
①对于一组数据，， ， ，
样本相关系数 ，
经验回归方程中，， .
②若随机变量，则 ，
， .
解：由（1）可知， ，
，所以10 000名考生的
物理成绩服从正态分布 ，
故 ，
所以物理成绩不低于61.5分的人数 ，故
.
变式 某地5家超市春节期间的广告支出（万元）与销售额 （万元）
的数据如下：
超市 A B C D E
广告支出 2 4 5 6 8
销售额 30 40 60 60 70
（1）从，，，， 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少
于60万元的超市个数为，求随机变量的分布列及数学期望 ；
解：5家超市中销售额不少于60万元的超市有，， ，共3家，
从，，，，这5家超市中随机抽取3家，则随机变量 的可能
取值为1，2，3，
， ，，
的分布列为
X 1 2 3
P
.
变式 某地5家超市春节期间的广告支出（万元）与销售额 （万元）
的数据如下：
超市 A B C D E
广告支出 2 4 5 6 8
销售额 30 40 60 60 70
（2）利用最小二乘法求关于的经验回归方程 ，并预测
当广告支出为10万元时的销售额.
附：经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分
别为， .
解：由表中数据可得， ，
，
，
，
关于的经验回归方程为 .
当时， ，
预测当广告支出为10万元时的销售额为87万元.
题型四 独立性检验与统计、概率的综合应用
［类型总述］根据条件列出列联表,计算 的值,从而解决独立
性检验与统计、概率综合问题.
例5 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验
数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400
名患者中有120名未治愈.
（1）补全 列联表，并分析创新药的疗效是否比传统药的疗效好；
治愈 未治愈 合计
创新药
传统药
合计
解：根据已知数据补全2×2列联表如表所示：
治愈 未治愈 合计
创新药 ____ ____ ____
传统药 _____ _____ _____
合计 _____ _____ _____
40
10
50
280
120
400
320
130
450
提出假设 创新药的疗效与传统药的疗效没有差异.
根据表中数据计算可得 ，
所以我们认为没有充分的证据说明创新药的疗效与传统药的疗效有
差异，
所以我们认为创新药的疗效与传统药的疗效没有差异，即创新药的
疗效没有比传统药的疗效好.
例5 治疗某种疾病有一种传统药和一种创新药，治疗效果对比试验
数据如下：服用创新药的50名患者中有40名治愈；服用传统药的400
名患者中有120名未治愈.
（2）从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名患
者，再从这10人中随机抽取8人进行回访，用 表示回访患者中治愈
者的人数，求 的分布列及均值.
解：从服用传统药的400名患者中按疗效比例分层随机抽取10名患者，
相当于每40名患者中抽取1名，
所以治愈者中抽取7名，未治愈者中抽取3名，再从这10人中随机抽
取8人进行回访，
用表示回访患者中治愈者的人数，则 的可能取值有5,6,7，
，,6,7，所以 服从超几何分布，
即 ,
,
，
故 的分布列为
X 5 6 7
P
所以 .
变式 ［2024·全国甲卷］某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改
造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，
数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能
否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
解： 将表格补充完整为
的观测值 .
因为，所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优
级品率存在差异.
因为,所以没有 的把握认为甲、乙两车间产品的优
级品率存在差异.
优级品 非优级品
甲车间 ____ ____
乙车间 ____ ____
26
24
70
30
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率.设 为升级改造
后抽取的件产品的优级品率.若 ,则认为该工厂
产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产
线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？
附： ,
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
解： 由题意可知，生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级
品的频率为 ，
用频率估计概率可得 .
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率 ，
所以 ，
可知 ，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提
高了.
快速核答案
例1 （1）略.（2）（3）预测每吨的价格为1.9万元时的需求量为6.25吨
变式 （1），月份编号与销售量之间具有较强的线性相关关系.
（2）预测该平台半年时间的销售量不能突破26百万份
例2 （1）（2）万元万元
例3 （1）100 400 500 100 300 400 200 700 900
（2）有的把握认为学生是否有报考军事类院校的意向与性别有关.
变式 （1）
（2）有的把握认为对短视频剪接成长视频的的需求，青年人与中老年人有差异.
例4 （1），认为变量与的线性相关关系显著.（2）
变式 （1）的分布列略，（2），预测当广告支出为10万元时的销售额为87万元
例5 （1）40 10 50 280 120 400 320 130 450
认为创新药的疗效没有比传统药的疗效好.
（2）的分布列略，
变式 （1）26 24 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
没有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.

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