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同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数
28.1 锐角三角函数、课时 2 余弦、正切
1.[2025昆明一模]如图，在△ 中，若∠ = 90 ，tan = 2， = 3，则 的值估计
在 ( )
A.3到 4之间 B.4到 5之间 C.5到 6之间 D.6到 7之间
答案：B
解析： 在△ 中，∠ = 90 ，tan = = 2 ，∴ = 2 = 3 2，∵ 3 2 = 18，

而 16 < 18 < 25，∴ 4 < 18 < 5 ，即 4 < 3 2 < 5，∴ 的值估计在 4到 5之间.
2.[2025南通期末]如图，△ 的顶点都是边长为 1的正方形网格的格点，则 tan 的值为
( )
A. 5 B. 3 C. 2 D.1
5 3 2 2
答案：D
解析： 如图， 连接格点 ， .
由勾股定理，得 = 12 + 12 = 2, = 12 + 12 = 2 , = 22 + 22 = 2 2，
∴ 2 + 2 = 4 = 2 ，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ，∴ tan = = 2 = 1 .
2 2 2
3.[2025安庆二模]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， 是 边上的高， 是 边上的
中线， = 3， = 5，则 tan∠ 的值为( )
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A. 21 B.1 C. 5 D. 30
7 2 5 10
答案：A
解析：在 Rt △ 中，∵ 为 边上的中线，且 = 5 ，∴ = = = 5，∴ = 10，
∠ = ∠ . ∵ = 3，∴ = 7 ， = = 2. ∵ 为 边上的高，∴ ⊥ ，∴
在 Rt △ 中， = 2 2 = 52 22 = 21 ，∴ tan∠ = tan∠ = = 21 .
7
4.[2025眉山中考]如图，在矩形 中， = 6， = 8，点 在 上，把△ 沿 折
叠，点 恰好落在 边上的点 处，则 cos∠ 的值为( )
A. 7 B. 7 C.3 D.5
4 3 4 4
答案：A
解析：∵ 四边形 是矩形，∴ = = 8， = = 6 .由折叠的性质，得 = = 8，
∠ = ∠ = 90 ，∴ = 2 2 = 82 62 = 2 7，∠ + ∠ = 90 ，
∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，∴ cos∠ = cos∠ = = 2 7 = 7 .（等角
8 4
转换法）
5.[2025漳州期末]四边形具有不稳定性，如图，将面积为 5的矩形“推”成面积为 4的平行四边
形，则 tan 的值为__.

答案：

解析： 如图， 过点 作 ⊥ 于点 . ∵ 矩形 的面积是 5，
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4 ∴ = 5 = 4 ∴ 4 4平行四边形 的面积是 ， ， ， = ，∴ = ，设 = 4 ，
5 5
= 5 ，在 Rt △ 中，由勾股定理，得 = 3 ∴ tan = 4， = .
3
6.已知△ 中，tan = 2， = 6，过点 作 边上的高，垂足为点 ，且满足 : = 2: 1，
3
则△ 的面积为_______.
答案：8或 24
解析：
7.[2025 4西安月考]如图，已知△ 中， ⊥ ， = 8， = 4 ，cos∠ = ， 为
5
边上的中线．
（1）求 的长；
解：∵ ⊥ ， ∠ = = ， = ，∴ = .

在 △ 中，由勾股定理得， = = = .
（2）求 tan∠ 的值．
解：通解 如图 1，连接 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 .
∵ 为 边上的中线，即 为 的中点，∴ = = .

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在 △ 中，由勾股定理，得 = + = + = ，∴ = .
∵△ 为等腰三角形， ⊥ ∴ = ， = .

△ = = ∴ ∠ = = 在 中， ， = .
+
优解 如图 2，过点 作 ⊥ ，垂足为 .∵ 为 边上的中线，∴ 是 的中点.
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ // ，∴ 是△ 的中位线，
∴ = = = ， = ，在 △ 中， ∠ = = = .
+
8. 1如图，△ 是边长为 6的等边三角形，点 ， 在边 上，若∠ = 30 ， tan∠ = ，
3
则 = ________.
答案：
解析：如图， 过点 作 ⊥ 于点 ，由等边三角形三线合一可知∠ =
∠ = 30 ，∴ = 1 = 3 （30 角所对直角边等于斜边的一半），
2
∠ + ∠ = 30 ，∴ = 2 2 = 3 3 ，∵ ∠ + ∠ = ∠ = 30 ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ tan∠ = tan∠ = = = 1，∴ = 3 ，∴ = = 3 3 .
3 3 3
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28.1 锐角三角函数、课时 2 余弦、正切
1.[2025昆明一模]如图，在△ 中，若∠ = 90 ，tan = 2， = 3，则 的值估计
在 ( )
A.3到 4之间 B.4到 5之间 C.5到 6之间 D.6到 7之间
2.[2025南通期末]如图，△ 的顶点都是边长为 1的正方形网格的格点，则 tan 的值为
( )
A. 5 B. 3 C. 2 D.1
5 3 2 2
3.[2025安庆二模]如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ， 是 边上的高， 是 边上的
中线， = 3， = 5，则 tan∠ 的值为( )
A. 21 B.1 C. 5 D. 30
7 2 5 10
4.[2025眉山中考]如图，在矩形 中， = 6， = 8，点 在 上，把△ 沿 折
叠，点 恰好落在 边上的点 处，则 cos∠ 的值为( )
A. 7 B. 7 C.3 D.5
4 3 4 4
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同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数
5.[2025漳州期末]四边形具有不稳定性，如图，将面积为 5的矩形“推”成面积为 4的平行四边
形，则 tan 的值为__.
6.已知△ 2中，tan = ， = 6，过点 作 边上的高，垂足为点 ，且满足 : = 2: 1，
3
则△ 的面积为_______.
7.[2025西安月考]如图，已知△ 中， ⊥ ， = 8， = 4 ，cos∠ = 4， 为
5
边上的中线．
（1）求 的长；
（2）求 tan∠ 的值．
8.如图，△ 是边长为 6的等边三角形，点 ， 在边 上，若∠ = 30 ， tan∠ = 1，
3
则 = ________.
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