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同步培优 A 本@第 28 章锐角三角函数
28.1 锐角三角函数、课时 3 特殊角的锐角三角函数值
1. 如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 1，延长 到点 ，使 = ，
连接 ，利用此图解释的三角函数值中错误的是( )
A.tan 30 = 3 B.tan 60 = 3
3
C.tan 15 = 1 + 3 D.tan 75 = 2 + 3
2.如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算 的距离，
他从 处看 处的视线与水平线的夹角为30 ，则 =_____m .
3.如图，半圆 的直径 = 6，点 在弦 上， ⊥ 于点 ，∠ = 30 ， ⊥ ，交
半圆 于点 ，则 的长为____.
4.阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：
sin 30 = 1，cos 30 = 3，则sin230 + cos230 = ___；①
2 2
sin 45 = 2，cos 45 = 2，则sin245 + cos245 = ___；②
2 2
sin 60 = 3 cos 60 = 1， ，则sin260 + cos260 = ___;③……
2 2
观察上述等式，猜想：对于任意锐角 ，都有sin2 + cos2 = ___．
（1）如图，在锐角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想.
（2）已知∠ 为锐角(cos > 0)，且 sin = 3，求 cos 的值．
5
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5.已知锐角三角形 中，∠ ，∠ ，∠ 的对边分别为 ， ， ，边角总满足关系式： = =
sin sin

．
sin
（1）如图 1，若 = 6，∠ = 45 ，∠ = 75 ，求 的值；
（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 中建一座小型景观桥 （如图2），若 ⊥ ，
= 14 米， = 10米，sin∠ = 5 3，求景观桥 的长度．
14
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28.1 锐角三角函数、课时 3 特殊角的锐角三角函数值
1. 如图，在 Rt △ 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ， = 1，延长 到点 ，使 = ，
连接 ，利用此图解释的三角函数值中错误的是( )
A.tan 30 = 3 B.tan 60 = 3
3
C.tan 15 = 1 + 3 D.tan 75 = 2 + 3
答案：C
解析： 在 Rt △ 中，由∠ = 30 ， = 1，得 = 2 ，由勾股定理，得 = 3，
∴ tan∠ = tan 30 = = 3 ，tan∠ = tan 60 = = 3，∴ 选项 A，B中的式子都
3
不符合题意. ∵ = = 2，∴ ∠ = ∠ = 1∠ = 15 ，∴ ∠ = 75 .在 Rt △
2
中，tan∠ = tan 15 = = = 1 = 2 3 ，tan∠ = tan 75 = = 2+ 3 = 2 +
+ 2+ 3 1
3，∴ 选项 C中的式子符合题意，选项 D中的式子不符合题意.
2.如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算 的距离，
他从 处看 处的视线与水平线的夹角为30 ，则 =_____m .
答案：100
解析：由等高线可得 ， 两地的实际高度差为 550 500 = 50(m)，依题意作图，得∠ = 30
= 50 m ∠ = 90 ∴ = = 50 ÷ 1， ， ， = 100(m) .
sin 2
3.如图，半圆 的直径 = 6，点 在弦 上， ⊥ 于点 ，∠ = 30 ， ⊥ ，交
半圆 于点 ，则 的长为____.
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答案：
解析： 如图，连接 . ∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90 ，∵ = 6，∴ = = 3 ，
∵ ∠ = 30 ，∴ = tan 30 = 3 × 3 = 3 ，∴ = 2 2 = 6 .
3
4.阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题：
sin 30 = 1，cos 30 = 3，则sin230 + cos230 = ___；①
2 2
sin 45 = 2，cos 45 = 2，则sin245 + cos245 = ___；②
2 2
sin 60 = 3，cos 60 = 1，则sin260 + cos260 = ___;③
2 2
……
观察上述等式，猜想：对于任意锐角 ，都有sin2 + cos2 = ___．
答案：1 ， 1 ， 1 ， 1
（1）如图，在锐角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想.
解：如图， 过点 作 ⊥ 于点 .
在 △ 中， = ， = ，由勾股定理，得 + = ，

∴ + = ( )

+ ( ) = + = .

3
（2）已知∠ 为锐角(cos > 0)，且 sin = ，求 cos 的值．
5

解：∵ ∠ 为锐角， = ， + = ，∴ = = .

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5.已知锐角三角形 中，∠ ，∠ ，∠ 的对边分别为 ， ， ，边角总满足关系式： = =
sin sin

．
sin
（1）如图 1，若 = 6，∠ = 45 ，∠ = 75 ，求 的值；
解：∵ ∠ = ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ ∠ = .
∵ = ，∴ =

，∴ = .

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 中建一座小型景观桥 （如图2），若 ⊥ ，
= 14 米， = 10 sin∠ = 5 3米， ，求景观桥 的长度．
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∵ = ∴ 解： ，
∠
= ，∴ = ，∴ ∠ = ，


∴ = = ，∴ = ，∴ = ，

由勾股定理，得 = + ，
∴ = + ( ) ，∴ = （负值已舍去），

∴ 景观桥 的长度为 米.
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