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同步培优 A 本@第 29 章投影与视图
29.2 三视图、课时 2 与三视图有关的计算
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.
2.[2025银川二模]随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大.某工厂要制作一批
无底帐篷，如图为设计师设计的帐篷的三视图，则该帐篷所需布料的面积为______________m2.
（结果保留π ，门也用布料制作，接口处损耗不计）
3.[2025成都期末]一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，小正方形
中的数字表示在该位置的小立方块的个数.
（1）请在如图的方格中画出该几何体的主视图和左视图；
（2）若每个小立方块的棱长为 1 cm，则该几何体的表面积为____cm2 .
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4.一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为
（∠ = ，如图 1所示），此时液面刚好过棱 ，并与棱 '交于点 ，此时液体的形
状的三视图及尺寸如图 2所示，求当正方体平放（正方形 在桌面上）时，液体的深度.
5.如图是一个几何体的三视图.（单位：cm ）
（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示的数据计算这个几何体的侧面积；
（3）如果有一只蚂蚁要从这个几何体上点 处出发，沿表面爬到 的中点 处,请求出这个
路线的最短路程.
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29.2 三视图、课时 2 与三视图有关的计算
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.
答案：60
解析：由三视图,知该几何体是棱长为 4的正方体截掉一个长、宽、高分别为 1,4,1的长方体后
剩余的部分.所以该几何体的体积 = 4 × 4 × 4 1 × 4 × 1 = 60 .
2.[2025银川二模]随着户外露营的兴起，人们对户外帐篷的需求也越来越大.某工厂要制作一批
无底帐篷，如图为设计师设计的帐篷的三视图，则该帐篷所需布料的面积为______________m2.
（结果保留π ，门也用布料制作，接口处损耗不计）
答案：( . + . )
解析：该帐篷所需布料的面积为 2 × 2.2 × 1.1 + 2 × 1.1 × 2 + π × 12 + 1 × π × 2 × 2.2 =
2
4.84 + 4.4 + π + 2.2π = (9.24 + 3.2π)(m2) .
3.[2025成都期末]一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，小正方形
中的数字表示在该位置的小立方块的个数.
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（1）请在如图的方格中画出该几何体的主视图和左视图；
解：如图所示.
（2）若每个小立方块的棱长为 1 cm，则该几何体的表面积为____cm2 .
答案：40
解析：∵ 几何体的上下面的小正方形个数为 2 × 5 = 10 ，左右面的小正方形个数为 2 × 6 = 12，
前后面的小正方形个数为 2 × 9 = 18，∴ 该几何体的表面积为(10 + 12 + 18) × 1 = 40(cm2).
4.一个透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为
（∠ = ，如图 1所示），此时液面刚好过棱 ，并与棱 '交于点 ，此时液体的形
状的三视图及尺寸如图 2所示，求当正方体平放（正方形 在桌面上）时，液体的深度.
解：由题意，得 = ， = ，四边形 是正方形，
∴ = ，∴ = = = ( ) ，
∴ 液体的体积 液 = × × × = (
) ，

∵ 正方形 的面积为 = × = ( ) ，
∴ 当正方体平放时，液体的深度是 ÷ = . ( ) .
5.如图是一个几何体的三视图.（单位：cm ）
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（1）写出这个几何体的名称；
解：圆锥.
（2）根据所示的数据计算这个几何体的侧面积；
解：根据三视图可知该圆锥的母线长为 ,底面圆的直径为 ,所以该圆锥的侧面积为
× × = ( ) .
（3）如果有一只蚂蚁要从这个几何体上点 处出发，沿表面爬到 的中点 处,请求出这个
路线的最短路程.
解：将圆锥的侧面展开如图所示，
线段 的长即所求的最短路程.
设∠ ' = ,∵ = ,∴ = ，即∠ ' = .


∵ 为 '的中点，∴ ∠ = .
∵ 为 的中点，∴ ' ⊥ ,∴ ∠ = ，
∴ = ∠ = ,
即这个路线的最短路程为 .
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