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同步培优 A 本@第 26 章反比例函数
26.1 反比例函数
课时 2 反比例函数图象和性质的应用
1.[2025 漯河召陵区期末]如图，在平面直角坐标系中，过 轴正半轴上任意一点 作 轴的平
3
行线，分别交反比例函数 = ( > 0)， = 6 ( > 0) 的图象于点 ， ．若 是 轴上任意一

点，则△ 的面积为 ( )
9
A.9 B.6 C. D.3
2
答案：C
解析：如图， 在 轴上找一点 ，连接 , , , .∵ 是
1 3 1
轴上任意一点， // 轴，∴ △ = △ .∵ △ = × 3 = , △ = × | 6| = 3 ，2 2 2
∴ 3 9 9△ = △ + △ = + 3 = ，∴ 2 2 △ = .2
1
2.[2025 亳州谯城区二模]如图，一次函数 = 2的图象分别交 轴、 轴于点 ， ，
3
为 上一点且 为△ 的中位线， 的延长线交反比例函数 = ( > 0) 的图象于点 ，

5△ = ，则 的长是( )2
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5 8
A. B. C.4 D.6
3 3
答案：B
1
解析：∵ 一次函数 = 2的图象分别交 轴、 轴于点 ， ，∴ (6,0)， (0, 2). ∵
3
是△ 的中位线，∴ 是线段 的中点，即 (3,0)， = 1. ∵ // 轴，∴ ⊥ 轴，∴ 点
1 = 5 1 5 5 5的横坐标为 3，设其纵坐标为 ，则 ，即 × 3 = ，解得 = ，∴ (3, ) ，∴ =
2 2 2 2 3 3
5 + 1 = 8 .
3 3

3.[2025 十堰月考]如图，平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，顶点 在 = 1 (
1
< 0) 的

图象上，顶点 在 = 2 ( 2 > 0) 的图象上，则平行四边形
的面积是( )
A. 2 1 B.2 2 C. 1 + 2 D. 2 1
答案：D
解析：思路：过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，根据反比例函数中比例系
数 1 1的几何意义，可得 △ = △ = | 2| ， 2 △ = △ = | 1|，进而可得平行四边形2
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的面积．
如图， 过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴
于点 ，∴ ∠ = ∠ = 90 .由四边形 为平行四边形，可得∠ = ∠ ， =
，∴△ ≌△ ，∴ △ = △ .∵ 点 =
2 1在 的图象上，∴
△
= △ = | 2|，2
同理可得， 1△ = △ = | 1| ，∴ 平行四边形 2(
1 | | + 1的面积为 2 | 1|) = | 2| +2 2 2
| 1| = 2 1 .
4.[2025 东营中考 A卷]如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1 = + 的图象与反比例函

数 2 = 的图象相交于点 和 ( 4, 3)，点 的横坐标为 2.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

解：∵ 点 ( 4, 3)在反比例函数 2 = 的图象上，∴ = ( 3) × ( 4) = 12 ，∴ 反比例
= 12 12函数的解析式为 2 .∵ 点 的横坐标为 2，且点 在反比例函数 2 = 的图象上，∴ 点 的
12
纵坐标为 = 6，∴ (2,6) .将点 (2,6)， ( 4, 3)的坐标分别代入 1 = + ，得2
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2 + = 6, = 3 , 3
4 + = 3,解得 2 ∴ 一次函数的解析式为 1 = + 3 . = 3, 2
（2）观察图象，直接写出当 1 ≤ 2时， 的取值范围；
解：由题中图象可知，当 1 ≤ 2 时， 的取值范围是 ≤ 4或 0 < ≤ 2 .
（3）点 为 轴上一动点，连接 , ，若△ 的面积为 18，求点 的坐标.
解：如图，设直线 = 3 + 3 31 与 轴交于点 ，令 1 = 0，即 + 3 = 0，则 = 2，2 2
∴ ( 2,0) ，设 ( , 0)，∴ = | + 2| .∵△ 的面积为 18，
∴ △ = △ + △ =
1 (
1
) ，∴ 2 △ = (6 + 3) = 18 ，2
∴ = 4，即| + 2| = 4，解得 = 2或 = 6 ，∴ 点 的坐标为( 6,0)或(2,0) .

5.几何直观在平面直角坐标系中，直线 ： = + 4 与反比例函数 = ( ≠ 0, > 0)

的图象交于点 (1,4) ．
（1）求 的值.
解：将点 (1,4)的坐标代入 = ( > 0) ，得 = 1 × 4 = 4 .


（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线 与函数 = ( ≠ 0, > 0)的图象所围成的

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区域（不含边界）为 .点 ( , 1) （ ≥ 4， 为整数）在直线 上．
①当 = 5时，求 的值，并写出区域 内的整点个数；
解：当 = 5 3时， (5,1) .∵ 点 在直线 上，∴ 1 = 5 + 4，解得 = ，∴ 直线 的解析
4
= 3 + 19式为 .画出两函数图象如图 1所示，区域 内的整点有(2,3)，(3,2) ，共 2 个.
4 4
②当区域 内恰有 5个整点时，直接写出 和 的值．
1
解： = 7, = .
2
解析：解法提示：当 = 6 时， (6,1). ∵ 点 在直线 上，∴ 1 = 6 + 4 3，解得 = ，则
5
3 23
直线 的解析式为 = + ，区域 内恰有 4个整点（如图 2）.当 = 7时， (7,1)，∵ 点
5 5
在直线 上，∴ 1 = 7 + 4，解得 = 1 1 9，则直线 的解析式为 = + ，区域 内恰
2 2 2
3 < ≤ 1有 5个整点（如图 2）.∴当区域 内恰有 5个整点时， 的取值范围是 .∵ 为整
5 2
数，∴ = 7， = 1 .
2
反比例函数中的数学思想方法
1.[2025 广州中考]函数 1 = 2 + + 与

2 = 的图象如图所示，当 1， 2均随着 的增
大而减小时， 的取值范围是( )
A. < 1 B. 1 < < 0
C.0 < < 2 D. > 1
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答案：D
解析：由函数图象可知，当 > 1时， 1随着 的增大而减小； 2 的图象位于第一、第三象限，
且在每一象限内， 2均随着 的增大而减小，所以当 > 1时， 1， 2均随着 的增大而减小.
4
2.[2025 浙江中考]反比例函数 = 的图象上有 ( , 1)， ( + 4, 2) 两点. 下列正确的选项
是( )
A.当 < 4时， 2 < 1 < 0 B.当 4 < < 0时， 2 < 1 < 0
C.当 4 < < 0 时，0 < 1 < 2A D.当 > 0 时，0 < 1 < 2
答案：A
4
解析：∵ 反比例函数 = 的图象位于第一、第三象限，且在每一个象限内， 随 的增大而减

小，∴ 当 < + 4 < 0，即 < 4时，点 ， 都在第三象限，∴ 0 > 1 > 2；当 < 0 < + 4，
即 4 < < 0 时，点 在第三象限，点 在第一象限，∴ 1 < 0 < 2；当 0 < < + 4，即 > 0
时，点 ， 都在第一象限，∴ 1 > 2 > 0 .

3.[2025 杭州滨江区期末]已知关于 的函数 1 = ， 2 = ， 3 = + ( ， 为常数， ≠
且 ≠ 0) ，则下列说法正确的是( ) ①函数 3与 1， 2图象的总交点至少有两个；②当
> 时，函数 2 和

3的图象有两个交点；③当 = 时，函数 2和 3 的图象只有一个交点；4 4
④无论 ， 取何值，函数 1和 3 的图象始终有两个交点.
A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④
答案：D

解析：令 = + ，整理得 2 + = 0，∴ Δ = 21 + 4 2. ∵ ≠ 0 ，∴ Δ = 21 + 4 2 > 0，
∴ 无论 ， 取何值，函数 1和 3 的图象始终有两个交点，故④正确.令 = + ，整理得 2 +
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= 0 ，∴ Δ2 = 2 + 4 . ∵ 的符号无法确定，∴ Δ2的符号无法确定，∴ 函数 3 与 1，
2图象的总交点至少有两个，故①正确.当 > 时，即 4 + > 0,Δ2 = 2 + 4 = ( +4
4 ),当 > 0 时，Δ2 > 0 ，此时，函数 2和 3的图象有两个交点，当 < 0时，Δ2 < 0，此时，

函数 2和 3 的图象没有交点，故②错误.当 = 时，Δ = 22 + 4 = 0，∴ 函数 4 2和 3 的
图象只有一个交点，故③正确.综上所述，正确的说法有①③④.
一题练透
反比例函数的图象和性质的综合应用如图，将矩形 放置在平面直角坐标系中， = 2，
= 3， 是 的中点，反比例函数的图象过点 且与 相交于点 ．
（1）反比例函数的解析式是_ _____.
3
答案： =

解析：∵ 四边形 是矩形， = 2 3， = 3，∴ (2,3).又∵ 是 的中点，∴ (2, ).设
2
3
反比例函数的解析式是 = ，把点 的坐标代入，得 = 3，∴ 反比例函数的解析式是 = .

（2）反比例函数图象的另一支位于第____象限，点( 1, 2) ______
（填“在”或“不在”）这个函数的图象上.
答案：三 ，不在
（3）已知点(3, 1)，( 2, 2)，( 3, 3) 都在这个反比例函数的图象上，写出 1， 2， 3的
大小关系：_____________.（用“< ”连接）
答案： 2 < 3 < 1
解析：∵ 反比例函数 = 3中的比例系数 = 3 > 0，∴ 在每一象限内， 的值随 值的增大而

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减小.又∵ 点(3, 1)，( 2, 2)，( 3, 3) 都在 = 3的图象上，∴ 1 > 0， 2 < 3 < 0，∴ 2 <

3 < 1.
（4） 是这个反比例函数图象上的一点（不与点 重合），若 = ，
求点 的坐标.
解：易得点 的坐标为(1,3) .
3
解析：∵ 反比例函数 = 的图象关于原点对称，∴ 当点 与点 关于原点对称时， = .

( 1, 3) ∵ = 3此时点 的坐标为 . 反比例函数 的图象关于直线 = 对称，∴ 当点 与点

关于直线 = 对称时， = 3.此时点 的坐标为(3,1) .∵ 反比例函数 = 的图象关于直

线 = 对称，∴ 当点 与点 关于直线 = 对称时， = .此时点 的坐标为( 3,
1) .综上所述，点 的坐标为( 1, 3)或(3,1)或( 3, 1) .
（5）连接 ， ，则四边形 的面积为___．
答案：3
1 1 3
解析： 四边形 = 矩形 △ △ = 2 × 3 × 1 × 3 × 2 × = 3 .2 2 2
（6） 为 轴上一动点，当 + 的值最小时，直接写出点 的坐标.
答案：(0, 5 )
2
解析：解法提示：作点 关于 轴的对称点 1，连接 1 ，与 轴的交点即为所求点 . ∵ 点
与点 1关于
3
轴对称，∴ 点 1的坐标为( 2, ) .设直线 1 的解析式为 = + ( ≠ 0)，则2
1
2 + = 3 , = , 1 5 5
2 解得 25 ∴ 直线 1 的解析式为 = + .令 = 0，得 = ，∴ 点 的坐 + = 3, = . 2 2 2
2
5
标为(0, ) .
2
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26.1 反比例函数
课时 2 反比例函数图象和性质的应用
1.[2025 漯河期末]如图，在平面直角坐标系中，过 轴正半轴上任意一点 作 轴的平行线，
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分别交反比例函数 = ( > 0)， = ( > 0) 的图象于点 ， ．若 是 轴上任意一点，则

△ 的面积为 ( )
9
A.9 B.6 C. D.3
2
2.[2025 亳州谯城区二模]如图，一次函数 = 1 2的图象分别交 轴、 轴于点 ， ，
3

为 上一点且 为△ 的中位线， 的延长线交反比例函数 = ( > 0) 的图象于点 ，

= 5△ ，则 的长是( )2
5 8
A. B. C.4 D.6
3 3
第 2题图 第 3题图

3.[2025 十堰月考]如图，平行四边形 的顶点 ， 在 轴上，顶点 在 = 1 ( 1 < 0) 的

图象上，顶点 在 = 2 ( 2 > 0) 的图象上，则平行四边形
的面积是( )
A. 2 1 B.2 2 C. 1 + 2 D. 2 1
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4.[2025 东营中考 A卷]如图，在平面直角坐标系中，一次函数 1 = + 的图象与反比例函
= 数 2 的图象相交于点 和 ( 4, 3)，点 的横坐标为 2.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当 1 ≤ 2时， 的取值范围；
（3）点 为 轴上一动点，连接 , ，若△ 的面积为 18，求点 的坐标.

5.几何直观在平面直角坐标系中，直线 ： = + 4 与反比例函数 = ( ≠ 0, > 0)

的图象交于点 (1,4) ．
（1）求 的值.

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线 与函数 = ( ≠ 0, > 0)的图象所围成的

区域（不含边界）为 .点 ( , 1) （ ≥ 4， 为整数）在直线 上．
①当 = 5时，求 的值，并写出区域 内的整点个数；
②当区域 内恰有 5个整点时，直接写出 和 的值．
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反比例函数中的数学思想方法
1.[2025 广州中考]函数 = 21 + + 与 =

2 的图象如图所示，当 1， 2均随着 的增
大而减小时， 的取值范围是( )
A. < 1 B. 1 < < 0
C.0 < < 2 D. > 1
2.[2025 浙江中考]反比例函数 = 4的图象上有 ( , 1)， ( + 4, 2) 两点. 下列正确的选项
是( )
A.当 < 4时， 2 < 1 < 0
B.当 4 < < 0 时， 2 < 1 < 0
C.当 4 < < 0 时，0 < 1 < 2A
D.当 > 0时，0 < 1 < 2
= = 3.[2025 杭州滨江区期末]已知关于 的函数 1 ， 2 ， 3 = + ( ， 为常数， ≠
且 ≠ 0) ，则下列说法正确的是( )
①函数 3与 1， 2图象的总交点至少有两个；

②当 > 时，函数 2 和 3的图象有两个交点；4
③当 = 时，函数 2和 3 的图象只有一个交点；4
④无论 ， 取何值，函数 1和 3 的图象始终有两个交点.
A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①③④
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一题练透
反比例函数的图象和性质的综合应用如图，将矩形 放置在平面直角坐标系中， = 2，
= 3， 是 的中点，反比例函数的图象过点 且与 相交于点 ．
（1）反比例函数的解析式是_ _____.
（2）反比例函数图象的另一支位于第____象限，点( 1, 2) ______（填“在”或“不在”）
这个函数的图象上.
（3）已知点(3, 1)，( 2, 2)，( 3, 3) 都在这个反比例函数的图象上，写出 1， 2， 3的
大小关系：_____________.（用“< ”连接）
（4） 是这个反比例函数图象上的一点（不与点 重合），若 = ，求点 的坐标.
（5）连接 ， ，则四边形 的面积为___．
（6） 为 轴上一动点，当 + 的值最小时，直接写出点 的坐标.
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