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同步培优 A 本@第 27 章相似
27.2 相似三角形
课时 2 利用平行线判定三角形相似
1.[2024 大连期中]如图， 1// 2， : = 2: 5 ， : = 4: 1

，则 的值为( )

5 1 3
A. B. C.2 D.
2 4 2
2.[2025 株洲期末]如图，在△ 中，点 ， 为边 的三等分点，点 ， 在边 上， // //
，点 为 与 的交点.若 = 12，则 的长为( )
3
A.1 B. C.2 D.3
2
第 2 题图 第 3 题图
3.[2025 淄博期末]如图，已知 是线段 的中点， 是线段 的中点，连接 并延长交
于点 ，则 的值是( )

1 1 2 3
A. B. C. D.
2 3 3 5
4.[2025 扬州一模]如图， 中， ， 分别为 ， 的中点， 与 相交于点 ，则
: = _____.
第 4 题图 第 5 题图
5.用杠杆撬石头的示意图如图所示， 点是支点，当用力压杠杆的 端时，杠杆绕 点转动，
另一端 向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 端必须向上翘起
8 cm ，已知杠杆的动力臂 与阻力臂 的比为 4: 1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的
端向下压____cm .
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6. [2024 宁夏中考]如图，在 中，点 , 在 边上， = ，连接 并延长交
的延长线于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 .求证： = .小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理.
7. [2025 安庆期中]以下各图是由边长均为 1的小正方形组成的网格，图中的点 ， ， ， 均
在格点上.
（1）在图 1中， : = _____.
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图 2，在线段 上找一点 ，使 = 3 ；
②如图 3，在线段 上找一点 ，使△ ∽△ .
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27.2 相似三角形
课时 2 利用平行线判定三角形相似

1.[2024 大连期中]如图， 1// 2， : = 2: 5 ， : = 4: 1，则 的值为( )
5 1 3
A. B. C.2 D.
2 4 2
答案：C
解析：∵ 1// 2，∴△ ∽△ ∴
= = 2， , = 2 . ∵ : = 4: 1， + = ，
5 5
2
∴ = 1 = 5

= 2. ∵ // ∴△ ∽△ ∴ = ， 1 1 2 ， ， = 2 .5 5
2.[2025 株洲期末]如图，在△ 中，点 ， 为边 的三等分点，点 ， 在边 上， // //
，点 为 与 的交点.若 = 12，则 的长为( )
3
A.1 B. C.2 D.3
2
答案：C
解析：∵ ， 为边 的三等分点，∴ = 3 ， = 2 .
∵ // ，∴△ ∽△ ，∴ = ，即 = ，解得 = 4 .
12 3
∵ // ∴△ ∽△ ∴ = ， ， ，∴ = 1 = 1 × 4 = 2 .
2 2
3.[2025 淄博期末]如图，已知 是线段 的中点， 是线段 的中点，连接 并延长交
于点 ，则 的值是( )

1 1 2 3
A. B. C. D.
2 3 3 5
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答案：A
解析：如图，
过点 作 // 交 于点 ，则∠ = ∠ ，∵ 是线段 的中点， 是线段 的中
点,∴ = = 1 ， = ，∵ // ，∴△ ∽△ 1，∴ = = .在△
2 2
∠ = ∠ ,
和△ 中， = , ∴△ ≌△ (ASA) ，∴ = 1，∴ = = .
∠ = ∠ , 2
4.[2025 扬州一模]如图， 中， ， 分别为 ， 的中点， 与 相交于点 ，则
: = _____.
答案：2: 3
解析：如图，延长 ， 交于点 .
∵ 四边形 是平行四边形， ， 分别为 ， 的中点，∴ // ， = ， = ，
∴ = = 2 . ∵ // ∴ △ ∽△ ∴ = ， ， = 1 ，∴ = = = 2 ，

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∴ = + = 2 + = 3 . ∵ // ，∴△ ∽△ ∴ = = 2 ， = 2，
3 3
∴ : = 2: 3 .
5.用杠杆撬石头的示意图如图所示， 点是支点，当用力压杠杆的 端时，杠杆绕 点转动，
另一端 向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的 端必须向上翘起
8 cm ，已知杠杆的动力臂 与阻力臂 的比为 4: 1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的
端向下压____cm .
答案：32
解析：如图， ， 都与水平线垂直，
∴ // ∴△ ∽△ ∴ = ， ， .∵ 杠杆的动力臂 与阻力臂 的比为 4: 1，

∴ = 4，即 = 4 ，∴当 ≥ 8cm时， ≥ 32cm .故要使这块石头滚动，至少要将杠
1
杆的 端向下压 32cm .
6. [2024 宁夏中考]如图，在 中，点 , 在 边上， = ，连接 并延长交
的延长线于点 ，连接 并延长交 的延长线于点 .求证： = .小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理.
证明：∵ 四边形 是平行四边形,
∴ = ， // ，
∴△ ∽△ ∴ = , .

△ ∽△ ∴ = 同理可得 ， .

又∵ = ，∴ + = + ，
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即 = ，∴ = .

又∵ = ，∴ = .
7. [2025 安庆期中]以下各图是由边长均为 1的小正方形组成的网格，图中的点 ， ， ， 均
在格点上.
（1）在图 1中， : = _____.
答案：1: 3
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法.
①如图 2，在线段 上找一点 ，使 = 3 ；
解：如图 1，点 即为所求.
解析：在网格中由勾股定理，得 = 5 ，要使 = 3，则只需满足 : = 3: 2 即可，故需
利用网格找到平行线，且使 = 2， = 3，线段 与 的交点即为所求的点 .
②如图 3，在线段 上找一点 ，使△ ∽△ .
解：如图 2，点 即为所求.
解析：找格点 T，点 A与点 T关于直线 BC 对称，则
△ ≌△ ，由 // ，得△ ∽△ ，则△ ∽△ .
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