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同步培优 A 本@第 27 章相似
27.2 相似三角形
课时 4 利用两边和夹角判定三角形相似

1.[2025 常州天宁区模拟]如图，在△ 中， 为 上一点， = 3 = 3 ，则 的

值为( )
3 2 3 6
A. B. C. D.
2 3 3 3
2.一题多解,如图，在△ 中，已知 = 2， ⊥ ，垂足为 ， = 2 .若点 是
的中点，则 的长为___.
第 2 题图 第 3 题图
3.[2025商丘期末]如图，在△ 中， = 7 cm， = 4 cm ，点 从点 沿 方向以 2cm/
s的速度向点 移动，点 从点 沿 方向以 1 cm/s的速度向点 移动，若 ， 同时出发，
同时停止，则经过_______时，△ 与△ 相似．
4.[2025 福州华伦中学期末]如图，矩形 和矩形 共顶点，且绕着点 顺时针旋转，
= = 3 满足 .问: 的值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并
4
说明理由.
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5.如图，已知在△ 和△ 中，∠ = ∠ ，∠ = 115 ，点 ， 分别为 和 上的
点，且 // ， = ， = .
（1）求∠ 的度数；
（2）若 = 8 = 9， ，求 的值.
2
6.[2025 山东中考]如图,点 为 的对角线 上一点, = 5, = 1,连接 并延长至
点 ,使得 = ,连接 ，则 的长为( )
5 7
A. B.3 C. D.4
2 2
7. [2025 黑龙江中考]如图，已知△ 中，∠ = 90 ， = 7， = 9，点 是△
1
内部一点，连接 ， ， .若 = 3 ，则 + 的最小值为_____.
3
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27.2 相似三角形
课时 4 利用两边和夹角判定三角形相似

1.[2025 常州天宁区模拟]如图，在△ 中， 为 上一点， = 3 = 3 ，则 的

值为( )
3 2 3 6
A. B. C. D.
2 3 3 3
答案：C
解析：∵ = 3 = 3 ∴ = = 3， ，∵ ∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ∴ = 3， = .
3 3
2.一题多解,如图，在△ 中，已知 = 2， ⊥ ，垂足为 ， = 2 .若点 是
的中点，则 的长为___.
答案：1
解析： 通解 ∵ = 2 ∴ ， = 2，∵ 点 是 的中点，∴ = 2 ，∴ = 2，

∴ = = 2 .又∵ ⊥ ,∴ ∠ = ∠ = 90 ,∴△ ∽△ , ∴ = = 2,又

∵ = 2,∴ = 1 .
3.[2025 商丘实验中学期末]如图，在△ 中， = 7 cm， = 4 cm ，点 从点 沿
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方向以 2 cm/s的速度向点 移动，点 从点 沿 方向以 1 cm/s的速度向点 移动，若 ，
同时出发，同时停止，则经过____________时，△ 与△ 相似．

答案： 或

解析：设经过 s，△ 与△ 相似，则 = 2 cm， = cm . ∵ = 7 cm，
∴ = = (7 2 )cm .分两种情况：①如图1，当△ ∽△ = 7 2 时， ,即 =
7
= 28，解得 ；②如图 2，当△ ∽△ = 7 2 时， ,即 = ，解得 = 49.综上所述，
4 15 7 4 18
28 s 49经过 或 s时，△ 与△ 相似.
15 18
4.[2025 福州华伦中学期末]如图，矩形 和矩形 共顶点，且绕着点 顺时针旋转，
= = 3 满足 .问: 的值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并
4
说明理由.

解：（1） 的值不变， = .理由如下：如图，连接 ， .∵ 四边形 是矩形，

∴ ∠ = ， = ∵ = ∴ . ， = ，设 = ， = ，则 = ，

∴ : : = : : .同理可得 : : = : : .∴△ ∽△ ，∴ ∠ =
∠ ， = ，∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，即∠ = ∠ = ， ，∴△

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∽△ ∴ ， = = .

5.如图，已知在△ 和△ 中，∠ = ∠ ，∠ = 115 ，点 ， 分别为 和 上的
点，且 // ， = ， = .
（1）求∠ 的度数；
解：∵ // ∴ = ， .∵ = ， = ，∴ = ，又∵ ∠ = ∠ ，∴△ ∽△

.∵ ∠ = ，∴ ∠ = ∠ = .
（2）若 = 8， = 9，求 的值.
2

解：由（1）知△ ∽△ ，∴ = ，∴ = = × = .∵ > ，∴ =

.
解析： 解题思路：由题中条件∠ = ∠ ，∠ = 115 ，要求∠ 的度数，可联想证明
△ ∽△ ，得对应角相等即可求解.在证明三角形相似时，已知一组角相等，再找夹这
组角的边成比例即可，根据平行线，得比例式，可找出夹这组角的边成比例.
6.[2025 山东中考]如图,点 为 的对角线 上一点, = 5, = 1,连接 并延长至
点 ,使得 = ,连接 ，则 的长为( )
5 7
A. B.3 C. D.4
2 2
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答案：B
解析：通解 如图，延长 ， 相交于点 . ∵ 四边形 是平行四边形，∴ // ，即 //
，∴△ ∽△ ，∴ = = . ∵ = 5， = 1，∴ = 4，∴ = = = 1.
4
1 1 1 1
又 = ，∴ = .∵ = = ， = ，∴ = ，∴ = = ，
3 + 4 3 3
∴ = = 3.∵ ∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ∴ = = 3， .又 = 4 ，∴ = 3 .
4 4
7.[2025 黑龙江中考]如图，已知△ 中，∠ = 90 ， = 7， = 9，点 是△
1
内部一点，连接 ， ， .若 = 3 ，则 + 的最小值为_____.
3
答案：

解析：如图，在 上取点 ，使 = 1，连接 , ，∵ = 9， = 3，∴ = = 1 ，
3
又∵ ∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ∴ = = 1， ，∴ = 1 ，∴ + 1 =
3 3 3
+ ≥ ，∵ = 2 + 2 = 72 + 12 = 5 2，∴ + 1 ≥ 5 2，即当点 在
3
上时， + 1 的值最小，为 5 2 .
3
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