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同步培优 A 本@第 27 章相似
27.2 相似三角形
课时 5 利用两角判定三角形相似及两直角三角形相似的判定
1.[2025 蚌埠期中]如图，在△ 纸片中，∠ = 90 ， = 5， = 7 ，将该纸片沿虚线
剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
2.[2025 宿州三模]如图，⊙ 的直径 = 10 ，半径 ⊥ ，点 为⊙ 上一点，连接
交 于点 ，若 = ，则 的值为( )
A.50 B.50 2 C.25 5 D.10 10
3.[2025 西安期末]如图，在矩形 中， = 3， = 10 ，点 在边 上， ⊥ ，垂
足为 .若 = 6，则线段 的长为___.
4.[2025 成都期末]某工件横截面如图 1所示，已知 // ， = ，∠ = ∠ .现将一根
宽为 2 cm 的直尺按图 2的方式摆放，直尺恰好卡在 之间，测得 = 2.5 cm， =
8 cm，则该工件的内径 的长为_________.
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5.[2025 绍兴期末]如图，点 为线段 的中点，且∠ = ∠ = ∠ = 90 .
（1）若 = 1， = 2，求 的长度.
（2）求证：△ ∽△ .
6.[2025 商洛期中]如图，在正方形 中，点 是 边的中点，点 在射线 上，过点 作
⊥ 于点 .
（1）求证：△ ∽△ .
（2）已知正方形 的边长为 4，当点 在射线 上运动时，设 = ，是否存在实数 ，
使以 ， ， 为顶点的三角形与△ 相似？若存在，请求出 的值；若不存在，说明理由.
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27.2 相似三角形
课时 5 利用两角判定三角形相似及两直角三角形相似的判定
1. [2025 蚌埠期中]如图，在△ 纸片中，∠ = 90 ， = 5， = 7 ，将该纸片沿虚线
剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
答案：D
解析：如图 1，∵ ⊥ 于点 ，∴ ∠ = 90 ，∵ ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ ，∵ ∠ =
∠ ，∴△ ∽△ ，故 A项不符合题意；如图 2，∵ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = 90 ，∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ ，∴ // ，∴△ ∽△ ，故 B项不符合题意；如图 3，∵ = 5， = 7，
= 2.5， = 3.5 2.5 1 3.5 1 ，∴ = = ， = = ，∴ = ，∵ ∠ = ∠ ，∴△ ∽△
5 2 7 2
，故 C项不符合题意；如图 4，∵ = 5， = 7， = 2， = 3 ∴ = 2 = 3， ， ，
5 7
∴ ≠ ，假设△ ∽△ ∵ ∠ = ∠ ∴ ， ， = ，与已知条件不符，∴△

与△ 不相似，故 D项符合题意.
图 1 图 2 图 3 图 4
2.[2025 宿州三模]如图，⊙ 的直径 = 10 ，半径 ⊥ ，点 为⊙ 上一点，连接
交 于点 ，若 = ，则 的值为( )
A.50 B.50 2 C.25 5 D.10 10
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答案：A
解析： 解题思路：由 = 推出∠ = ∠ ，由对顶角相等得∠ = ∠ ，即∠ =
∠ ，有 是直径得∠ = 90 ，结合 ⊥ 得∠ = ∠ = 90 ，根据两角对
应相等证明△ ∽△ ，得出 = ，变形得 = = 10 × 5 = 50 .

3.[2025 西安期末]如图，在矩形 中， = 3， = 10 ，点 在边 上， ⊥ ，垂
足为 .若 = 6，则线段 的长为___.
答案：3
解析： ∵ 四边形 为矩形，∴ = = 3， = = 10，∠ = 90 ， // ，
∴ ∠ = ∠ ⊥ ∴△ ∽△ ∴ = ∵ = 6 ∴ 10 6，又 ， ， . ， = ， =
3
2 2 = 100 36 = 8，∴ = 5 ，∴ = = 8 5 = 3 .
4.[2025 成都期末]某工件横截面如图 1所示，已知 // ， = ，∠ = ∠ .现将一根
宽为 2 cm 的直尺按图 2的方式摆放，直尺恰好卡在 之间，测得 = 2.5 cm， =
8 cm，则该工件的内径 的长为_________.
答案： .
解析： 如图，过点 作 ⊥ 于点 ，则 // ， ⊥ . ∵ // ， // ，∴ 四
边形 是平行四边形，∴ = = 2.5 cm， = .在 Rt △ 中， =
2 2 = 1.5 cm，∴ = + = 8 + 1.5 = 9.5(cm) ，∴ = 9.5 cm.∵ // ，
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∴ ∠ = ∠ ∵ ∠ = ∠ = 90 ∴△ ∽△ ∴ = ∴ 1.5 = 2.5，又 ， ， ， ，解得
9.5
= 5.7 cm . ∵ = ， = ，∴ = . ∵ ⊥ ，∴ = 2 = 11.4 cm，
∴ = + = 2.5 + 11.4 = 13.9(cm) .
5.[2025 绍兴期末]如图，点 为线段 的中点，且∠ = ∠ = ∠ = 90 .（1）若 = 1，
= 2，求 的长度.
解：∵ 点 为 的中点，∴ = = .∵ ∠ = ∠ = ∠ = ，∴ ∠ + ∠ =
，∠ + ∠ = ，∴ ∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ∴ = ， ，即 = ，

∴ = .
（2）求证：△ ∽△ .

证明：由（1）知△ ∽△ ，∴ = ，∴ = .∵ = ，∴ = .∵ ∠ =

∠ = ，∴△ ∽△ .
6.[2025 商洛期中]如图，在正方形 中，点 是 边的中点，点 在射线 上，过点 作
⊥ 于点 .（1）求证：△ ∽△ .
证明：∵ 四边形 是正方形，∴ // ，∠ = ，∴ ∠ = ∠ .∵ ⊥ ，
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∴ ∠ = ∠ = ，∴△ ∽△ .
（2）已知正方形 的边长为 4，当点 在射线 上运动时，设 = ，是否存在实数 ，
使以 ， ， 为顶点的三角形与△ 相似？若存在，请求出 的值；若不存在，说明理由.
解：存在实数 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与△ 相似.理由如下：如图 1，当∠ =
∠ 时，△ ∽△ ，此时 // ，∴ 四边形 为矩形，∵ 是 的中点，∴ =
= ，即 = .如图 2，当∠ = ∠ 时，△ ∽△ ，此时 = .∵ ∠ =

∠ ，∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ，∴ = .∵ ⊥ ，∴ 为 的中点.在
△ 中， = + = ∴ = = ∵ = ， . ,∴ = ，∴ =

，∴ = ，即 = .综上所述，满足条件的 的值为 2或 5.
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