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同步培优 A 本@第 27 章相似
27.2 相似三角形
课时 6 相似三角形的性质
1.[2025 唐山期中]如图，在△ 中，点 是 边上的点，∠ = ∠ ， : = 1: 2 ，
则△ 与△ 的周长比是( )
A.1: 2 B.1: 2 C.1: 3 D.1: 4
答案：B
解析： ∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴△ ∽△ ，∵ : = 1: 2,∴△ 与△
的相似比为 1: 2，∴△ 与△ 的周长比是 1: 2 .
2.[2025 莆田期中]如图，一张底边长为 20 cm，底边上的高为 30 cm 的等腰三角形纸片，
沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 4 cm 的矩形纸条.若剪得的纸条是正方形，则这张正方形
纸条是( )
A.第 4 张 B.第 5 张 C.第 6 张 D.第 7 张
答案：C
解析： 字母标注如图，由题意可知， = 20 cm ， = 30 cm， = 4 cm，设剪得
的正方形纸条是第 张，∴ = (30 4 )cm，由题易知△ ∽△ 30 4 ，∴ = ，∴ =
30
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4
，解得 = 6 ，即剪得的正方形纸条是第 6张.
20
△ = 3.[2025 南京期中]如图， 的顶点 在函数 ( < 0)的图象上，∠ = 90 ，过

边的三等分点 ， 分别作 轴的平行线交 于点 ， .若四边形 的面积为 6，则 的
值为_____.
答案：
∵ // // ∴△ ∽△ ∽△ . ∵ ∴ = 1解析： ， ， 是 的三等分点， ，
2
= 1 ∴ △ 1， = .∵ ∴ △ 1 △ 四边形 的面积为 6， = ，∴ △ = 2. ∵ = (
)2，
3 △ 4 △ +6 4 △
∴ 2 = 1 ，∴ △ = 18，∴ | | = 2 △ = 36，∵ 点 在第二象限，∴ = 36 . △ 9
4.[2025 泉州洛期中]如图，在△ 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，连接 ， ，
2，且 与 交于点 .已知四边形 是平行四边形，且 = .
5
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（1）若 = 25，求线段 的长；

解：∵ 四边形 是平行四边形，∴ // ，∴△ ∽△ ，∴ = = ，∵ = ，

∴ = .
（2）若四边形 的面积为 48，求△ 的面积.
解：∵ 四边形 是平行四边形，∴ // ， = ,∴ = = ，∴ = ，∵ // ，

∴△ ∽△ ∴ △ = ( ) = ， .∵
△
= △ + ，四边形 的面
△ 四边形

积为 48，∴ △ = .∵ =
+ = ∴ = ， ， ，∴ △ = （同高的三角形
△
的面积比等于底边的比），∴ △ = .
5. 有一块三角形余料 ，它的边 = 120 mm，高 = 80 mm ．如图 1，要把它加
工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上．
（1）求加工成的正方形零件的边长.
解：设正方形零件的边长为 ，则 = = = ，∴ = =
( ) .∵ // ，∴△ ∽△ ，∴ = = ,即 ，解得 = .∴ 加

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工成的正方形零件的边长是 .
（2）如果要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的，如图 2，
此时，这个矩形零件的两条边长分别为多少？
解：设 = ，
则 = ， = ( ) ∵ // ∴△ ∽△ ∴ = . ， ， ，即 =

= ∴ = ∴ ，解得 ， . 这个矩形零件的两条边长分别为 ， .

（3）如果要加工的零件只是一个矩形，如图 3，此时，这个矩形零件的两条边长不能确定，
但这个矩形的面积有最大值，求面积达到最大值时矩形零件的两条边长．
解：设 = ，矩形 的面积为 .由题意可得△ ∽△ ，∴ = ，

= 即 ，解得 = ,∴ = = .则 = = ( ) =

( ) + ，故 的最大值为 ，此时 = ， = ×

= ( ) .∴ 此时矩形零件的两条边长分别为 ， .
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一题多变 相似三角形中面积与线段的关系（母题变式）

1.如图，平行于 的直线 把△ 分为两部分，且 Ⅰ: Ⅱ = 4: 5，则 = ___.
答案：2
∵ // ∴△ ∽△ ∴ △ = ( )2 ∵ : = 4: 5 ∴ 解析： ， ， ， ， △ △ 四边形 = △ △
( )2 = 4 ∴ ， = 2 ∴ ， = 2 .
9 3
2.［2025 宜宾中考］如图，一张锐角三角形纸片 ，点 ， 分别在边 ， 上， = 2 ，
沿 将△ 剪成面积相等的两部分，则 的值为___.

答案：3
解析： 如图，过点 作 // 交 于点 ，∵ = 2 ，∴ = 2，∴ = 2.∵ // ，
3
∴△ ∽△ ∴ = = 2 ∴ △ = ( ， ， )2 = 4，∴ 设 = 4 ， = 9 ，∵ 沿
3 △ 9 △ △
将△ 9 4 8 剪成面积相等的两部分，∴ △ △ = ，∴ = 9 = = ，∴ ÷ = 2 △ 9 2
= = 8 ÷ 2 = 4 ，∴ = 3 .
9 3 3
3.［2025 上海月考］如图，在△ 中，点 ， 在边 上，点 ， 在边 上， // // ，
如果 : : = 1: 2: 3 ，那么 △ : 梯形 : 梯形 =________.
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答案： : :
解析： ∵ : : = 1: 2: 3，∴ : = 1: 3， : = 1: 6 .∵ // // ，∴△ ∽△
∽△ ，∴ △ = ( )2 = 1 ， △ = ( )2 = 1，∴ :
△ 9 △ 36 △ 梯形
= 1: 8，
△ : 梯形 = 1: 27 ，∴ △ : 梯形 : 梯形 = 1: 8: 27 .
4.如图，直角三角尺 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，一边平行于 的矩形将三角尺 分
成面积相等的三部分，若 = 3，则 的长为_________.
答案：
解析： 由题意可知 // // ，∴△ ∽△ ，△ ∽△ . ∵ △ = 梯形 =
梯形 ，∴
△ = ( )2 = 2 ，△ = ( )2 = 1 ∴ = 6 = 3 6， ， ，∴ = × 3 = 2 ，
△ 3 △ 3 3 3 3
= 3 × 3 = 1.在 Rt △ 中，∠ = 30 ，∴ = 2 = 2 ，同理可得 = 2 2，∴ =
3
= 2 2 2 .
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一题练透 相似三角形的性质与判定
如图，在△ 中， 是边 上一点.
图 1 图 2 图 3
（1）如图 1，添加条件：________________________，可使△ ∽△ .
答案：∠ = ∠ （或∠ = ∠ 或 = ）（答案不唯一）

（2）若∠ = 90 ，且 ⊥ ，如图 2.①求证: 2 = .
证明：∵ ∠ = , ⊥ ，∴ ∠ = = ∠ .又∠ = ∠ ,∴△ ∽△ ，
∴ = ，即 = .

= 9 = 4 ②若 , ,求 的值.

解：∵ = ， = , = ，∴ = ，∴ = = .与( )①
同理可得△ ∽△ ∴ = , = = .

（3）点 是边 上一点，连接 交 于点 ，连接 ，如图 3.若△ ∽△ ， = 6，
= 2， = 1 .
① = ___；
答案：2
解析： ∵△ ∽△ ，∴ = ,∵ = 6, = 2, = 1 ，∴ = 3，∴ = 2 .

②当 △ = 1时，四边形 的面积为___.
答案：8
∵△ ∽△ = 1 ∴ 1解析： ， ， △ = ( )2 = 1 ，∴
3 3 9 △
= 9 △ = 9，
△
∴ 四边形 的面积为 8.
（4）当点 , 分别为边 , 的中点时，判断 与 的数量关系,并证明你的结论.
解： = .证明如下：∵ 点 , 分别为边 , 的中点，∴ // ， = ，∴△

∽△ ，∴ = = ,即 = .

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27.2 相似三角形
课时 6 相似三角形的性质
1.[2025 唐山期中]如图，在△ 中，点 是 边上的点，∠ = ∠ ， : = 1: 2 ，
则△ 与△ 的周长比是( )
A.1: 2 B.1: 2 C.1: 3 D.1: 4
2.[2025 莆田期中]如图，一张底边长为 20 cm，底边上的高为 30 cm 的等腰三角形纸片，
沿底边依次从下往上裁剪宽度均为 4 cm 的矩形纸条.若剪得的纸条是正方形，则这张正方形
纸条是( )
A.第 4 张 B.第 5 张 C.第 6 张 D.第 7 张
第 12 题图 第 13 题图

3.[2025 南京期中]如图，△ 的顶点 在函数 = ( < 0)的图象上，∠ = 90 ，过

边的三等分点 ， 分别作 轴的平行线交 于点 ， .若四边形 的面积为 6，则 的
值为_____.
4.[2025 泉州洛期中]如图，在△ 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，连接 ， ，
，且 与 2交于点 .已知四边形 是平行四边形，且 = .
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（1）若 = 25，求线段 的长；
（2）若四边形 的面积为 48，求△ 的面积.
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5. 有一块三角形余料 ，它的边 = 120 mm，高 = 80 mm ．如图 1，要把它加
工成正方形零件，使正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上．
（1）求加工成的正方形零件的边长.
（2）如果要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的，如图 2，
此时，这个矩形零件的两条边长分别为多少？
（3）如果要加工的零件只是一个矩形，如图 3，此时，这个矩形零件的两条边长不能确定，
但这个矩形的面积有最大值，求面积达到最大值时矩形零件的两条边长．
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一题多变 相似三角形中面积与线段的关系（母题变式）

1.如图，平行于 的直线 把△ 分为两部分，且 Ⅰ: Ⅱ = 4: 5，则 = ___.
2.［2025 宜宾中考］如图，一张锐角三角形纸片 ，点 ， 分别在边 ， 上， = 2 ，
△ 沿 将 剪成面积相等的两部分，则 的值为___.

3.［2025 上海月考］如图，在△ 中，点 ， 在边 上，点 ， 在边 上， // // ，
如果 : : = 1: 2: 3 ，那么 △ : 梯形 : 梯形 =________.
4.如图，直角三角尺 中，∠ = 90 ，∠ = 30 ，一边平行于 的矩形将三角尺 分
成面积相等的三部分，若 = 3，则 的长为_________.
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一题练透 相似三角形的性质与判定
如图，在△ 中， 是边 上一点.
图 1 图 2 图 3
（1）如图 1，添加条件：________________________，可使△ ∽△ .
（2）若∠ = 90 ，且 ⊥ ，如图 2.
①求证: 2 = .
②若 = 9, = 4 ,求 的值.

（3）点 是边 上一点，连接 交 于点 ，连接 ，如图 3.若△ ∽△ ， = 6，
= 2， = 1 .
① = ___；
②当 △ = 1时，四边形 的面积为___.
（4）当点 , 分别为边 , 的中点时，判断 与 的数量关系,并证明你的结论.
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