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2025-2026学苏科版（2024）数学八年级上册
1.4线段垂直平分线与角平分线 同步练习
一、选择题
1.三角形中到三边距离相等的点是( )
A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点
2.如图，，，则有( )
A. 垂直平分 B. 垂直平分
C. 与互相垂直平分 D. 平分
3.如图，已知，分别是的外角，的平分线，，，垂足分别为，，则与的关系是( )
A. B. C. D. 无法确定
4.已知，，用尺规作图的方法在上取一点，使得，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，分别以点和点为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，交于点，连接若，，，则的周长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中错误的是( )
A. 是的平分线 B.
C. 点在的垂直平分线上 D. ：：
7.如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，为的两条角平分线的交点，过点作，垂足为，且若的面积是，则的周长为( )
A. B. C. D.
9.如图，是的角平分线，，分别是和的高，连接，交于点有下列三个结论：；；其中，一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.湖北武汉期中如图，在中，，，点在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点，连接，则度数为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.如图，点在的边上如果，那么点在线段 的垂直平分线上；如果，那么点在线段 的垂直平分线上．
12.如图，内有一点，分别作出点关于，的对称点，，连接，交于点，交于点，连接，当时，的周长为 ．
13.如图，已知，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点若，则与之间的距离为 ．
14.如图，在中，，边的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则的长为 ．
15.如图，在中，、分别垂直平分边、，交于点、，如果，那么的周长为 ．
16.如图，在中，，垂直平分，垂直平分，则
17.如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边上一动点，点为直线上一动点，当的值最小时，周长为________．
三、解答题
18.如图，是的边的垂直平分线．已知，，求的周长．
19.如图，的角平分线，相交于点，求证：点在的平分线上．
20.如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线求证：平分．
21.如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，．
求证：；
若，求的度数．
22.在中，的垂直平分线分别交线段，于点，，的垂直平分线分别交线段，于点，．
如图，当时，求的度数．
当满足什么条件时，？请说明理由．
在的条件下，若，求的周长．
答案和解析
1.【答案】
2.【答案】
【解析】，，点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，垂直平分．
3.【答案】
4.【答案】
【解析】，，，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点在线段的垂直平分线上，故可判断选项正确故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意可知垂直平分，即可得到，然后即可得到，从而可以求得的周长．
【解答】
解：由尺规作图可知，垂直平分，所以，所以的周长是，故选C．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作，交于点，
根据尺规作图的步骤可知平分故A正确；
，，
．
平分，
，
故B正确；
，
，
点在的垂直平分线上．故C正确；
，平分，
．
在中，，
，
．
，，
，
即故D不正确．
故选：．
根据尺规作图的步骤可知平分，可判断，即可求出的度数，进而判断，然后根据，可得，可判断，最后根据角平分线的性质得，再根据含直角三角形的性质得，接下来根据勾股定理求出，即可说明．
本题主要考查了尺规作角平分线，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，勾股定理，直角三角形的性质，理解含直角三角形的性质是解题的关键．
7.【答案】
8.【答案】
【解析】如图，连接，过点作于点，于点．为的两条角平分线的交点，，，，．的面积是，即，，，即的周长为．
9.【答案】
10.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的判定，三角形的外角性质，解答本题的关键是掌握角平分线的性质定理与判定定理；过点分别作，，，垂足分别是点，，，根据角平分线的性质得出，，进而得出，再根据角平分线的判定定理得出平分，利用三角形的外角性质求出，再根据平分进行解答，即可求解．
【解答】
解：如图，过点分别作，，，垂足分别是点，，．
平分，平分，，，，
，，
，
又，，
平分，
，，是的外角，
，
平分，
．
故选：．
11.【答案】


12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
【解析】和分别为、的垂直平分线，，，的周长为．
16.【答案】
【解析】提示：连接因为垂直平分，垂直平分，所以易证，，所以所以，所以．
17.【答案】
【解析】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
，
当的值最小时，点在线段上，且，
此时的最小值等于等腰底边上的高的长，
是等腰三角形，，
点是边的中点，
，
，
解得，
的最小值，
点是边的中点，，
，
此时的周长．
故答案为：．
本题考查的是轴对称最短路线问题，垂线段最短的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形面积公式，判断出当的值最小时，点的位置是解答此题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质得出，判断出当的值最小时，点在线段上，且，此时的最小值等于的长，再根据三角形面积公式求出，由等腰三角形的性质得出，即可得出结论．
18.【答案】解：是边的垂直平分线，，
．
的周长为．

【解析】见答案
19.【答案】证明 过点作，，，垂足分别为，，．
平分，点在上，，，
角平分线的性质定理．
同理，．
，，
点在的平分线上角平分线性质定理的逆定理．

20.【答案】连接，点在的垂直平分线上，．
，，．
在和中，
，．
又，，点在的平分线上，即平分

21.【答案】【小题】
连接因为垂直平分，所以又，所以又为线段的中点，所以又，所以所以又，所以，即．
【小题】
连接因为垂直平分，所以，又，所以所以又，所以由，得，所以又，，所以，解得则的度数为．

22.【答案】【小题】
解：因为，分别是，的垂直平分线，所以，，所以，因为，所以所以．
【小题】
当时，理由如下：
如图，因为，所以由得，又因为，，所以，所以．
【小题】
因为的周长为，，所以的周长为．

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