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重庆实验外国语学校2026届高三9月月考
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求．
1．如图所示，两个大圆和一个小圆分别表示集合、、，它们是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）

A、 B、
C、 D、
2．在中，则下列条件不是的充要条件的为（ ）
A、 B、
C、 D、
3．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
4．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A、所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B、所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度
C、向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
D、向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
5．三名同学到五个社区参加社会实践活动，要求每个社区有且只有一名同学，每名同学至多去两个社区，则不同的派法共有（ ）
A、90种 B、180种 C、125种 D、243种
6．定义在上的函数满足，则（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
7．箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
8．若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）
A、11 B、12 C、 D、
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，.则（ ）
A、
B、的图象关于直线对称
C、的单调递减区间为
D、的解集为
A、若，，，则三角形ABC有两解
B、若，则一定是钝角三角形
C、若，则一定是等边三角形
D、若，则的形状是等腰或直角三角形
11．设正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A、的最小值为
B、的最大值为
C、的最小值为
D、的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在的展开式中含的项系数为 .
13．若函数在上不单调，则实数的取值范围为 .
14．已知在中，的对边分别为，，，，且为上的中点，则的长为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知函数.
(1)求的最小正周期和对称轴方程；
(2)求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值.
16．不透明的袋子中装有编号为1，2，3，4的4张卡片，这4张卡片除编号外，其余完全相同.现从袋子中不放回地抽取1张卡片，若这张卡片的编号为偶数，则结束抽取；若这张卡片的编号为奇数，则再从袋子中不放回地抽取1张卡片，直至抽出编号为偶数的卡片，结束抽取.
(1)求恰好抽取2张卡片后结束抽取的概率；
(2)若抽出编号为奇数的卡片得1分，抽出编号为偶数的卡片得2分，记抽取结束后的总得分为，求的分布列与期望.
17．如图，直三棱柱中，，，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角C的值；
(2)求的最大值；
(3)若AB边上的中线CD长为，求的面积．
19．已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若函数有两个不同的极值点，其中.
（i）证明：；
（ii）证明：.
试卷第1页，共3页
数学——答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A A A C D A BCD BCD
题号 11
答案 ABD
12．. 13． 14．
15．（1）
，
令，解得，
所以的最小正周期，对称轴方程为.
（2），，
当，即时，，取得最大值，
所以在区间上的最大值为，此时.
16．（1）解：由题可知，要恰好抽取2张卡片后结束抽取，
则需第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，
故所求的概率为.
（2）由题意可得的可能取值为2，3，4，
若第一张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，则.
若第一张被抽出的卡片的编号为奇数，且第二张被抽出的卡片的编号为偶数，抽取结束，
则由（1）可知.
若前两张被抽出的卡片的编号均为奇数，则第三张被抽出的卡片的编号必是偶数，抽取结束，
则.
的分布列为
2 3 4
故.
17．（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、，
、、，
所以，，，则，，
又因为，、平面，因此，平面.
（2）解：设平面的法向量为，，
则，取，可得，
所以，，
因此，与平面所成角的正弦值为.
18．（1）因为，由正弦定理,可得，
整理可得，由余弦定理得，所以,所以.
因为在中，，所以.
（2）因为，由正弦定理可得，可得，.
因为,所以.
,
所以，其中.
所以，当时，取得最大值，最大值为.
（3）由题可知，，
由(1)知，即，①
因为为边上的中线，所以，
两边平方得：，
所以，②
②①可得，可得，
所以的面积．
19．（1）由题设，令，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
由，
当时，，则在R上单调递增，无极值点；
当时，，或时，
所以在、上各存在一个零点，分别取，
所以、上，上，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
此时有两个极值点，
综上，在时无极值点，在时有两个极值点；
（2）（i）令且，则，
所以在上单调递增，则，
所以，当有，结合（1）及已知，则，且，
又在上单调递减，则，所以，得证；
（ii）令且，则，
令，则，即在上单调递增，
所以，则在上单调递增，，
由，且，又，
结合（1）在上单调递减，则，
所以，得证.
答案第1页，共2页

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