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四川省乐山市2024-2025学年八年级下学期教学质量监测数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·乐山期末）下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·乐山期末）2025年3月，在上海半导体展上，代号“峨眉山”的光刻机惊艳亮相，它能以0.000000005米的精度在米粒上刻下《论语》全文，数据0.0000000005用科学记数法表示为（　　）
A． B．5 C．5 D．5
3．（2025八下·乐山期末）如图，手掌盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·乐山期末）若一组数据2，x，3，4，5的众数是5，则这组数据的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025八下·乐山期末）如图，在平行四边形中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·乐山期末）若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·乐山期末）已知点在第二象限，则直线的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·乐山期末）如图，两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·乐山期末）若将、的值扩大3倍，分式的值（　　）
A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍
10．（2025八下·乐山期末）如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025八下·乐山期末）代数式的值一定不为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
12．（2025八下·乐山期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与轴交于点．若，则的值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．（2025八下·乐山期末）计算：5-2=（　 　）
14．（2025八下·乐山期末）四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选　 　．
　 甲 乙 丙 丁
平均环数 7 8 8 7
s2 1 1 1.2 1.8
15．（2025八下·乐山期末）若分式方程有增根，则增根为　 　．
16．（2025八下·乐山期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为　 　．
17．（2025八下·乐山期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则不等式的解集为　 　．
18．（2025八下·乐山期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示．
（1）点的坐标为　 　；
（2）当时，函数与函数解析式为　 　．
三、本大题包含第19题、20题、21题，共3小题，每小题8分，共24分．
19．（2025八下·乐山期末）计算：．
20．（2025八下·乐山期末）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
21．（2025八下·乐山期末）已知一次函数的图象经过点和点，求当时，函数y的值．
四、本大题包含第22题、23题、24题，共3小题，每小题9分，共27分．
22．（2025八下·乐山期末）解答下列问题时，小张和小李两位同学写出了不完整的解答过程．
学校组织春季“远足”，学生队伍从学校出发后，做后勤保障的老师带着保障用品，骑自行车从学校出发，在距离学校处追上学生队伍．已知老师的速度是学生的速度的倍，求老师和学生的速度各是多少？ 小张：． 小李：设学生的速度为．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小张所列方程中的表示___________；
（2）根据小李设的未知数，列方程并解答．
23．（2025八下·乐山期末）为深入学习贯彻年全国“两会”精神，培养发展新质生产力所需要的高素质人才，某校组织了以“聚焦两会热点争做时代青年”为主题的知识竞赛，并随机抽查了八、九年级各名学生的成绩单位：分，进行了如下数据的整理与分析．
数据收集：
八年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，；
九年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，．
数据整理分析：
平均数 中位数 众数 方差
八年级
九年级
根据以上统计信息，回答下列问题：
（1）表中 ______， ______；
（2）若该校八年级名学生均参加了本次知识竞赛，请你估计该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数；
（3）九年级的小芬认为，在此次知识竞赛中，九年级成绩比八年级成绩好，你同意吗？请选择适当的统计量说明理由．
24．（2025八下·乐山期末）在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形的对角线交于点，过的直线，将平行四边形等分成面积相等的四边形和四边形．
课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）．
五、本大题包含第25题、26题，共2小题，每小题10分，共20分．
25．（2025八下·乐山期末）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图，在中，点在边上，，求证：． 证明：如图，在边上截取一点，使得，连接． 在和中． ①___________ 又 ②___________ 又 ③___________
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：___________；“②”处应填：___________；“③”处应填：___________．
刘老师进一步谈到：证明线段相等问题时，可根据已知条件，在较长线段上截取一段，构造三角形全等的条件．通过证明三角形全等解决问题，此过程体现了转化的思想方法．
【知识迁移】
如图，在正方形中，是边上一点，点在延长线上，平分，求证：．
26．（2025八下·乐山期末）如图所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点．
（1）若，求直线的解析式；
（2）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，将线段逆时针旋转得线段，连接交轴于点，求证：的长为定值．
六、本大题共2小题，第27题12分，第28题13分，共25分．
27．（2025八下·乐山期末）对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
28．（2025八下·乐山期末）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求反比例函数的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、，分母为常数3，不含字母，是整式，故选项A不符合题意．
B、，分母为，含字母和，是分式，故选项B符合题意．
C、，分母为常数13，不含字母，是整式，故选项C不符合题意．
D、，分母为圆周率（常数），不含字母，是整式，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．根据定义逐一判断各选项的分母，即可得到答案．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：A．
【分析】大于0且小于1的数用科学记数法可表示为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：手盖住的点在第四象限，
∴盖住点的坐标的符号为，
∴四个选项中，只有D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据第四象限中点坐标的符号求解即可．
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 数据2、x、3、4、5的众数为5，
，
将数据从小到大重新排列为2、3、4、5、5，
所以中位数为4.
故答案为：C.
【分析】根据众数的概念可得x的值，然后将该组数据从小到大重新排列，找出最中间的数据即为中位数.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
∴∠DBC=180°－∠BDC－∠C=30°.
四边形是平行四边形，
，
.
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求得∠ADB的度数，根据平行四边形的性质可得AD//BC，再根据平行线的性质即可求出的度数．
6．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为 ，得 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得a=2b，利用平方差公式可将待求式化为，据此计算.
7．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限，
，，
直线的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：C．
【分析】根据点在第二象限，可知，，然后根据一次函数的性质，即可得到直线的图象经过的象限．
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作于E，于F，如图所示，
由题意得，，，∠DCB=60°.
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
∴，
∴它们重叠部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】过点B作于E，于F，由题意得，，，∠DCB=60°，则可证明四边形是平行四边形，再由等面积法可得，于是有四边形是菱形，.求出，可得，由勾股定理求得DE长，继而可得，据此可得答案．
9．【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：将、的值扩大倍，则变为，变为，代入分式可得：
新分式与原分式相同，所以分式的值不变．
故答案为：B．
【分析】根据、的值扩大倍得到新的、值，再将其代入原分式，通过化简新分式并与原分式对比，从而判断分式值的变化情况．
10．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AD//BC，BC=AD，AB=CD.
∴∠ADE=∠DEC.
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°=∠C.
又，
，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴DF=CE.
∵BC=AD，
∴BC－EC=AD－DF，即BE=AD－DF，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
，故选项C正确，不符合题意；
D、在Rt△AFD中，当∠ADF=30°时，.
不一定等于，
不一定等于的一半，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得∠C=90°，AD//BC，BC=AD，AB=CD.再证明∠ADE=∠DEC，∠AFD=∠C，即可利用AAS证明 并判断选项A；再根据矩形的对边相等以及全等三角形的对应边相等即可得到结论并判断选项BC；最后根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边长的一半可判断选项D．
11．【答案】C
【知识点】分式的混合运算；解分式方程
【解析】【解答】解：
，
∵m+1≠0，且m≠0，即m≠-1且m≠0.
A、当时，，解得：，成立，故选项A不符合题意；
B、当时，，解得：，成立，故选项B不符合题意；
C、当时，，无解，故选项C符合题意；
D、当时，，解得：，故选项D不符合题意；
综上，代数式的值一定不为1.
故答案为：C.
【分析】将代数式化简得到，根据分式的性质可求得m≠-1且m≠0. 再分析各选项的可能性，确定无法取到的值即可.
12．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为D，E，如图，
轴，轴，
，
，
BE为△ADC的中位线，，
∴AD=2BE.
∴设点，则，，，
∵反比例函数图象经过第一象限，
∴k>0.
∴，，.
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】作轴，轴，可得，证明BE为△ADC的中位线，可得AD=2BE，设点，则，，，证明，利用梯形的面积公式，即可求得k的值.
13．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】直接根据负整数指数幂的运算法则求解即可.
14．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵7<8，
∴乙、丙两人的平均成绩最好，
∵1<1.2，
∴乙的波动更小，
∴应选乙．
故答案为：乙．
【分析】先比较平均数，确定乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
15．【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得：，
即：
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
故答案为：．
【分析】把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD.
∵CD⊥AB时，线段CD的长最小，
此时，
∴CD＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接CD，证明四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短得CD⊥AB时线段CD的长最小，利用等面积法求得此时CD的长，即可解答．
17．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴
∴k=6.
∴反比例函数的解析式为：
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴a=﹣6.
∴．
∴不等式的解集为或．
故答案为：或．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入求出a的值，最后根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集．
18．【答案】；
【知识点】点的坐标；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当点N从点O移动到点A时，如图所示，
∵与矩形两边分别交于M、N两点，
∴点M的坐标是，点N的坐标是，面积为S，
∴S与b的函数关系式是：；
观察得：当时，直线经过点，
∴；
当点时，如图所示，
此时点N到的距离不变为4，
∴；
故答案为：；．
【分析】（1）根据图象可知，当点在上运动时，面积对应的函数图象为这 段图象，故由时图象经过点A可求出点的坐标；
（2）由图象可知，当时，点在上运动，此时点N到的距离不变为4，再根据三角形面积得结论．
19．【答案】解：原式．
．
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】通分化为同分母的分式减法，再进行计算即可．
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
21．【答案】解：因为一次函数y＝kx＋b的图象经过点（ 1，1）和点（1， 5），代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝ 3x 2，
把x＝5代入解析式可得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】把点（ 1，1）和点（1， 5）代入y＝kx＋b得到一个关于k、b的方程组，求解即可．
22．【答案】（1）学生走所用的时间；
（2）解：设学生的速度为，则老师的速度为，由题得
解得：
经检验，为方程的根，且符合题意.
∴1.5y=1.5×5=7.5（km/h）
学生的速度为，老师的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由，且已知老师的速度是学生的速度的倍，
可知方程左边为老师的速度，右边为学生的速度.
即表示学生的速度，
由于15表示学生从出发到被老师追上时，所走的路程，
∴x为学生从出发到被老师追上时，学生所用的时间．
小张的方程中，x 表示由学生走所用的时间．
故答案为：学生走所用的时间；
【分析】（1）分析小张所列方程，和题意中对应的等量关系，可得方程左边为老师的速度，右边为学生的速度，即表示速度，再结合15表示所走路程，即可得x的意义；
（2）根据小李设的学生速度为y km/h，根据题意得等量关系“学生所用的时间=老师所用的时间+1”，据此列方程求解即可.
（1）解：分析方程，
右边，已知老师的速度是学生的速度的倍，
因此应为学生的速度，x为学生从出发到被老师追上，学生用的时间．
左边表示老师的速度，而学生比老师多用1小时，因此实际上是老师的时间．
小张的方程中，x表示由学生走用的时间；．
（2）解；设学生的速度为，则老师的速度为，由题得
解得
经检验，为方程的根
学生的速度为，则老师的速度为．
23．【答案】（1），
（2）解：∵八年级学生成绩再85分及以上的学生人数有7人，
（人），
答：该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数大概为人；
（3）解：同意，理由如下：
观察得：两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，而九年级学生竞赛成绩的方差小，因此成绩更稳定，
九年级成绩比八年级成绩好．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；众数
【解析】【解得】解：（1）八年级10名学生的竞赛成绩排序：，，，，，，，，，，
中间的两个数是，，
中位数，
九年级名学生的竞赛成绩排序为：75、80、80、80、80、85、90、90、95、95、
其中80出现次数最多有4次，其他最多有2次；
这组数据的众数是，故b=80.
故答案为：，；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义直接求解即可；
（2）用乘以八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数所占的比例即可得到大概人数；
（3）根据平均数、中位数、众数以及方差的意义判断即可．
（1）解：八年级名学生的竞赛成绩排序：，，，，，，，，，，
中间的数是，，
中位数，
九年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多，
这组数据的众数是，即的值为，
故答案为：，；
（2）解：（人），
答：估计该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数为人；
（3）解：同意，
理由：两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，而九年级学生竞赛成绩的方差小，成绩稳定，
九年级成绩比八年级成绩好．
24．【答案】解：如图所示：
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据题意构造矩形，再连接对角线交点即可．
25．【答案】[问题解决]
；；；
[知识迁移]
证明：在边上截取一点，使得，连接，如图所示，
四边形是正方形，
，
又，
，
，
，
.
平分，
，
.
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：[问题解决]
在边上截取一点，使得，连接，如图所示，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：；；；
【分析】（1）根据可判定，得到①的答案；根据等角对等边可得②的答案；根据等量代换可得③的答案；
（2）在边上截取一点，使得，连接，根据正方形的性质可证得BM=BE，再结合角平分线的定义可推出，然后由，，可推出，即可证明，最后利用全等三角形的性质即可得到结论．
26．【答案】（1）解：∵交x轴于点B，交y轴于点，
．
，
，
∴
直线的解析式．
（2）解：由（1）得：A，B，
过点M作轴于点，如图所示：
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
．
设直线的解析式为，
则
解得：
∴直线MN的解析式为：
∵直线交轴于点，
．
长为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0，和y=0，可求出点A和点B的坐标，再根据OA=OB，可得关于k的方程，求解即可得到结论.
（2）先由（1）得到点A和B的坐标，作轴于点，利用AAS证明，即可求出，然后利用待定系数法求出直线的解析式，得到点的坐标，再计算AP，即可得到结论．
（1）解：由交两轴于、两点
．
，
，即
直线的解析式．
（2）解：当时，；当时，，解得，
∴点A的坐标为，点A的坐标为，
作轴于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
．
设直线为，则
为
．
长为定值．
27．【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：存在，理由如下：
由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解；
（2）根据题意得出，结合新定义，即可求解；
（3）根据，可得，把等式中的和替换掉，再利用完全平方公式进行展开，化简得到.再根据定义，代入计算即可求解．
（1）解：由题意得；
（2）解：由（1）可知，则
；
（3）解：由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
28．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
，
∴
四边形为正方形，
，
在中，当时，，当时，，
∴．
，
．
（2）解：过点E作EG⊥OA于点G，如图所示：
则.
∵，，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数解析式为；
（3）解：由（1）（2）得，
则直线OE的解析式为：y=4x，直线OF的解析式为：.
设直线的解析式为，
∴，
∴
∴直线解析式为
由平移的性质可得，
设，
则平移方式为向右平移m个单位长度，
∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；
①当与相交于G，与相交于，如图所示：
则在中，当时，，
在中，当时，，
∴.
，
解得，
∴．
②当与交于，与交于，如图所示：
可得，
，
解得，
∴．
综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，则根据点B坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，可求出．则．利用SAS证明，即可得到结论．
（2）过点E作EG⊥OA于点G，则.由可得，利用梯形的面积公式并代入数据并计算，即可得到答案.
求解即可；
（3）由（1）（2）得，可求出直线解析式为直线解析式为；直线解析式为；设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于与交于，当与交于，与交于，两种情况讨论求解即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
，
∴
四边形为正方形，
，
在中，当时，，当时，，
∴．
．
在和中．
，
．
（2）解：∵，
∴，
解得或（舍去），
∴反比例函数解析式为；
（3）解：由（1）（2）得，
设直线解析式为，
∴，
∴
∴直线解析式为
同理可得直线解析式为；直线解析式为；
设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，
∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；
①当与交于与交于，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴
，
解得，
∴．
②当与交于，与交于，
同理可得
，
解得，
∴．
综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或．
1 / 1四川省乐山市2024-2025学年八年级下学期教学质量监测数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·乐山期末）下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、，分母为常数3，不含字母，是整式，故选项A不符合题意．
B、，分母为，含字母和，是分式，故选项B符合题意．
C、，分母为常数13，不含字母，是整式，故选项C不符合题意．
D、，分母为圆周率（常数），不含字母，是整式，故选项D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式．根据定义逐一判断各选项的分母，即可得到答案．
2．（2025八下·乐山期末）2025年3月，在上海半导体展上，代号“峨眉山”的光刻机惊艳亮相，它能以0.000000005米的精度在米粒上刻下《论语》全文，数据0.0000000005用科学记数法表示为（　　）
A． B．5 C．5 D．5
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：A．
【分析】大于0且小于1的数用科学记数法可表示为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2025八下·乐山期末）如图，手掌盖住的点的坐标可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：手盖住的点在第四象限，
∴盖住点的坐标的符号为，
∴四个选项中，只有D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据第四象限中点坐标的符号求解即可．
4．（2025八下·乐山期末）若一组数据2，x，3，4，5的众数是5，则这组数据的中位数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解： 数据2、x、3、4、5的众数为5，
，
将数据从小到大重新排列为2、3、4、5、5，
所以中位数为4.
故答案为：C.
【分析】根据众数的概念可得x的值，然后将该组数据从小到大重新排列，找出最中间的数据即为中位数.
5．（2025八下·乐山期末）如图，在平行四边形中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：，
，
∴∠DBC=180°－∠BDC－∠C=30°.
四边形是平行四边形，
，
.
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可求得∠ADB的度数，根据平行四边形的性质可得AD//BC，再根据平行线的性质即可求出的度数．
6．（2025八下·乐山期末）若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：因为 ，得 .
所以 .
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得a=2b，利用平方差公式可将待求式化为，据此计算.
7．（2025八下·乐山期末）已知点在第二象限，则直线的图像大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限，
，，
直线的图象经过第一、二、四象限，
故答案为：C．
【分析】根据点在第二象限，可知，，然后根据一次函数的性质，即可得到直线的图象经过的象限．
8．（2025八下·乐山期末）如图，两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为，则它们重叠部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点B作于E，于F，如图所示，
由题意得，，，∠DCB=60°.
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是菱形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，
∴，
∴它们重叠部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】过点B作于E，于F，由题意得，，，∠DCB=60°，则可证明四边形是平行四边形，再由等面积法可得，于是有四边形是菱形，.求出，可得，由勾股定理求得DE长，继而可得，据此可得答案．
9．（2025八下·乐山期末）若将、的值扩大3倍，分式的值（　　）
A．缩小3倍 B．不变 C．扩大3倍 D．扩大9倍
【答案】B
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：将、的值扩大倍，则变为，变为，代入分式可得：
新分式与原分式相同，所以分式的值不变．
故答案为：B．
【分析】根据、的值扩大倍得到新的、值，再将其代入原分式，通过化简新分式并与原分式对比，从而判断分式值的变化情况．
10．（2025八下·乐山期末）如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°，AD//BC，BC=AD，AB=CD.
∴∠ADE=∠DEC.
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°=∠C.
又，
，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴DF=CE.
∵BC=AD，
∴BC－EC=AD－DF，即BE=AD－DF，故选项B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
，故选项C正确，不符合题意；
D、在Rt△AFD中，当∠ADF=30°时，.
不一定等于，
不一定等于的一半，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：D．
【分析】先根据矩形的性质得∠C=90°，AD//BC，BC=AD，AB=CD.再证明∠ADE=∠DEC，∠AFD=∠C，即可利用AAS证明 并判断选项A；再根据矩形的对边相等以及全等三角形的对应边相等即可得到结论并判断选项BC；最后根据含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边长的一半可判断选项D．
11．（2025八下·乐山期末）代数式的值一定不为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】分式的混合运算；解分式方程
【解析】【解答】解：
，
∵m+1≠0，且m≠0，即m≠-1且m≠0.
A、当时，，解得：，成立，故选项A不符合题意；
B、当时，，解得：，成立，故选项B不符合题意；
C、当时，，无解，故选项C符合题意；
D、当时，，解得：，故选项D不符合题意；
综上，代数式的值一定不为1.
故答案为：C.
【分析】将代数式化简得到，根据分式的性质可求得m≠-1且m≠0. 再分析各选项的可能性，确定无法取到的值即可.
12．（2025八下·乐山期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，与轴交于点．若，则的值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为D，E，如图，
轴，轴，
，
，
BE为△ADC的中位线，，
∴AD=2BE.
∴设点，则，，，
∵反比例函数图象经过第一象限，
∴k>0.
∴，，.
∵，，
∴，
∴
，
故答案为：B．
【分析】作轴，轴，可得，证明BE为△ADC的中位线，可得AD=2BE，设点，则，，，证明，利用梯形的面积公式，即可求得k的值.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．（2025八下·乐山期末）计算：5-2=（　 　）
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】直接根据负整数指数幂的运算法则求解即可.
14．（2025八下·乐山期末）四名选手参加射击预选赛，他们成绩的平均环数及方差S2如右表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，则应选　 　．
　 甲 乙 丙 丁
平均环数 7 8 8 7
s2 1 1 1.2 1.8
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵7<8，
∴乙、丙两人的平均成绩最好，
∵1<1.2，
∴乙的波动更小，
∴应选乙．
故答案为：乙．
【分析】先比较平均数，确定乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．
15．（2025八下·乐山期末）若分式方程有增根，则增根为　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：
去分母得：，
即：
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
故答案为：．
【分析】把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
16．（2025八下·乐山期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CD，如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5.
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF＝CD.
∵CD⊥AB时，线段CD的长最小，
此时，
∴CD＝＝＝，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接CD，证明四边形CEDF是矩形，可得EF＝CD，再由垂线段最短得CD⊥AB时线段CD的长最小，利用等面积法求得此时CD的长，即可解答．
17．（2025八下·乐山期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则不等式的解集为　 　．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴
∴k=6.
∴反比例函数的解析式为：
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴a=﹣6.
∴．
∴不等式的解集为或．
故答案为：或．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再代入求出a的值，最后根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系，即可得出不等式的解集．
18．（2025八下·乐山期末）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形．直线由原点开始向上平移，所得的直线与矩形两边分别交于两点，设面积为与函数关系的图象如图2所示．
（1）点的坐标为　 　；
（2）当时，函数与函数解析式为　 　．
【答案】；
【知识点】点的坐标；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：（1）当点N从点O移动到点A时，如图所示，
∵与矩形两边分别交于M、N两点，
∴点M的坐标是，点N的坐标是，面积为S，
∴S与b的函数关系式是：；
观察得：当时，直线经过点，
∴；
当点时，如图所示，
此时点N到的距离不变为4，
∴；
故答案为：；．
【分析】（1）根据图象可知，当点在上运动时，面积对应的函数图象为这 段图象，故由时图象经过点A可求出点的坐标；
（2）由图象可知，当时，点在上运动，此时点N到的距离不变为4，再根据三角形面积得结论．
三、本大题包含第19题、20题、21题，共3小题，每小题8分，共24分．
19．（2025八下·乐山期末）计算：．
【答案】解：原式．
．
．
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】通分化为同分母的分式减法，再进行计算即可．
20．（2025八下·乐山期末）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
21．（2025八下·乐山期末）已知一次函数的图象经过点和点，求当时，函数y的值．
【答案】解：因为一次函数y＝kx＋b的图象经过点（ 1，1）和点（1， 5），代入得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝ 3x 2，
把x＝5代入解析式可得：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】把点（ 1，1）和点（1， 5）代入y＝kx＋b得到一个关于k、b的方程组，求解即可．
四、本大题包含第22题、23题、24题，共3小题，每小题9分，共27分．
22．（2025八下·乐山期末）解答下列问题时，小张和小李两位同学写出了不完整的解答过程．
学校组织春季“远足”，学生队伍从学校出发后，做后勤保障的老师带着保障用品，骑自行车从学校出发，在距离学校处追上学生队伍．已知老师的速度是学生的速度的倍，求老师和学生的速度各是多少？ 小张：． 小李：设学生的速度为．
根据以上信息，解答下列问题．
（1）小张所列方程中的表示___________；
（2）根据小李设的未知数，列方程并解答．
【答案】（1）学生走所用的时间；
（2）解：设学生的速度为，则老师的速度为，由题得
解得：
经检验，为方程的根，且符合题意.
∴1.5y=1.5×5=7.5（km/h）
学生的速度为，老师的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由，且已知老师的速度是学生的速度的倍，
可知方程左边为老师的速度，右边为学生的速度.
即表示学生的速度，
由于15表示学生从出发到被老师追上时，所走的路程，
∴x为学生从出发到被老师追上时，学生所用的时间．
小张的方程中，x 表示由学生走所用的时间．
故答案为：学生走所用的时间；
【分析】（1）分析小张所列方程，和题意中对应的等量关系，可得方程左边为老师的速度，右边为学生的速度，即表示速度，再结合15表示所走路程，即可得x的意义；
（2）根据小李设的学生速度为y km/h，根据题意得等量关系“学生所用的时间=老师所用的时间+1”，据此列方程求解即可.
（1）解：分析方程，
右边，已知老师的速度是学生的速度的倍，
因此应为学生的速度，x为学生从出发到被老师追上，学生用的时间．
左边表示老师的速度，而学生比老师多用1小时，因此实际上是老师的时间．
小张的方程中，x表示由学生走用的时间；．
（2）解；设学生的速度为，则老师的速度为，由题得
解得
经检验，为方程的根
学生的速度为，则老师的速度为．
23．（2025八下·乐山期末）为深入学习贯彻年全国“两会”精神，培养发展新质生产力所需要的高素质人才，某校组织了以“聚焦两会热点争做时代青年”为主题的知识竞赛，并随机抽查了八、九年级各名学生的成绩单位：分，进行了如下数据的整理与分析．
数据收集：
八年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，；
九年级名学生的竞赛成绩分别为：，，，，，，，，，．
数据整理分析：
平均数 中位数 众数 方差
八年级
九年级
根据以上统计信息，回答下列问题：
（1）表中 ______， ______；
（2）若该校八年级名学生均参加了本次知识竞赛，请你估计该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数；
（3）九年级的小芬认为，在此次知识竞赛中，九年级成绩比八年级成绩好，你同意吗？请选择适当的统计量说明理由．
【答案】（1），
（2）解：∵八年级学生成绩再85分及以上的学生人数有7人，
（人），
答：该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数大概为人；
（3）解：同意，理由如下：
观察得：两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，而九年级学生竞赛成绩的方差小，因此成绩更稳定，
九年级成绩比八年级成绩好．
【知识点】用样本估计总体；中位数；方差；众数
【解析】【解得】解：（1）八年级10名学生的竞赛成绩排序：，，，，，，，，，，
中间的两个数是，，
中位数，
九年级名学生的竞赛成绩排序为：75、80、80、80、80、85、90、90、95、95、
其中80出现次数最多有4次，其他最多有2次；
这组数据的众数是，故b=80.
故答案为：，；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义直接求解即可；
（2）用乘以八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数所占的比例即可得到大概人数；
（3）根据平均数、中位数、众数以及方差的意义判断即可．
（1）解：八年级名学生的竞赛成绩排序：，，，，，，，，，，
中间的数是，，
中位数，
九年级名学生的竞赛成绩中，出现次数最多，
这组数据的众数是，即的值为，
故答案为：，；
（2）解：（人），
答：估计该校八年级学生本次竞赛成绩在分及以上的学生人数为人；
（3）解：同意，
理由：两个年级学生竞赛成绩的平均数相同，而九年级学生竞赛成绩的方差小，成绩稳定，
九年级成绩比八年级成绩好．
24．（2025八下·乐山期末）在“综合与实践”课堂上，同学们经过探索发现“将中心对称图形面积二等分的直线往往会经过对称中心”，如：平行四边形的对角线交于点，过的直线，将平行四边形等分成面积相等的四边形和四边形．
课后，小李想运用课堂上探究的结论，用一条直线将图的面积等分成两份．请你用三种方法完成（保留画图痕迹，不写画法）．
【答案】解：如图所示：
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】根据题意构造矩形，再连接对角线交点即可．
五、本大题包含第25题、26题，共2小题，每小题10分，共20分．
25．（2025八下·乐山期末）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图，在中，点在边上，，求证：． 证明：如图，在边上截取一点，使得，连接． 在和中． ①___________ 又 ②___________ 又 ③___________
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：___________；“②”处应填：___________；“③”处应填：___________．
刘老师进一步谈到：证明线段相等问题时，可根据已知条件，在较长线段上截取一段，构造三角形全等的条件．通过证明三角形全等解决问题，此过程体现了转化的思想方法．
【知识迁移】
如图，在正方形中，是边上一点，点在延长线上，平分，求证：．
【答案】[问题解决]
；；；
[知识迁移]
证明：在边上截取一点，使得，连接，如图所示，
四边形是正方形，
，
又，
，
，
，
.
平分，
，
.
，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：[问题解决]
在边上截取一点，使得，连接，如图所示，
在和中，
，
（SAS），
，
，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：；；；
【分析】（1）根据可判定，得到①的答案；根据等角对等边可得②的答案；根据等量代换可得③的答案；
（2）在边上截取一点，使得，连接，根据正方形的性质可证得BM=BE，再结合角平分线的定义可推出，然后由，，可推出，即可证明，最后利用全等三角形的性质即可得到结论．
26．（2025八下·乐山期末）如图所示，直线与轴负半轴、轴正半轴分别交于、两点．
（1）若，求直线的解析式；
（2）当取不同的值时，点在轴正半轴上运动，以为旋转中心，将线段顺时针旋转得线段，将线段逆时针旋转得线段，连接交轴于点，求证：的长为定值．
【答案】（1）解：∵交x轴于点B，交y轴于点，
．
，
，
∴
直线的解析式．
（2）解：由（1）得：A，B，
过点M作轴于点，如图所示：
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
．
设直线的解析式为，
则
解得：
∴直线MN的解析式为：
∵直线交轴于点，
．
长为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；旋转的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）分别令x=0，和y=0，可求出点A和点B的坐标，再根据OA=OB，可得关于k的方程，求解即可得到结论.
（2）先由（1）得到点A和B的坐标，作轴于点，利用AAS证明，即可求出，然后利用待定系数法求出直线的解析式，得到点的坐标，再计算AP，即可得到结论．
（1）解：由交两轴于、两点
．
，
，即
直线的解析式．
（2）解：当时，；当时，，解得，
∴点A的坐标为，点A的坐标为，
作轴于点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
．
设直线为，则
为
．
长为定值．
六、本大题共2小题，第27题12分，第28题13分，共25分．
27．（2025八下·乐山期末）对于正数，规定．请解答下列问题．
（1）计算：；
（2）计算：；
（3）探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值．
【答案】（1）解：由题意得：
；
（2）解：∵，
∴
；
（3）解：存在，理由如下：
由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，即，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解；
（2）根据题意得出，结合新定义，即可求解；
（3）根据，可得，把等式中的和替换掉，再利用完全平方公式进行展开，化简得到.再根据定义，代入计算即可求解．
（1）解：由题意得；
（2）解：由（1）可知，则
；
（3）解：由（1）可知，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，整理得，
解得，
经检验，是方程的解，
由上可得，时，题中等式成立．
28．（2025八下·乐山期末）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求反比例函数的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
，
∴
四边形为正方形，
，
在中，当时，，当时，，
∴．
，
．
（2）解：过点E作EG⊥OA于点G，如图所示：
则.
∵，，
∴，
解得：或（舍去），
∴反比例函数解析式为；
（3）解：由（1）（2）得，
则直线OE的解析式为：y=4x，直线OF的解析式为：.
设直线的解析式为，
∴，
∴
∴直线解析式为
由平移的性质可得，
设，
则平移方式为向右平移m个单位长度，
∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；
①当与相交于G，与相交于，如图所示：
则在中，当时，，
在中，当时，，
∴.
，
解得，
∴．
②当与交于，与交于，如图所示：
可得，
，
解得，
∴．
综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得，则根据点B坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，可求出．则．利用SAS证明，即可得到结论．
（2）过点E作EG⊥OA于点G，则.由可得，利用梯形的面积公式并代入数据并计算，即可得到答案.
求解即可；
（3）由（1）（2）得，可求出直线解析式为直线解析式为；直线解析式为；设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于与交于，当与交于，与交于，两种情况讨论求解即可．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
，
∴
四边形为正方形，
，
在中，当时，，当时，，
∴．
．
在和中．
，
．
（2）解：∵，
∴，
解得或（舍去），
∴反比例函数解析式为；
（3）解：由（1）（2）得，
设直线解析式为，
∴，
∴
∴直线解析式为
同理可得直线解析式为；直线解析式为；
设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，
∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；
①当与交于与交于，
在中，当时，，
在中，当时，，
∴
，
解得，
∴．
②当与交于，与交于，
同理可得
，
解得，
∴．
综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或．
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