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湖南省衡南县冠市联合学校2024-2025学年上学期期中教学质量检测九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（2025九上·衡南期中）下列选项中是一元二次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
2．（2025九上·衡南期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·衡南期中）在中，，，，则等于（　　）
A．10 B．8 C．9 D．6
4．（2025九上·衡南期中）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A．0 B．-10 C．3 D．10
5．（2025九上·衡南期中）如图，在中，，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·衡南期中）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·衡南期中）用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·衡南期中）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　)
A． B． C． D．
9．（2025九上·衡南期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·衡南期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题8小题，每小题3分，共计24分）
11．（2025九上·衡南期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025九上·衡南期中）若是方程的一个解，则代数式的值为　 　．
13．（2025九上·衡南期中）已知，则=　 　．
14．（2025九上·衡南期中）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是　 　.
15．（2025九上·衡南期中）如图，在中，，于点，，，那么　 　．
16．（2025九上·衡南期中）若是关于的一元二次方程，则　 　．
17．（2025九上·衡南期中）如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为　 　．
18．（2025九上·衡南期中）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为　 　．
三、解答题（本大题8小题，共计66分）
19．（2025九上·衡南期中）计算：．
20．（2025九上·衡南期中）解方程：．
21．（2025九上·衡南期中）如图，时代先锋小区在一栋楼房的后面修了一座假山，其坡面的坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚点与楼房间的水平距离，与亭子的距离，小丽从楼房顶端测得点的俯角为45°，求楼房的高度．
22．（2025九上·衡南期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
23．（2025九上·衡南期中）为了解市区校落实双减政策的情况，有关部门抽查了校某班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是_____；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整；
（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为_____．
24．（2025九上·衡南期中）如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米．
（1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
25．（2025九上·衡南期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长为，，如图1，动点以每秒个单位的速度由点向点沿线段运动，同时点以每秒个单位的速度由点向点沿线段运动．
（1）用含的代数式表示： _______，_______
（2）在运动过程中，、、三点是否能构成等腰三角形，若能，请求出点的坐标．
（3）如图，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．求点的坐标．
26．（2025九上·衡南期中）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为射线上一动点，连接．
（1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．
基础探究：
①如图1，若，则的度数为___________．
深入探究：
②如图2，当，且时，求的长．
拓展探究：
（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，故A正确；
不能合并，故B错误；
，故C错误；
，故D错误，
故选：A．
【分析】根据二次根式的乘除，加法运算法则，二次根式的性质，逐一进行判断即可．
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
∴，
∵，，
∴，
．
故选：A．
【分析】先证明，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求解，得到关于BC的方程求解．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：，，，
，
．
故选：C．
【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解．
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得：36（1－x）2=25，故答案为：C.
【分析】由平均每次降价的百分率为x，得到第一次降价为36（1－x），第二次降价为36（1－x）2，得到方程.
7．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，得
两边同时加上4，得
∴；
故选：A．
【分析】通过移项，两边同时加上4，进行配方求解．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，
∽，
∴，
∵，
，
∴，
故选：A．
【分析】先利用平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，再得出△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的性质求解．
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；求正弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】先利用分别求出AB，BC，AC，再利用逆定理推出为等腰直角三角形，从而得出，然后利用正弦进行求解．
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，，
∴结论①正确；
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴结论②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴结论③正确；
在中，，则：，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴；故④正确
∴正确的是①②③④．
故选：D．
【分析】先根据正方形的性质得出，，再根据等边三角形的性质得出，，进而得出，即可判断选项①；
先根据等腰三角形的性质得出，再根据正方形对角线的性质得出，得，得出，然后根据平行线的性质得出，得出，即可判断选项②；
先证明，由相似三角形的性质即可判断选项③；
利用含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系求出与的数量关系从而判断④．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件，列出不等式求解．
12．【答案】12
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的一个解，
，
移项，得，
两边同乘以2，得，
故答案为：12．
【分析】先将代入，再通过移项，等式的性质求解．
13．【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设a=3k，b=2k，
则，
故答案为：5．
【分析】根据，设a=3k，b=2k，再将a、b的值代入计算即可。
14．【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为：14.
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根为x=3与x=4，然后分当腰为3时，三角形的三边为3，3，6与当腰为4时，三角形的三边为4，4，6两种情况，根据三角形的三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用周长的计算方法算出答案。
15．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵于点，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用余弦求出，再利用余弦求出．
16．【答案】1
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
，
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程的定义，列出方程求解．一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．
17．【答案】4
【知识点】二次函数的最值；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，则．
∵四边形ABCD是正方形，
∴
，
，
∴，
∴，
当时，y有最大值为4．
故答案为：4．
【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
18．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：∵A点坐标为，
∴，
∴第一次旋转后，点在第一象限，；
第二次旋转后，点在第二象限，；
第三次旋转后，点在轴负半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在轴正半轴，；
如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴上，
∵，
∴点在轴正半轴上，且，
∴
故答案为：．
【分析】先分别求出第一次、第二次、第三次，…旋转后点所在的位置，从中找出规律，再利用规律求解．
19．【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化去绝对值，计算特殊三角函数，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减．
20．【答案】解：
移项，得
方程左边分解因式，得
∴，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程求解．
21．【答案】解：如图，过点分别作于点，的延长线于点，
则，
又，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的坡度为，
∴，
设，，
∴．
∵，
∴，解得：．
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
答：楼房AB的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先证得四边形是矩形，再利用矩形的性质得到，，然后利用坡度的定义求解出，，再在中，利用正切求出，从而得到的高度．
22．【答案】（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得该方程总有两个实数根.
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，根据二次方程根与系数的关系可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：∵“球类”人数为12人，“绘画类”人数为10人，“舞蹈”类人数为4人，“棋类”人数为7人，
∴“音乐类”人数：（人），
补全完整后的统条形计图如下：
（3）126
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵“绘画类”人数为10人，占25%，
∴班级总人数为：（人），
∴该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是：，
故答案为：；
（3） ∵抽查 中“棋类”人数为7，
∴参加棋类活动的人数约为（人），
故答案为：126；
【分析】（1）用“绘画类”人数除以所占百分比求出总人数，再用“球类”人数除以总人数即可；
（2）用总人数减去“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“棋类”人数，得到“音乐类”人数，再补全统条形计图；
（3）用样本估计总体求解．
（1）解：班级总人数为：（人），
该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是：，
故答案为：；
（2）解：“音乐类”人数：（人），
补充完整后的条形统计图如下：
（3）解：参加棋类活动的人数约为（人），
故答案为：126；
24．【答案】（1）解：设边的长为x，依题意得：
∴
解得：，，
当时，，不合题意
答：边的长为15米；
（2）解：设边的长为x，依题意得：
∴
∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设边AB的长为x，可以用x表示出AD，再根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可；
（2）先根据圈的总面积能为480平方米，列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可判断．
（1）设边的长为x，依题意得：
整理得：
解得：，，
当时，，不合题意
答：边的长为15米；
（2）设边的长为x，依题意得：
整理得：
∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米．
25．【答案】（1），
（2）解：当时，
将（1）结果代入得，，
解得，，
此时，
，
故点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，
，，
∵，
，
，
由勾股定理得，，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，，，
，
，
，
则，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
则点坐标为，
综上所述，点坐标为或或．
（3）解：如图，连接，
由题意得：，
，
是的中点，
，，
在和中，
，
，，
，
，
即，
解得，，
由勾股定理得，，
，
∴的坐标为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意知：，
，
故答案为：，
【分析】（1）分析题意，利用路程、时间、速度的关系，可用t表示出CP，再利用勾股定理求得OC，从而可用t表示出QC．
（2）分、、三种情况，分别利用等腰三角形的性质分别计算出点的坐标．
（3）评价由翻转变换性质得到，再根据全等三角形的性质得到，然后由得到，，从而得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算求得点的坐标．
（1）解：由题意知：，
，
故答案为：，
（2）当时，
将（1）结果代入得，，
解得，，
此时，
，
故点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，
，，
∵，
，
，
由勾股定理得，，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，，，
，
，
，
则，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
则点坐标为，
故答案为：当时，点坐标为；当时，点坐标为；当时，点坐标为．
（3）
如图，连接，
由题意得：，
，
是的中点，
，，
在和中，
，
，，
，
，
即，
解得，，
由勾股定理得，，
，
的坐标为．
故答案为：的坐标为．
26．【答案】(1) ①；
解：②∵ 将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（2）如图，由题意得，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵ 将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，由折叠的性质知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】解：（1）①∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ 将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G，
∴，
∴是等边三角形，∴，
故答案为：；
【分析】（1）①利用正切函数即可求解；
②证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解．
1 / 1湖南省衡南县冠市联合学校2024-2025学年上学期期中教学质量检测九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（2025九上·衡南期中）下列选项中是一元二次方程的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元二次方程，故本选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据一元二次方程的定义，对四个方程逐一分析，再作出判断．
2．（2025九上·衡南期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，故A正确；
不能合并，故B错误；
，故C错误；
，故D错误，
故选：A．
【分析】根据二次根式的乘除，加法运算法则，二次根式的性质，逐一进行判断即可．
3．（2025九上·衡南期中）在中，，，，则等于（　　）
A．10 B．8 C．9 D．6
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
∴，
∵，，
∴，
．
故选：A．
【分析】先证明，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式求解，得到关于BC的方程求解．
4．（2025九上·衡南期中）已知、是一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A．0 B．-10 C．3 D．10
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：、是一元二次方程的两个根，
∴，
是的一个根，
，
，
.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得mn=-5，根据方程解的概念可得m2+2m=5，然后代入计算即可.
5．（2025九上·衡南期中）如图，在中，，若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：，，，
，
．
故选：C．
【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据正切的定义求解．
6．（2025九上·衡南期中）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得：36（1－x）2=25，故答案为：C.
【分析】由平均每次降价的百分率为x，得到第一次降价为36（1－x），第二次降价为36（1－x）2，得到方程.
7．（2025九上·衡南期中）用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项，得
两边同时加上4，得
∴；
故选：A．
【分析】通过移项，两边同时加上4，进行配方求解．
8．（2025九上·衡南期中）如图，在平行四边形中，E为上一点，连接，，且，相交于点，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，
∽，
∴，
∵，
，
∴，
故选：A．
【分析】先利用平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，再得出△DFE∽△BFA，然后根据相似三角形的性质求解．
9．（2025九上·衡南期中）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值；等腰直角三角形；求正弦值；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
故选：B．
【分析】先利用分别求出AB，BC，AC，再利用逆定理推出为等腰直角三角形，从而得出，然后利用正弦进行求解．
10．（2025九上·衡南期中）如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连结、，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，
∴，，，，，
∴，，，
∴，，
∴结论①正确；
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴结论②正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴结论③正确；
在中，，则：，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∴；故④正确
∴正确的是①②③④．
故选：D．
【分析】先根据正方形的性质得出，，再根据等边三角形的性质得出，，进而得出，即可判断选项①；
先根据等腰三角形的性质得出，再根据正方形对角线的性质得出，得，得出，然后根据平行线的性质得出，得出，即可判断选项②；
先证明，由相似三角形的性质即可判断选项③；
利用含30度角的直角三角形的性质，结合线段的和差关系求出与的数量关系从而判断④．
二、填空题（本大题8小题，每小题3分，共计24分）
11．（2025九上·衡南期中）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】利用二次根式有意义的条件，列出不等式求解．
12．（2025九上·衡南期中）若是方程的一个解，则代数式的值为　 　．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：是方程的一个解，
，
移项，得，
两边同乘以2，得，
故答案为：12．
【分析】先将代入，再通过移项，等式的性质求解．
13．（2025九上·衡南期中）已知，则=　 　．
【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设a=3k，b=2k，
则，
故答案为：5．
【分析】根据，设a=3k，b=2k，再将a、b的值代入计算即可。
14．（2025九上·衡南期中）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是　 　.
【答案】14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14，
故答案为：14.
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根为x=3与x=4，然后分当腰为3时，三角形的三边为3，3，6与当腰为4时，三角形的三边为4，4，6两种情况，根据三角形的三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用周长的计算方法算出答案。
15．（2025九上·衡南期中）如图，在中，，于点，，，那么　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵于点，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用余弦求出，再利用余弦求出．
16．（2025九上·衡南期中）若是关于的一元二次方程，则　 　．
【答案】1
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
解得：，
，
故答案为：1．
【分析】根据一元二次方程的定义，列出方程求解．一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．
17．（2025九上·衡南期中）如图，正方形ABCD中，，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为　 　．
【答案】4
【知识点】二次函数的最值；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，则．
∵四边形ABCD是正方形，
∴
，
，
∴，
∴，
当时，y有最大值为4．
故答案为：4．
【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值．
18．（2025九上·衡南期中）在平面直角坐标系中，等边如图放置，点的坐标为．每一次将绕着点逆时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，以此类推，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：∵A点坐标为，
∴，
∴第一次旋转后，点在第一象限，；
第二次旋转后，点在第二象限，；
第三次旋转后，点在轴负半轴，；
第四次旋转后，点在第三象限，；
第五次旋转后，点在第四象限，；
第六次旋转后，点在轴正半轴，；
如此循环，每旋转6次，的对应点又回到轴正半轴上，
∵，
∴点在轴正半轴上，且，
∴
故答案为：．
【分析】先分别求出第一次、第二次、第三次，…旋转后点所在的位置，从中找出规律，再利用规律求解．
三、解答题（本大题8小题，共计66分）
19．（2025九上·衡南期中）计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化去绝对值，计算特殊三角函数，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减．
20．（2025九上·衡南期中）解方程：．
【答案】解：
移项，得
方程左边分解因式，得
∴，
，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用因式分解法解一元二次方程求解．
21．（2025九上·衡南期中）如图，时代先锋小区在一栋楼房的后面修了一座假山，其坡面的坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚点与楼房间的水平距离，与亭子的距离，小丽从楼房顶端测得点的俯角为45°，求楼房的高度．
【答案】解：如图，过点分别作于点，的延长线于点，
则，
又，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵的坡度为，
∴，
设，，
∴．
∵，
∴，解得：．
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
答：楼房AB的高度为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先证得四边形是矩形，再利用矩形的性质得到，，然后利用坡度的定义求解出，，再在中，利用正切求出，从而得到的高度．
22．（2025九上·衡南期中）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
【答案】（1）证明：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据二次方程判别式，可得该方程总有两个实数根.
（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，根据二次方程根与系数的关系可得，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025九上·衡南期中）为了解市区校落实双减政策的情况，有关部门抽查了校某班同学，以该班同学参加课外活动的情况为样本，对参加“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“音乐类”、“棋类”活动的情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．
（1）该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是_____；
（2）请把图2（条形统计图）补充完整；
（3）该校学生共720人，则参加棋类活动的人数约为_____．
【答案】（1）
（2）解：∵“球类”人数为12人，“绘画类”人数为10人，“舞蹈”类人数为4人，“棋类”人数为7人，
∴“音乐类”人数：（人），
补全完整后的统条形计图如下：
（3）126
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）∵“绘画类”人数为10人，占25%，
∴班级总人数为：（人），
∴该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是：，
故答案为：；
（3） ∵抽查 中“棋类”人数为7，
∴参加棋类活动的人数约为（人），
故答案为：126；
【分析】（1）用“绘画类”人数除以所占百分比求出总人数，再用“球类”人数除以总人数即可；
（2）用总人数减去“球类”、“绘画类”、“舞蹈类”、“棋类”人数，得到“音乐类”人数，再补全统条形计图；
（3）用样本估计总体求解．
（1）解：班级总人数为：（人），
该班参加球类活动的学生占班级人数的百分比是：，
故答案为：；
（2）解：“音乐类”人数：（人），
补充完整后的条形统计图如下：
（3）解：参加棋类活动的人数约为（人），
故答案为：126；
24．（2025九上·衡南期中）如图，用一段80米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，左右两个长方形都有一个1米的门通往中间长方形，中间的长方形有一个1米的门通往外面，墙的最大可用长度为50米．
（1）如果羊圈的总面积为345平方米，求边AB的长；
（2）请问羊圈的总面积能为480平方米吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设边的长为x，依题意得：
∴
解得：，，
当时，，不合题意
答：边的长为15米；
（2）解：设边的长为x，依题意得：
∴
∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设边AB的长为x，可以用x表示出AD，再根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可；
（2）先根据圈的总面积能为480平方米，列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可判断．
（1）设边的长为x，依题意得：
整理得：
解得：，，
当时，，不合题意
答：边的长为15米；
（2）设边的长为x，依题意得：
整理得：
∴此方程无解，故羊圈的总面积不能为480平方米．
25．（2025九上·衡南期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长为，，如图1，动点以每秒个单位的速度由点向点沿线段运动，同时点以每秒个单位的速度由点向点沿线段运动．
（1）用含的代数式表示： _______，_______
（2）在运动过程中，、、三点是否能构成等腰三角形，若能，请求出点的坐标．
（3）如图，是的中点，将沿折叠后得到，点在矩形内部，延长交于点．求点的坐标．
【答案】（1），
（2）解：当时，
将（1）结果代入得，，
解得，，
此时，
，
故点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，
，，
∵，
，
，
由勾股定理得，，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，，，
，
，
，
则，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
则点坐标为，
综上所述，点坐标为或或．
（3）解：如图，连接，
由题意得：，
，
是的中点，
，，
在和中，
，
，，
，
，
即，
解得，，
由勾股定理得，，
，
∴的坐标为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）由题意知：，
，
故答案为：，
【分析】（1）分析题意，利用路程、时间、速度的关系，可用t表示出CP，再利用勾股定理求得OC，从而可用t表示出QC．
（2）分、、三种情况，分别利用等腰三角形的性质分别计算出点的坐标．
（3）评价由翻转变换性质得到，再根据全等三角形的性质得到，然后由得到，，从而得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算求得点的坐标．
（1）解：由题意知：，
，
故答案为：，
（2）当时，
将（1）结果代入得，，
解得，，
此时，
，
故点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，
，，
∵，
，
，
由勾股定理得，，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
点坐标为；
当时，
如图，过点作的垂线交于点，，，
，
，
，
则，
整理得：，
解得，，（舍去），
此时，，
则点坐标为，
故答案为：当时，点坐标为；当时，点坐标为；当时，点坐标为．
（3）
如图，连接，
由题意得：，
，
是的中点，
，，
在和中，
，
，，
，
，
即，
解得，，
由勾股定理得，，
，
的坐标为．
故答案为：的坐标为．
26．（2025九上·衡南期中）综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为射线上一动点，连接．
（1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G．
基础探究：
①如图1，若，则的度数为___________．
深入探究：
②如图2，当，且时，求的长．
拓展探究：
（2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，请直接写出的长．
【答案】(1) ①；
解：②∵ 将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得（负值舍去）；
（2）如图，由题意得，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵ 将矩形沿进行翻折，点C的对应点为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，由折叠的性质知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上，的长为或．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】解：（1）①∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵ 将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G，
∴，
∴是等边三角形，∴，
故答案为：；
【分析】（1）①利用正切函数即可求解；
②证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理即可求解．
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