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14.3 角的平分线第1课时 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．图中可以看出小明用尺规作的平分线的作图痕迹，已知小明的作图是正确的，下列推断不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．若连接，则
2．如图，在中，，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．9
4．已知点M在的平分线上，点M到的距离为20，点N是上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，，，则的面积为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
6．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和26，则的面积为（ ）
A．11 B．22 C．26 D．37
7．如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的角平分线，，垂足为，点E、G分别在上且，和的面积分别为50和40，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9．如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积是 ．
10．如图，在中，，是的平分线，于，且，，则 ．
11．如图，是的角平分线，于点E，的面积是40，，则 ．
12．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，则的长为 ．
13．如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

14．如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ；
三、解答题
15．如图，在中，是高，，．
(1)画出的角平分线，分别交，于点，．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)求的度数．
16．如图，已知中，．
(1)尺规作图：作的平分线交于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)点E在边上，连接，若，求证：．
证明：过D点作于F点，
为的平分线，，，
①_______，
在和中，，
（②______），
③_______，
，④_______，
，
在和中，
，
，
．
17．如图，于E，于F，若，平分；
(1)求证：；
(2)已知，，，求四边形的面积．
18．如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B D A B B
1．C
【分析】本题考查了作角平分线，三角形全等的判定和性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．根据基本作图可知，，根据证明，即可得出，从而判断A、B、D不符合题意，C符合题意．
【详解】解：根据作图可得，，故A，B不符合题意；
∵，，，
∴，
∴，故D不符合题意；
而不一定成立，故C符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了角平分线的作法、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线的尺规作图法成为解题的关键．
由三角形内角和可得，再根据作图过程可得平分，即，然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
由作图过程可得：平分，
∴，
∴．
故选D．
3．A
【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，，
，
，
．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查角平分线的性质；垂线段最短.
根据角平分线的性质，点M到和的距离相等，均为20，结合垂线段最短，可知点N在上时，的最小值为20，从而得出的取值范围。
【详解】解：∵点M在的平分线上，点M到的距离为20，
∴点M到的距离为20，
∵点N是上的任意一点，
∴，
故选：B.
5．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点E作与点F，由角平分线的性质定理可知，再根据三角形的面积求解即可．
【详解】解：过点E作与点F，
∵平分，
∴．
∴面积＝，
故选：D
6．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，
作，根据角平分线的性质定理得，再证明，，进得出方程，求出解即可．
【详解】解：过点D作，于点H，
∵是的角平分线，，
∴．
在和中，
，
∴，
同理．
设的面积是x，则的面积是x，根据题意，得
，
解得，
所以的面积是11．
故选：A．
7．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：∵，
∴，
又∵平分，，
∴，
∵，
∴，
即．
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质．
过点作交于点，得到和，然后利用三角形面积的和差即可求解．
【详解】解：如图，过点作交于点，
∵是的角平分线，，
又∵，
∴
．
故选：B．
9．
【分析】本题考查了角平分线的性质，作于，由作图可得平分，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，作于，
，
由作图可得：平分，
∵，，
∴，
∴的面积是，
故答案为：．
10．8
【分析】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质可得，根据，即可求出长．
【详解】解：∵是的平分线，，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查了角平分线的性质定理．作于点，设为根据角平分线的性质定理得到，根据的面积是40列方程并解方程即可得到答案．
【详解】解：如图，作于点，
设为
∵是的平分线，
∴
，
即，
解得．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了角平线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，准确的计算是解题的关键．
先根据角分平线的性质得到，在根据三角形面积公式得到，然后代入解方程即可．
【详解】解：为的平分线，，，
，
的面积是，
，
即，
解得．
故答案为:．
13．/
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
14．2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查作图—作角平分线及三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题关键在于根据题意作出图形．
（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作平分即可；
（2）先求，再根据角平分线求出，进而利用三角形外角的性质根据求出结论．
【详解】（1）如图所示，即为所求．
（2）∵，，
∴
∵是的平分线
∴
∵是边上的高
∴
∴．
16．(1)如图所示；
(2)①；②；③；④；⑤．
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质及其尺规作图，熟知角平分线的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，进一步证明，得到，据此可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：过D点作于F点，
为的平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)128
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定：
（1）根据角平分线的性质得出，再由直角三角形全等的判定和性质即可证明；
（2）先求出，，再由全等三角形的性质得到，证明，得到，则，即可得到．
【详解】（1）证明：∵，，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
（）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则；
（）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长；
【详解】（1）证明：如图所示，连接，，
∵是的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：在和中，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
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