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14.3 角的平分线第2课时 课时练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．如图，于于则（ ）
A． B． C． D．
2．下列所作平分的方案，说法正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
3．如图，在中，、为边上两点，连接、，于点F，若，，，则的度数为（ ）．

A． B． C． D．
4．如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点．则下列结论正确的是（　　）
A．点平分 B．平分
C．平分 D．
5．如图，在中，分别是，的平分线，相交于点F，且，的周长为21，关于甲、乙、丙三人的结论，下列判断正确的是（ ）
甲：；乙；点F到的距离为2；丙：连接，则平分
A．只有甲对 B．甲、乙、丙都对
C．乙错，丙对 D．甲错，乙对
6．如图，已知点到，，的距离相等，则下列说法：点在的平分线上；点在的平分线上；点在的平分线上；点是，，的平分线的交点，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
7．如图，的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是三条角平分线的交点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，和的平分线相交于点O，交于点E，交于点F，过点O作于D，下列三个结论：①；②若，则；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
9．如图，已知在中，，点，分别在边，上，于，，．
（1）若，则 ；
（2）已知，，则的长是 ．
10．如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．

11．如图，中，点、是与三等分线的交点，则的度数是 ．
12．如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
13．如图，在中，，点为的边上一点，点分别在边上，连接，若，则的度数为 ．

三、解答题
14．如图，于E，于F，若，
(1)求证：平分；
(2)已知，求的长．
15．如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点P．
(1)试探索与的关系；
(2)若，求的度数．
16．如图，在中，和的平分线交于点，过点作，，，垂足分别为．
(1)求证：点在的平分线上；
(2)若的周长和面积都为24，求的长．
17．如图，，P是射线上的一点，与点D，与点E．、分别是与上的点，，．求证：是的平分线．
18．如图所示，和中，，，并且，连接，，相交于点．求证：
(1)；
(2)平分；
19．如图，在中，，，是的角平分线，它们相交于点．
(1)如图，连接，求证：点在的平分线上；
(2)如图，延长交于点，过点作于点，于点．求证：．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C D B C A A D
1．C
【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可．
【详解】解：∵于M，于N，，
∴P在的角平分线上，
∵
∴．
故选C．
2．C
【分析】本题考查了角平分线的判定定理，全等三角形的判定和性质，由角平分线的判定定理可判定甲；由可证，得到，即可判定乙，综合即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由甲的作法可知，点到的距离相等，
∴点在的角平分线上，
即平分，故甲对；
由乙的作法可知，，，
，
∴，
∴即平分，故乙对；
综上，甲、乙都对，
故选：．
3．D
【分析】本题考查了角平分线的判定，直角三角形的两个锐角互余，邻补角的定义；根据已知得出是的角平分线，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，最后根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴是的角平分线，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是熟知角平分线上的点到角两边的距离相等．
过点分别作的垂线，垂足分别为，然后根据角平分线的性质和判定即可求解．
【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵外角的平分线相交于点，
∴，，
∴，
∴点在平分线上，
∴平分，
故选：．
5．C
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，连接，过点作，根据角平分线的性质，得到，进而得到平分，利用分割法求面积法，求出的的长，进行判断即可．
【详解】解：连接，过点作，
∵分别是，的平分线，
∴，
∴，
∴平分，故丙说法正确；
∵，
∵的周长为21，
∴，
∴，
∴点F到的距离为4，故乙说法错误；
条件不足，无法得到，故甲说法错误；
故选C．
6．A
【分析】根据角平分线的判定定理判断即可．
【详解】解：∵点到、的距离相等，
∴点在的平分线上，故正确；
∵点到、的距离相等，
∴点在的平分线上，故正确；
∵点到、的距离相等，
∴点在的平分线上，故正确；
∴点在，，的平分线上，故正确；
综上所述，正确的是，
故选：．
【点睛】此题考查了角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上时解题的关键．
7．A
【分析】过点O作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质定理可知．再由三角形的面积公式计算，作比即可．
【详解】如图，过点O作于点D，于点E，于点F，
∵点是三条角平分线的交点，
∴．
∵，
，
，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理．正确作出辅助线，由角平分线的性质定理得出是解题关键．
8．D
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质以，角平分线的性质与判定等知识，由角平分线的定义、三角形的内角和定理得与的关系，判定①正确；过作于点于点，由三角形的面积证得②正确；在上取一点，使，证，得，再证，得，判定③正确，即可得出结论，正确作出辅助线证得是解题的关键．
【详解】解：①∵和的平分线相交于点，
，，
∴，故①符合题意；
②过作于点，于点，如图：
和的平分线相交于点，
∴点在的平分线上，
，
，故②符合题意；
③∵，
∴，
∵分别是与的平分线，
，
∴，
∴，
∴，
如图，在上取一点，使，连接，
∵是的角平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
故选：D．
9． 6
【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，证明三角形全等是解此题的关键．
（1）先证明得到平分，由三角形内角和定理计算出，即可得到答案；
（2）先计算出，证明得到，最后由即可得到答案．
【详解】解：（1），，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
故答案为：；
（2），
，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：6．
10．．
【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解．
【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，

∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴是的平分线，
又∵，，
∴ ，同理可得，
∴ ，
又∵，，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
11．/52度
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理．
过点N作于G，于E，于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出平分，然后根据三角形内角和等于求出再根据角的三等分求出的度数，然后利用三角形内角和定理求出的度数，从而得解．
【详解】解：如图，过点N作于G，于E，于F，
∵点、是与三等分线的交点，
∴平分，平分，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴．
故答案为：．
12．/70度
【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于是解题的关键．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，由等腰三角形性质得出，最后利用外角性质即可得到答案．
【详解】解：连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，点A落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】根据角平分线的判定与性质可知，最后利用三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为．

【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的判定；
（1）先证明，再证明，再结合全等三角形的判定与角平分线的判定可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得，再进一步解答即可．
【详解】（1）证明：，，
，
∴在和中，，
，
，
，
∴平分；
（2）解：，，，
，
，
，
，
．
15．(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定与性质是关键，
（1）先得出，根据角平分线定义得出，进而证明结论；
（2）过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，证明，得出平分，即可求出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵分别平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点P作于点Q，于点R，交延长线于点M，
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴点P在的平分线上，
即平分，
由（1）得，
∴，
∴．
16．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查角平分线的性质和判定，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
（1）利用角平分线的性质证得，然后利用角平分线的判定定理，即可得出结论；
（2）连接，由（1）知，然后由求得，根据的周长和面积都为24列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵和的平分线交于点，过点作，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴点在的平分线上；
（2）解：连接，
由（1）知，
∴
，
∵的周长和面积都为24，
∴，
∴．
17．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，先证明，得出，再由角平分线的判定定理即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴是的平分线．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由得，证明，即可得证；
（2）过点作于点，作于点，根据角平分线的判定即可得证；
掌握全等三角形的判定和性质及角平分线的判定是解题的关键
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）过点作于点，作于点，
∵，
∴，
∴平分
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定．
因为，是的角平分线，过点作，，的垂线段，分别交于点、、，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，再根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立；
首先过点作的垂线段，交的延长线于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证、，等量代换可证．
【详解】（1）证明：如图所示，
过点作，，的垂线段，分别交于点、、，
，是的角平分线，
，，
，
点在的角平分线上；
（2）证明：如图所示，
过点作的垂线段，交的延长线于点，
是的角平分线，，，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
即．
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