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第五章概率
5．1　随机事件与样本空间
最新课程标准
1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系．
2．了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算．
学科核心素养
1.理解样本点、样本空间的含义；能判断事件的类型．(数学抽象)
2．能写出试验的样本空间及随机事件包含的样本点．(数学建模)
3．理解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，并能进行随机事件的并、交运算．(数学抽象、逻辑推理)
5.1.1　随机事件
导学
教材要点
要点一　随机现象
1．在相同的条件下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果，我们把这种现象称为随机现象．
2．对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验．随机试验一般用大写字母________表示．
状元随笔　(1)随机现象与确定性现象不同，确定性现象在一定的条件下必然发生(出现)．
(2)随机现象的结果不止一个，哪个结果出现事先并不知道．
要点二　样本空间
1．样本点：对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能________称为样本点．一般用________(或带下标)表示．
2．样本空间：将随机试验所有________构成的集合称为此试验的样本空间，用________表示．
3．如果样本空间中________的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间．
状元随笔　样本点与样本空间的关系是元素与集合的关系．样本空间中的元素可以是数，也可以不是数．
要点三　随机事件
1．一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的________是Ω的随机事件，简称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．
2．由________________组成的集合称为基本事件．
3．由于样本空间Ω包含了所有的样本点，所以必然发生，我们称样本空间Ω为________事件．
4．空集 也是Ω的子集，所以 也是事件，但空集 中没有样本点，永远不会发生，称 是________事件．
状元随笔　随机事件在一定条件下可能发生，也可能不发生；必然事件一定会发生，不可能事件一定不会发生．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)随机试验的所有可能结果是不明确的．(　　)
(2)必然事件不是样本空间Ω的子集．(　　)
(3)随机试验的样本空间是一个集合．(　　)
(4)我们一般用列举法表示样本空间和随机事件．(　　)
2．下列事件：①明天下雨；②3>2；③某国发射航天飞机成功；④x∈R，x2＋2<0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x∈R，x＋2＝0.
其中随机事件的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是(　　)
A．3人都是男生 B．至少有1名男生
C．3人都是女生 D．至少有1名女生
4．抛掷二枚硬币，面朝上的样本空间有________________．
导思
题型一　事件类型的判断
例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．
(1)在标准大气压下，温度低于0 ℃时，冰融化；
(2)某个数的绝对值小于0；
(3)掷一枚硬币，出现正面；
(4)某地12月12日下雨；
(5)导体通电后发热；
(6)没有水分，种子发芽；
(7)三角形的内角和为180°；
(8)某人购买福利彩票5注，均未中奖．
总结
要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的．第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．
跟踪训练1　(1)(多选)下列事件中是随机事件的是(　　)
A．任取一个整数，被2整除
B．小明同学在某次数学测试中成绩不低于120分
C．甲、乙两人进行竞技比赛，甲的实力远胜于乙，在一次比赛中甲获胜
D．当圆的半径变为原来的2倍时，圆的面积是原来的4倍
(2)一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球．下列事件为不可能事件的是(　　)
A．3个都是白球 B．3个都是红球
C．至少1个红球 D．至多2个白球
题型二　确定试验的样本空间
角度1　列表法确定样本空间
例2　袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．
(1)从中任取一个球；
(2)从中任取两个球；
(3)先后各取一个球(不放回)．
分别写出上面试验的样本空间，并指出样本点的总数．
角度2　树状图法确定样本空间
例3　将数字1，2，3，4任意排成一列，试写出该试验的样本空间．
角度3　列举法确定样本空间
例4　从1，2，3，5中任取两个数字作为直线Ax＋By＝0的系数A，B.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)写出“这条直线的斜率大于－1”这一事件所包含的样本点．
总结
求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点．对于样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏．写样本空间时应注意两大问题：一是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关．
跟踪训练2　将一枚骰子先后抛掷两次，试验的样本点用(x，y)表示，其中x表示第一次抛掷出现的点数，y表示第二次抛掷出现的点数．
(1)求样本空间中的样本点个数；
(2)用集合表示事件“出现的点数之和大于8”．
易错辨析　不能正确理解试验结果致误
例5　随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别．
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示随机事件A＝“一个男孩，一个女孩”．
解析：(1)因为两个孩子的性别共有“两男”“两女”“男女”“女男”四种基本结果，所以样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}．
(2)因为“一个男孩，一个女孩”的结果有两种，所以A＝{(男，女)，(女，男)}．
易错点
易错原因 纠错心得
将“一男一女”与“一女一男”两种结果错认为是一种结果，导致结果出错． 1.把握随机试验的实质，明确试验的条件． 2．若在题干中强调了“先后”“依次”“顺序”“前后”就必须注意顺序问题，列举样本空间与随机事件时要做到不重不漏．
课时训练
1．下列事件中，随机事件的个数为(　　)
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实数根；③明年鸭河水库储水量将达到80%；④一个三角形的大边对大角，小边对小角．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列事件是必然事件的是(　　)
A．从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B．函数y＝logax(a>0且a≠1)为增函数
C．平行于同一条直线的两条直线平行
D．随机选取一个实数x，得2x<0
3．从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和不大于8”这一事件包含的样本点的个数是(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
4．从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字组成一个两位数，则事件A＝“这个两位数大于40”的集合表示是________．
5．随意安排甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每天1人值班，试写出值班顺序的样本空间．
第五章　概率
5．1　随机事件与样本空间
5．1.1　随机事件
导学
要点一
2．E
要点二
1．结果　ω　2.样本点　Ω　3.样本点
要点三
1．子集　2.一个样本点　3.必然　4.不可能
[练习]
1．答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2．解析：①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件．
答案：D
3．解析：由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．
答案：B
4．解析：每枚硬币都有可能正面朝上、反面朝上，则样本空间为{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}．
答案：{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}
导思
例1　解析：(5)(7)无论在什么条件下都一定会发生，所以是必然事件．
(1)(2)(6)一定不会发生，所以是不可能事件．
(3)(4)(8)有可能发生也有可能不发生，所以是随机事件．
跟踪训练1　
解析：(1)ABC均是可能发生也可能不发生的事件，为随机事件，D是一定发生的事件，为必然事件．
(2) 解析：袋子中装有8个红球，2个白球，摸出的3个球都是白球是不可能发生的，故3个都是白球为不可能事件，故选项A正确；摸出的3个都是红球为随机事件，故选项B不正确；袋子中只有2个白球，摸出3个球至少1个红球为必然事件，故选项C不正确；摸出的球至多2个白球是必然事件，故选项D不正确．
答案：(1)ABC　(2)A
例2　
解析：(1)Ω＝{红，白，黄，黑}，样本点的总数为4.
(2)一次取两个球，若记(红，白)代表一次取出红球、白球各一个，则样本空间Ω＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}，样本点的总数为6.
(3)先后取两个球，如记(红，白)代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球．
列表如下：
则样本空间为Ω＝{(红，白)，(白，红)，(红，黄)，(黄，红)，(红，黑)，(黑，红)，(黄，黑)，(黑，黄)，(黄，白)，(白，黄)，(白，黑)，(黑，白)}，样本点的总数为12.
例3　解析：这个试验的样本点实质是由1，2，3，4这四个数字组成的没有重复数字的四位数，所作树状图如图．
这个试验的样本空间Ω＝{1234，1243，1324，1342，1432，1423，2134，2143，2341，2314，2431，2413，3124，3142，3214，3241，3421，3412，4123，4132，4213，4231，4312，4321}．
例4　
解析：(1)从1，2，3，5中任取两个数字构成有序实数对(A，B)，其中A是第一次取到的数字，B是第二次取到的数字，这个试验的样本空间是Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)}．
(2)这个试验的样本点的总数是12.
(3)因为直线Ax＋By＝0的斜率－＞－1，所以＜1，即A＜B.
因此，“这条直线的斜率大于－1”这一事件包含的样本点为(1，2)，(1，3)，(1，5)，(2，3)，(2，5)，(3，5)．
跟踪训练2　解析：(1)方法一(列举法)　试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36个样本点．
方法二(树状图法)　一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示，如图所示．
由图可知，共36个样本点．
方法三(坐标系法)　如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，样本点与所描述的点一一对应．
由图可知，样本点个数为36.
(2)“出现的点数之和大于8”可用集合表示为{(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
[课时训练]
1．解析：①③是随机事件；④是必然事件；Δ＝4－20<0，无实数根，②是不可能事件．
答案：B
2．解析：A是随机事件，5张标签都可能被取到；B是随机事件，当a>1时，函数y＝logax为增函数，当00.
答案：C
3．解析：从1，2，3，…，10这10个数中，任取3个数，这三个数之和不大于8，列举如下：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}四种情况．
答案：A
4．解析：因为这个两位数大于40，所以十位数字为4或5，所以A＝{41，42，43，45，51，52，53，54}．
答案：{41，42，43，45，51，52，53，54}
5．解析：样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．

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