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5．1.2　事件的运算
导学
教材要点
要点　事件的运算
事件的 关系 定义 表示法 图示
包含关系 如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B中，则称A包含于B，或B包含A.对于任何事件A，都有 A Ω. ________
事件相等 对于事件A，B，如果A B，且B A，则称A与B等价，或称A与B相等． A＝B 两个相 等的圆
事件的交 (或积) 如果某事件发生当且仅当事件A与事件B________发生，则称该事件为事件A与B的交(或积)． ________ (或AB)
事件的并 (或和) 如果某事件发生当且仅当事件A________事件B发生，则称该事件为事件A与B的并(或和)． ________ (或A＋B)
互斥事件 如果事件A∩B为________事件，即A∩B＝ ，则称事件A，B互斥(或互不相容)． A∩B＝
事件的差 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生，则称该事件为事件A与B的差． ________
事件对立 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的对立事件． Ω\\A或 ________
状元随笔　(1)事件A与事件B互为对立事件，则集合A与集合B互为补集．
(2)若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B一定互斥，事件A与事件B互斥，A与B不一定对立．
(3)事件A与事件B互为对立事件，也即事件A与事件B有且只有一个发生．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若A，B表示随机事件，则A∩B与A∪B也表示事件．(　　)
(2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件也是对立事件．(　　)
(3)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(　　)
(4)若事件A与B是互斥事件，则在一次试验中事件A和B至少有一个发生．(　　)
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
3．(多选)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中正确的是(　　)
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥
4．某人打靶两次，事件A为只有一次中靶，事件B为二次中靶，则A∪B________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导思
题型一　事件关系的判断
例1　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．
总结
(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．
(2)事件的结果间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．
跟踪训练1　从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，点数均为1～10)中任取一张．判断下面给出的每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”．
题型二　事件的运算
例2　盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{取得的3个球有1个红球、2个白球}，事件B＝{取得的3个球有2个红球、1个白球}，事件C＝{取得的3个球至少有1个红球}，事件D＝{取得的3个球既有红球又有白球}．问：
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
变式探究　在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
总结
事件间的运算方法
(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
跟踪训练2　盒子里有10个完全相同的球分别标有号码1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任取1个球，设A＝“球的标号不大于5”，B＝“球的标号是3的倍数”，C＝“球的标号是质数”．
(1)写出样本空间Ω；
(2)求A∩B与B∪C；
(3)求A\\B与Ω\\C.
题型三　多个事件运算的表示
例3　设有A，B，C三个事件，用A，B，C的运算表示以下事件：
(1)A，B，C至少有一个发生；
(2)A，B，C同时发生；
(3)A，B，C都不发生；
(4)仅A发生；
(5)A，B，C仅有一个发生．
总结
(1)表示多个事件的运算时，要紧扣运算的定义，常用的定义有：①事件A不发生用(A) 表示；②并(和)事件表示至少有一个发生；③交(积)事件表示同时发生．
(2)出现“至少”“至多”“恰有”等名词，注意分情况讨论．
跟踪训练3　甲、乙、丙三人各投一次篮，分别记事件A＝“甲投中”，B＝“乙投中”，C＝“丙投中”，试用A，B，C表示下列事件：
(1)甲、乙投中但丙没投中；
(2)甲、乙、丙都投中；
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中；
(4)只有乙投中．
易错辨析　对立事件的概念模糊致误
例4　从一批产品中取出三件产品，设事件A＝“三件产品全是次品”，则事件A的对立事件(A) ＝____________________．
解析：从一批产品中取出三件产品，试验的结果有四种：“三件正品”“二件正品一件次品”“一件正品二件次品”“三件次品”，故“三件产品全是次品”的对立事件是“三件产品不全是次品”．
答案：“三件产品不全是次品”或“三件产品中至少有一件正品”
易错点
易错原因 纠错心得
只是从字面意思上给出答案，没有考虑试验的所有结果． 1.把握对立事件的含义：，A∪＝Ω. 2．若从字面意思上求事件的对立事件有些模糊，则可以考虑列举试验的样本空间Ω，根据集合中的补集求出 ΩA，即＝ ΩA.
课时训练
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(　　)
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
2．掷一枚骰子，观察结果，A＝{向上的点数为3}，B＝{向上的点数为奇数}，则(　　)
A．A B B．A B
C．A＝B D．A，B互斥
3．抛掷一颗质地均匀的骰子，事件A为点数不小于4，事件B为点数不大于4，则A∩B＝________．
4．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：
(1)密码被破译；
(2)至少有一人破译；
(3)至多有一人破译；
(4)恰有一人破译；
(5)只有甲破译；
(6)密码未被破译．
5．1.2　事件的运算
导学
要点
A B　同时　A∩B　或　A∪B　不可能　A\\B　
[练习]
1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．解析：至少有2件次品包含2，3，4，5，6，7，8，9，10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
答案：B
3．解析：由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
答案：ABC
4．解析：A∪B为并事件即至少有一次中靶．
答案：至少有一次中靶
导思
例1　解析：从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．
(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．
跟踪训练1　
解析：(1)是互斥事件，但不是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是因为还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．
(2)既是互斥事件，又是对立事件．
理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
(3)不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10的牌．因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
例2　解析：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果是1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
变式探究　解析：由事件C包括的可能结果有1个红球、2个白球，2个红球、1个白球，3个红球三种情况，故B C，E C，而事件F包括的可能结果有1个白球、2个红球，2个白球、1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球、2个白球，2个红球、1个白球}＝D.
跟踪训练2　解析：(1)Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．
(2)因为A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，6，9}，C＝{2，3，5，7}，所以A∩=B＝{3}，B∪=C＝{2，3，5，6，7，9}．
(3)A\\B＝{1，2，4，5}，Ω\\C＝{1，4，6，8，9，10}．
例3　解析：(1)因为A∪B表示事件A，B至少有一个发生，所以事件A，B，C至少有一个发生，用A∪B∪C(或A＋B＋C)表示．
(2)因为A表示事件A，B同时发生，所以事件A，B，C同时发生，用A∩B∩C或ABC)表示．
(3)因为事件A，B，C不发生分别用表示，所以A，B，C都不发生，用(或)表示．
(4)仅A发生即A发生，B，C都不发生，也即事件A，同时发生，所以仅A发生，用A(或A)表示．
(5)A，B，C仅有一个发生即只有A发生或只有B发生或只有C发生，所以A，B，C仅有一个发生，用ABC表示．
跟踪训练3　解析：(1)丙没投中用表示，即事件A，B，同时发生，
所以甲、乙投中但丙没投中，用AB表示．
(2)甲、乙、丙都投中，即事件A，B，C同时发生，所以用ABC表示．
(3)甲、乙、丙三人至少有一人投中，用A＋B＋C表示．
(4)只有乙投中，即甲、丙没投中，乙投中，故事件，B，同时发生，所以只有乙投中，用B表示．
[课时训练]
1．解析：事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
答案：A
2．解析：B＝{向上的点数为奇数}，即{向上的点数为1，3或5}，所以A B.
答案：A
3．解析：事件A点数不小于4，则样本点为4，5，6，事件B点数不大于4，则样本点为1，2，3，4.∴A＝{4}．
答案：{4}
4．解析：用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码，则(1)A∪B∪C；(2)A；(3)A；(4)A∩∩+∩B∩+∩∩C；(5)A；(6).

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