资源简介

5．2.1　古典概型
5．2　概率及运算
最新课程标准
1.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．
2．通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则．
学科核心素养
1.会求古典概型的概率，并能解决实际问题．(数学建模、数学运算)
2．理解概率的性质，并能利用随机事件概率的运算法则解决相关问题．(逻辑推理、数学运算)．
导学
教材要点
要点一　古典概率
(1)若试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同，当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)＝为事件A发生的概率．
(2)上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(3)古典概型的概率计算公式为P(A)＝.
(4)古典概型的特点：①样本空间中只有有限个样本点；②每个样本点出现的可能性相等．
状元随笔　(1)由古典概型的定义可得古典概型满足基本事件的有限性和等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不用通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
(2)在古典概型中，每个基本事件发生的可能性都相等，称这些基本事件为等可能基本事件．
要点二　概率的基本性质
(1)任何事件的概率P(A)满足0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率为1，即P(Ω)＝1.
(3)不可能事件的概率为0，即P( )＝0.
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一个古典概型的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点数为m，则P(A)＝.(　　)
(2)任何一个事件都是一个基本事件．(　　)
(3)若一个试验的样本空间中的样本点个数为有限个，则该试验是古典概型．(　　)
(4)从装有三个大球、一个小球的袋中取出一球的试验是古典概型．(　　)
2．下列试验中是古典概型的是(　　)
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
3．若书架上放有数学、物理、化学书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为(　　)
A． B． C． D．
4．在20瓶饮料中，有2瓶已过了保质期．从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率是________．
导思
题型一　古典概型的判断
例1　(多选)下列概率模型中，是古典概型的是(　　)
A．从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率
B．从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率
C．从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其他均相同)，求取到一白一红的概率
D．向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率
总结
判断古典概型的方法
(1)一个试验是否为古典概型，在于是否具有两个特征：有限性和等可能性．
(2)并不是所有的试验都是古典概型，下列三类试验都不是古典概型：
①样本点个数有限，但非等可能．
②样本点个数无限，但等可能．
③样本点个数无限，也不等可能．
跟踪训练1　下列试验不是古典概型的是(　　)
A．从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．同时掷两颗骰子，点数和为6的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
题型二　简单的古典型概率的计算
例2　在集合{1，2，3，4，5}中，任取两个不同的数，观察结果．
(1)样本空间共有多少个样本点？
(2)A＝“两数之和等于6”，求P(A)．
总结
求古典概型的概率有两个关键点：(1)判断是否是古典概型；(2)准确求出样本空间和每个事件的样本点．
跟踪训练2　(1)掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于________．
(2)2021年湖南新高考实行“3＋1＋2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1，政治、地理、化学和生物4选2，共有12种选课模式．今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为________．
题型三　较复杂的古典概型的概率计算
角度1　与顺序有关的古典概型
例3　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时．
(1)求这四人恰好都坐在自己席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己席位上的概率．
角度2　与顺序无关的古典概型
例4　一般地，一个大于1的正整数可以表示为两个或两个以上的正整数之和，我们定义：将一个正整数n(n>1)表示为k个正整数的和，叫做正整数n的k拆分，若不考虑拆分部分之间的顺序，称为正整数n的无序k拆分．例如，4的所有无序2拆分记作：{1，3}，{2，2}．
(1)写出9的所有无序2拆分；
(2)从9的所有无序3拆分中任取一个，求“所取拆分中的3个数可以作为△ABC的三边长”的概率．
总结
解决有序和无序问题应注意两点
(1)不放回抽样，既可看成是有序的，也可看成是无序的，不影响结果，但必须注意观察角度要一致．
(2)放回抽样，注意在连续抽取两次时因顺序不同所得到的样本点也不同，所以存在顺序．
跟踪训练3　从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
易错辨析　对“有序”和“无序”判断不准而出错
例5　甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中选择题3道，填空题2道．甲、乙两人依次抽取1道题，求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率．
解析：列举可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，又甲、乙两人依次抽到1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为＝.
易错点
易错原因 纠错心得
误认为甲、乙两人依次抽取1道题与顺序无关，导致错误解析：P＝＝. 在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误．突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”．
课时训练
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(　　)
A． B． C． D．
2．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)
A． B． C． D．1
3．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为(　　)
A． B． C． D．
4．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于________．
5．现共有6家企业参与某项工程的竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C两家企业来自福建省，D，E，F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．
(1)列举所有企业的中标情况；
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的概率是多少？
5．2　概率及运算
5．2.1　古典概型
导学
[练习]
1．解析：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．解析：对于A，发芽与不发芽概率不同；对于B，任取一球的概率相同，均为；对于C，基本事件有无限个；对于D，由于受射击运动员水平的影响，命中10环，命中9环，…，命中0环的概率不等．
解析：B
3．解析：样本点总数为10，“抽出一本是物理书”包含3个样本点，所以其概率为.
解析：B
4．解析：样本点数共有20个，事件发生占2个，故所求概率为＝.
解析：
导思
例1　解析：A不是古典概型．因为从区间[1，10]内任取一个数，虽满足等可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件．B是古典概型．因为试验结果只有10个，并且每个数被抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”．C是古典概型．道理同B.D不是古典概型．虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”．
解析：BC
跟踪训练1　解析：ABD是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响．
解析：C
例2　解析：(1)因为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，所以样本空间共有20个样本点．
(2)因为A＝{(1，5)，(2，4)，(4，2)，(5，1)}，所以A中共有4个样本点，又样本空间中的20种结果是等可能的，所以P(A)＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6＝36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)共5种结果，∴要求的概率是P＝.
(2)今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则基本事件有(地，地)，(地，化)，(地，生)，(化，地)，(化，化)，(化，生)，(生，地)，(生，化)，(生，生)共9个，
他们选课相同包含的基本事件有：(地，地)，(化，化)，(生，生)共有3个，所以他们选课相同的概率＝.
解析：(1)　(2)
例3　解析：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如图所示，本题中的等可能基本事件共有24个．
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝.
(2)设事件B为“这四人恰好都没坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C为“这四人恰好有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝＝.
例4　解析：(1)9的所有无序2拆分为：{1，8}，{2，7}，{3，6}，{4，5}，共4个．
(2)9的所有无序3拆分为：{1，1，7}，{1，2，6)，{1，3，5}，{1，4，4}，{2，2，5}，{2，3，4}，{3，3，3}，共7个．把每个“9的无序3拆分”看作一个样本点，用M表示“所取拆分中的3个数可以作为△ABC的三边长”，则M中含有{1，4，4}，{2，3，4}和{3，3，3}，共3个样本点．由于每个样本点被选中的机会相等，所以这些样本点是等可能发生的，所以“所取拆分中的3个数可以作为△ABC的三边长”的概率P＝.
跟踪训练3　
解析：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的．用A表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．因为事件A由4个基本事件组成，
所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两次，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个基本事件组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}．事件B由4个基本事件组成，因而P(B)＝.
[课时训练]
1．解析：基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共六个，甲站在中间的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2个，所以甲站在中间的概率为P＝＝.
解析：C
2．解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
解析：C
3．解析：用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，则所有可能的次序有：(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)，共6种，其中B先于A，C通过的有：(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.
解析：B
4．解析：2个红球编号为A，B，2个白球编号为a，b，则依次取2球的基本事件有：AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab共6个，其中2球颜色相同的事件有AB、ab共2个，所求概率为P＝＝.
解析：
5．解析：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共有15种，以上就是中标情况．
(2)在中标的企业中，至少有一家来自福建省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．则“在中标的企业中，至少有一家来自福建省”的概率为＝.

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