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5．2.2　概率的运算
导学
教材要点
要点一　概率的加法公式
如果Ω中的事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝__________．
状元随笔　利用这个公式时一定要注意A与B互斥这一条件．
要点二　对立事件的概率
若事件A是样本空间Ω的事件，则P()＝____________．
状元随笔　(1)对立事件的概率公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用．
(2)当一个事件的概率不易直接求出，但其对立事件的概率易求时，可运用对立事件的概率公式，即可使用间接法求概率．
要点三　一般概率加法公式
若事件A，B是样本空间Ω的事件，则P(A∪B)＝________．
状元随笔　(1)事件A，B的交A∩B，也即事件A，B同时发生．
(2)事件A，B的并A∪B也即事件A，B中至少有一个发生．
(3)一般概率加法公式可表述为：两个事件的并的概率，等于这两个事件的概率的和与这两个事件的交的概率之差．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)事件A与事件B之和的概率等于事件A与事件B的概率之和．(　　)
(2)设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P(A∪B)≤P(A)＋P(B)．(　　)
(3)事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．(　　)
(4)事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．(　　)
2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)
A． B．
C． D．
3．甲、乙两名乒乓球运动员在一场比赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为(　　)
A．0.2 B．0.8
C．0.4 D．0.1
4．已知A与B互斥，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.1，则P(A∪B)＝________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
导思
题型一　利用概率的加法公式求概率
例1　黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占的比例/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以互相输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若他因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？,
总结
运用概率的加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互斥事件分别发生的概率，再求和．
跟踪训练1　在数学考试中，小明的成绩在90分(及90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括80分和89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，求：
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；
(2)小明数学考试及格的概率．
题型二　对立事件的概率
例2　一盒中装有4种除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出1个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为.求：
(1)取出的1个球是红球或黑球的概率；
(2)取出的1个球是红球或黑球或白球的概率．
总结
(1)当事件A的概率不易求，直接计算概率比较烦琐时，可先间接地计算其对立事件B的概率，再由公式P(A)＋P(B)＝1求其概率．
(2)应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件．该公式常用于“至少”“至多”型问题的求解．
跟踪训练2　一名射手在某次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算这个射手在这次射击中：
(1)射中10环或7环的概率；
(2)射中的环数低于7环的概率．
题型二　一般概率加法公式的应用
例3　如图，一面旗帜由3部分构成，这3部分必须分别涂上不同的颜色，现有红、黄、蓝、黑四种颜色可供选择，计算下列事件的概率：
1 2 3
(1)红色被选中；
(2)第1部分是黑色或第2部分是红色．
总结
概率加法公式和一般概率加法公式的区别在于A，B是否互斥．
跟踪训练3　在所有的两位整数中，任取一个数，求这个数能被2或3整除的概率．
易错辨析　不能区分事件是否互斥而致错
例4　掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率均为，记事件A＝“出现奇数”，事件B＝“向上的数不超过3”，求P(A∪B)．
解析：方法一　记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4.这四个事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝＝.
方法二　事件A∪B＝“出现奇数或向上的数不超过3”，则＝{1，2，3，5}，共有4个样本点，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，共有6个样本点，所以P(A∩B＝＝.
方法三　∵A∩B＝{1，3}，∴P(A∩B)＝×2＝，
又P(A)＝×3＝，P(B)＝×3＝，
∴P(A∩B＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＝.
易错点
易错原因 纠错心得
误认为事件A与事件B是互斥事件，从而应用概率的加法公式致错． 1.在使用概率的加法公式P(A∩B＝P(A)＋P(B)时，注意使用的条件． 2．掌握互斥事件的特点，分清事件是否为互斥事件． 3．若事件A，B不互斥，则应用概率公式P(A∩B＝P(A)＋P(B)－P(A∩B计算概率．
课时训练
1．在抛掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率都是.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪C(C是事件B的对立事件)发生的概率是(　　)
A． B． C． D．
2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是(　　)
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
3．A，B是两个随机事件，已知P(A)＝0.34，P(B)＝0.32，P(A∩B)＝0.31，则P(A∩B＝(　　)
A．0.66 B．0.65 C．0.35 D．0.34
4．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．
5．2.2　概率的运算
导学
要点一
P(A)＋P(B)
要点二
1－P(A)
要点三
P(A)＋P(B)－P(A
[练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2．解析：P(甲不输)＝P(和棋)＋P(甲获胜)＝＝.
答案：A
3．解析：乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.
答案：B
4．解析：因为A与B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.1＝0.3.
答案：0.3
导思
例1　解析：对任何一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.
(1)因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′＋D′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′＋C′，根据互斥事件的概率加法公式，得P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36.
跟踪训练1　解析：分别记小明的成绩在“90分(及90分)以上”“80分～89分”“70分～79分”“60分～69分”为事件A，B，C，D，这四个事件彼此互斥．
(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.
(2)方法一　小明数学考试及格的概率是P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.
方法二　小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.
例2　解析：记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.根据题意，知事件A1，A2，A3，A4彼此互斥．
(1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＝.
(2)方法一　“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＝.
方法二　“取出1球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1球为绿球”，即A1的对立事件为A4，所以“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.
跟踪训练2　解析：(1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在这次射击中，事件A与事件B不可能同时发生，故事件A与事件B是互斥事件，“射中10环或7环”的事件为A∪B所以P(A∪B＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.所以射中10环或7环的概率为0.49.
(2)“低于7环”从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环．但由于这些概率都未知，故不能直接求解．可考虑从反面入手．“低于7环”的反面是“大于或等于7环”，即7环，8环，9环，10环，由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件，故可用对立事件的方法处理．设“低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”．由(1)知“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥．
故P()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P()＝1－0.97＝0.03.所以射中的环数低于7环的概率为0.03.
例3　解析：(1)样本空间共有24个样本点，“红色不被选中”有6个样本点，∴“红色被选中”的概率为P＝1－＝.
(2)“第1部分是黑色”有6个样本点，“第2部分是红色”有6个样本点，“第1部分是黑色且第2部分是红色”有2个样本点，故“第1部分是黑色或第2部分是红色”概率为P(A∪B)＝＝.
跟踪训练3　解析：样本空间共有90个样本点，A＝“能被2整除”，B＝“能被3整除”，A＝“能被6整除”，且A中共在45个样本点，B中共有30个样本点，A中共有15个样本点，所以P(A∪B)＝＝.
[课时训练]
1．解析：由题意可知事件C表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件C是互斥事件，由互斥事件的概率加法公式可得P(A∪C)＝P(A)＋P(C)＝＝.
答案：C
2．解析：摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.
答案：C
3．解析：∵P(A)＝0.34，P(B)＝0.32，P(AB)＝0.31，
∴P(A∪B＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.34＋0.32－0.31＝0.35.
答案：C
4．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为＝.
答案：

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