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5．3　用频率估计概率
最新课程标准
结合实例，会用频率估计概率．
学科核心素养
1.了解频率与概率的区别，会用频率估计概率．(数学抽象、数据分析)
2．会用频率的稳定性解释生活中的实际问题．(数据分析，逻辑推理)
导学
教材要点
要点一　频率
1．设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件，在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称Fn(A)＝________________是n次独立重复试验中事件A发生的频率．
2．事件A发生的可能性愈大，频率Fn(A)也________；如果Fn(A)愈大，那么事件A发生的可能性也________．
要点二　频率与概率的关系
1．在相同的条件下，将一试验独立重复n次，Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，Fn(A)将向一个________的数值p靠近，这个数值p就可以看作事件A发生的概率P(A)，即Fn(A)是P(A)的估计．
2．频率与概率是两个不同的概念．频率与概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画；但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有稳定性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性．
状元随笔　频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化．(　　)
(2)某事件发生的频率随着试验次数的变化而变化．(　　)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　)
(4)随机事件发生的频率就是这个事件发生的概率．(　　)
2．已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(　　)
A．合格产品少于9件
B．合格产品多于9件
C．合格产品正好是9件
D．合格产品可能是9件
3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的(　　)
A．概率为 B．频率为
C．频率为8 D．概率接近于8
4．在一次数学考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的“80%”是指________．(填“频率”或“概率”)
导思
题型一　频率与概率的关系
例1　下列说法正确的是(　　)
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
总结
理解概率与频率应关注的三个方面
(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．
(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．
(3)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．
跟踪训练1　某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(　　)
A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
提醒二　利用频率估计概率
例2　李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：
成绩 人数
90分以上 43
80分～89分 182
70分～79分 260
60分～69分 90
50分～59分 62
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．
(1)90分以上；(2)60分～69分；(3)60分以上．
总结
1．根据频率求随机事件概率的步骤
(1)利用频率的计算公式Fn(A)＝，计算出频率值．
(2)根据概率的定义确定频率的稳定值即为概率．
2．求频率的稳定值的方法
根据频数和重复试验的次数计算频率，可直接观察频率稳定在哪个常数附近，用它来估计概率值，也可在坐标系内描出各点(横坐标为次数，纵坐标为频率)，观察频率值在哪个常数附近波动，则这个常数就可作为概率的近似值．
跟踪训练2　某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
题型三　利用频率代替概率
例3　为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．
总结
在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．
跟踪训练3　为了估计水库中的鱼的尾数，先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号(不影响其存活)，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出500尾鱼，其中有记号的鱼有40尾，试根据上述数据，估计这个水库里鱼的尾数．
易错辨析　混淆频率与概率的关系出错
例4　把一枚质地均匀的硬币连续掷了1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．
解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.
答案：0.5
易错点
易错原因 纠错心得
解本题时，很容易由fn(A)＝＝＝0.496，得掷一次硬币正面朝上的概率是0.496.导致以上错误的原因是混淆了概率与频率的概念，事实上频率是随机的，做同样的试验得到的事件的频率是不同的，如本题中的0.496是1 000次试验中硬币正面向上的频率，而概率是一个确定的常数，与试验次数无关． 随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并且趋于稳定，而概率是一个确定的常数，与试验的次数无关．
课时训练
1．总数为10万张的彩票，中奖率是，则下列说法中正确的是(　　)
A．买1张一定不中奖 B．买1 000张一定中奖
C．买2 000张一定中奖 D．买2 000张不一定中奖
2．某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，下列说法正确的是(　　)
A．如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人一定能治愈
B．2位病人中一定有1位能治愈
C．每位病人治愈的可能性是50%
D．所有病人中一定有一半的人能治愈
3．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)
A．0.4，0.4 B．0.5，0.5
C．0.4，0.5 D．0.5，0.4
4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上，设反面朝上为事件A，则事件A出现的频率为________．
5．某质检员从一大批种子中抽取若干批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
种子粒数 100 200 500 1 000 3 000 5 000
发芽种子粒数 79 156 405 790 2 400 4 100
发芽频率
(1)计算各批种子的发芽频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计种子发芽的概率．
5．3　用频率估计概率
导学
要点一
1.
2．愈大　愈大
要点二
1．固定
[练习]
1．答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．解析：根据概率意义知选D.
答案：D
3．解析：做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为.如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率．故＝为事件A的频率．
答案：B
4．解析：在一次数学考试中，某班学生的及格率是80%，这里所说的“80%”是指“频率”．只有经过很多次考试得到的及格率都是80%，才能说是概率．
答案：频率
导思
例1　解析：一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．
答案：D
跟踪训练1　解析：合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率．
答案：D
例2　解析：总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：≈0.067，≈0.282，≈0.403，≈0.140，≈0.096，≈0.012.用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：
(1)将“90分以上”记为事件A，则P(A)≈0.067；
(2)将“60分～69分”记为事件B，则P(B)≈0.140；
(3)将“60分以上”记为事件C，则P(C)≈0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.
跟踪训练2　解析：(1)表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.
例3　解析：设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，则P(A)＝.从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P(A)≈.由≈，解得n≈1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只．
跟踪训练3　解析：设水库里有x尾鱼，则＝，
解得x＝25 000.
因此，可以估计这个水库里约有25 000尾鱼．
[课时训练]
1．解析：中奖率是只是刻画了中奖的可能性，随机事件发生与否是随机的，概率不能决定是否发生，因此选项ABC说法都不正确；选项D说法正确．
答案：D
2．解析：某医院治疗一种疾病的治愈率为50%，如果第1位病人没有治愈，那么第2位病人治愈的概率为50%，故A错误；2位病人中每个人治愈的可能性都是50%，或两人都能治愈，或有1位能治愈，或都不能治愈，故B错误；每位病人治愈的可能性是50%，故C正确；所有病人中每个人治愈的可能性都是50%，但所有病人中不一定有一半的人能治愈，故D错误．
答案：C
3．解析：100次试验中有40次正面朝上，所以正面朝上的频率为＝0.4，因为硬币质地均匀，所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.
答案：C
4．解析：＝0.52.
答案：0.52
5．解析：(1)发芽频率从左到右依次为：0.79，0.78，0.81，0.79，0.80，0.82.
(2)由(1)知，发芽频率逐渐稳定在0.80，因此可以估计种子发芽的概率为0.80.

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