资源简介

5．4　随机事件的独立性
最新课程标准
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．
2．结合古典概型，利用独立性计算概率．
学科核心素养
1.会对事件的独立性进行判断．(逻辑推理)
2．利用相互独立事件的性质及概率公式，会求相互独立事件同时发生的概率．(逻辑推理、数学运算)
导学
教材要点
要点一　相互独立事件的概念
设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．
状元随笔　(1)必然事件Ω和不可能事件 都与任何事件独立．
(2)事件A，B相互独立，即事件A是否发生对事件B发生没有影响，且事件B是否发生对事件A发生也没有影响．
要点二　相互独立事件的概率
若事件A，B独立，则P(A∩B＝________．
状元随笔　(1)若事件A，B相互独立，则A与与B，与也相互独立．
(2)注意相互独立事件与互斥事件的区别．
练习
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．(　　)
(2)必然事件与任何一个事件相互独立．(　　)
(3)若两个事件互斥，则这两个事件相互独立．(　　)
(4)“P(A∩B＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．(　　)
2．一个不透明的口袋中有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是(　　)
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
3．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一目标，则他们都中靶的概率是(　　)
A． B． C． D．
4．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
导思
题型一　相互独立事件的判断
例1　(多选)下列各对事件中，为相互独立事件的是(　　)
A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”
B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”
C.袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”
D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”
总结
判断两个事件是否相互独立的方法
(1)定量法：利用P(A∩B＝P(A)P(B)是否成立可以准确地判断两个事件是否相互独立．
(2)定性法：直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件．
跟踪训练1　已知事件A，B，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是(　　)
A．如果B A，那么P(A∩B＝0.2，P(AB)＝0.5
B．如果A与B互斥，那么P(A∩B＝0.7，P(AB)＝0
C．如果A与B相互独立，那么P(A∩B＝0.7，P(AB)＝0
D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.4，P(A)＝0.4
题型二　相互独立事件概率的计算
例2　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．
总结
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积．
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
跟踪训练2　甲、乙两人组队参加答题竞赛，每轮比赛由甲、乙各答一道题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
求：(1)甲，乙在两轮比赛中分别答对1道题和2道题的概率；
(2)该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率．
题型三　相互独立事件的综合应用
例3　为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识挑战赛．每位选手挑战时，主持人用电脑出题的方式，从题库中随机出3道题，编号为T1，T2，T3，电脑依次出题，选手按规则作答，挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分；
②选手若答对第Ti题，则继续作答第Ti＋1题；选手若答错第Ti题，则失去第Ti＋1题的答题机会，从第Ti＋2题开始继续答题；直到3道题目出完，挑战结束；
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
(1)挑战结束时，选手甲共答对2道题的概率P1；
(2)挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率P2；
(3)选手甲闯关成功的概率P3.
总结
求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
跟踪训练3　为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
易错辨析　混淆互斥事件和独立事件的概念
例4　甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
解析：记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，则P(AB)＝P(A)P(B)＝×0.2×3×0.72×0.3≈0.169.
易错点
易错原因 纠错心得
错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和． 首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式．A，B为互斥事件时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事件时，有概率公式为P(A∩B)＝P(A)P(B).
课时训练
1．(多选)下面结论正确的是(　　)
A．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B是互为对立事件
B．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是(　　)
A． B． C． D．
3．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　)
A．0.12 B．0.42 C．0.46 D．0.88
4．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为，则密码被成功破译的概率为________．
5．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：
(1)第3次拨号才接通电话；
(2)拨号不超过3次而接通电话．
5．4　随机事件的独立性
导学
要点一
P(A)P(B)
要点二
P(A)P(B)
[练习]
1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2．解析：事件A1是否发生对事件A2发生的概率没有影响，故A1与A2是相互独立事件．
答案：A
3．解析：设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，根据题意知，P(A)＝＝，P(B)＝，且A与B相互独立，故他们都命中目标的概率为P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝＝.
答案：A
4．解析：设A1，A2，A3分别表示在A，B，C三处不停车，由题意可知，A1，A2，A3相互独立，且P(A1)，P(A2)，P(A3)分别为.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝＝.
答案：
导思
例1　解析：样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件M＝{2，4，6}，事件N＝{3，6}，事件M∩N＝{6}，∴P(M)＝＝，P(N)＝＝，P(M∩N)＝＝，即P(M∩N)＝P(M)P(N)，故事件M与N相互独立，A正确；根据事件的特点易知，事件M是否发生对事件N发生的概率没有影响，故M与N是相互独立事件，B正确；由于第1次摸到球不放回，因此会对第2次摸到球的概率产生影响，因此不是相互独立事件，C错误；从甲组中选出1名男生与从乙组中选出1名女生这两个事件的发生没有影响，所以它们是相互独立事件，D正确．
答案：ABD
跟踪训练1　解析：如果B A，那么P(A∪B)＝0.5，P(AB)＝0.2，故A选项错误；如果A与B互斥，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0，故B选项正确；如果A与B相互独立，那么P(A∪B)＝0.7，P(AB)＝0.1，故C选项错误；如果A与B相互独立，那么P()＝P()·P()＝0.4，P(A)＝P(A)·P()＝0.4，故D选项正确．
答案：BD
例2　解析：(1)记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与与B，与都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝A∩B所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝所以P(D)＝P(＝P()·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
跟踪训练2　解析：(1)设A1，A2分别表示甲两轮答对1道题，2道题的事件，B1，B2分别表示乙两轮答对1道题，2道题的事件，依题意得：
P(A1)＝2··＝，P(A2)＝＝，
P(B1)＝2··＝，P(B2)＝2＝；
(2)设A＝“两轮比赛队伍答对3道题”，则A＝A1且A1与A2互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，所以P(A)＝P(A1∩B2)+P(A2 ∩B1)＝P(A1)P(B2)＋P(A2)P(B1)＝··＝.因此，该队伍在两轮比赛中答对3道题的概率是.
例3　解析：设Ai为选手答对Ti题，其中i＝1，2，3.
(1)设挑战结束后，选手甲共答对2道题为事件A，选手甲共答对2道即选手甲前2题答对且第3题答错，所以A＝A1，所以，由事件独立性的定义得P1＝P(A)＝P(A1)＝P(A1)P(A2)P()＝×(1－)＝.
(2)设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件B，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第1题答错或第一题答对且第2题答错，所以B＝由概率的加法公式和事件独立性的定义得P2＝P(B)＝P[)]＝P()＋P(A1)＝＝.
(3)设选手甲挑战成功为事件C，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2题或3道题所以“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，所以C＝.根据对立事件的性质得P3＝P(C)＝P()＝1－P(B)＝1－＝.
跟踪训练3　解析：(1)设A1＝“甲在第一轮比赛中胜出”，A2＝“甲在第二轮比赛中胜出”，B1＝“乙在第一轮比赛中胜出”，B2＝“乙在第二轮比赛中胜出”，则
A1＝“甲赢得比赛”，P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝＝.
B1＝“乙赢得比赛”，P(B1∩B2)＝P(B1)P(B2)＝＝.
因为>，所以派甲参赛获胜的概率更大．
(2)由(1)知，设C＝“甲赢得比赛”，D＝“乙贏得比赛”，
则P()＝1－P(A1∩A2)＝1－＝；
P()＝1－P(B1∩B2)＝1－＝.
于是C∪D＝“两人中至少有一人赢得比赛”
P(C∪D)＝1－P()＝1－P()P()＝1－＝.
[课时训练]
1．解析：要使A，B为对立事件，除P(A)＋P(B)＝1还需满足P(AB)＝0，也即A，B不能同时发生，所以A选项错误；若A包含于，则A与不是互斥事件，所以C选项错误；根据相互独立事件的知识可知，B，D选项正确．
答案：BD
2．解析：两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件A为两班派出的都是三好学生，则P(A＝P(A)P(B)＝＝.
答案：C
3．解析：设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，则两人至少有一人被录取的概率P＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.4×0.3＝0.88.
答案：D
4．解析：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率P1＝＝，故该密码被成功破译的概率P2＝1－P1＝1－＝.
答案：
5．解析：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3.
(1)第3次才接通电话可表示为，A3，于是所求概率为P(＝＝.
(2)拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋于是所求概率为P(A1＋∩A2 ∩A3)＝P(A1)＋P(∩A2)＝＝.

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