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第五章　概率 章末复习课
考点一　互斥事件、对立事件与相互独立事件
1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．
2．若事件A，B满足P(A∩B＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与与B，与也独立．
3．通过对互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(多选)假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件A＝“家庭中没有女孩”，B＝“家庭中最多有一个女孩”，C＝“家庭中至少有两个女孩”，D＝“家庭中既有男孩又有女孩”，则(　　)
A．A与C互斥
B．A∪D＝B
C．B与C对立
D．B与D相互独立
跟踪训练1　(多选)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件M＝“第一枚硬币正面朝上”，事件N＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法中正确的是(　　)
A．M与N是互斥事件
B．M与N是对立事件
C．P(M)＝P(N)
D．M与N是相互独立事件
考点二　古典概型
1．古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m.
2．通过对古典概型的概率公式及其应用的考查，提升学生的数学抽象和数据分析数学素养．
例2　某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为24，16，8，现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，采用分层抽样的方法从中抽取6人进行前期调查．
(1)求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？
(2)若所抽取的6人的血样中恰有2人呈阳性，4人呈阴性，现从这6人的血样中再随机抽取2人的血样作进一步检查，求至少有1人的血样呈阳性的概率．
跟踪训练2　某中学调查了某班全班45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．
考点三　相互独立事件概率
1．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．
2．通过对相互独立事件的概率的考查，提升学生的数学抽象和逻辑推理数学素养．
例3　某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是.若各家庭回答是否正确互不影响．
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
跟踪训练3　甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．
(1)求甲第二次答题通过面试的概率；
(2)求乙最终通过面试的概率；
(3)求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
考点四　频率与概率
1．通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．通过对频率与概率的考查，提升学生的数学抽象和数学运算素养．
例4　随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任选一天，估计西安市在该天不下雨的概率；
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
跟踪训练4　电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)
专项培优⑤　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件A＝{(男，男，男)}，事件B＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
事件C＝{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件D＝{男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
显然A与C无公共元素，即A与C互斥，A正确；(女，女，男)∈A而(女，女，男) B，即A不正确；显然B＝Ω，且B＝ ，即B与C对立，C正确；事件B有4个样本点，事件D有6个样本点，事件B有3个样本点，于是有P(B)＝＝，P(D)＝＝，P(B＝，显然有P(B)·P(D)＝P(B即B与D相互独立，D正确．
答案：ACD
跟踪训练1　解析：由事件M＝“第一枚硬币正面朝上”，事件N＝“第二枚硬币反面朝上”，可知两事件互不影响，即M与N相互独立，易得P(M)＝，P(N)＝，所以P(M∪N＝P(M)＋P(N)＝1，且P(M)＝P(N)，综上，选项C和选项D正确．
答案：CD
例2　解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶1，由于采用分层抽样的方法从中抽取6人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，1人．该企业总共有24＋16＋8＝48名员工，记事件A：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，所以每一位员工被抽到的概率为P(A)＝＝.
(2)记事件B：“至少有1人的血样呈阳性”
记其中呈阳性的2人的血样分别为a，b，呈阴性的4人的血样分别为c，d，e，f，则从6人的血样中随机抽取2人的血样的所有可能结果有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，其中至少有1人的血样呈阳性的结果有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共9种，
故至少有1人的血样呈阳性的概率为P(B)＝＝.
跟踪训练2　解析：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，A5B1，A5B2，A5B3}，共含15个样本点．根据题意这些样本点出现的可能性相等．
事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有A1B2，A1B3，共2个．
所以其概率为P＝.
例3　解析：(1)记“甲回答对这道题”、“乙回答对这道题”、“丙回答对这道题”分别为事件A、B、C，
则P(A)＝，且有，
即，
解得P(B)＝，P(C)＝.
(2)有0个家庭回答正确的概率为P0＝P()＝P()P()P()＝＝，
有1个家庭回答正确的概率为P1＝P(A＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝＝，
所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为P＝1－P0－P1＝1－＝.
跟踪训练3　解析：(1)设甲第二次答题通过面试为事件A，则P(A)＝＝.
(2)设乙最终通过面试为事件B，对立事件为乙最终没通过面试，
∵P()＝＝，
∴P(B)＝1－＝.
(3)设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，
∵P()＝＝，
∴P(C)＝1－＝.
例4　解析：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，在4月份任选一天，西安市不下雨的概率是.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14对，所以晴天的次日不下雨的频率为，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为.
跟踪训练4　解析：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为＝0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372.
故所求概率估计为1－＝0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．

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