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第二十二章 二次函数--二次函数与一元二次方程重点题型梳理
专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
六、已知二次函数图象与x轴的交点情况求参数
25．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知二次函数．
(1)若该函数图象与轴有两个不同交点，求范围．
(2)若，求当时，该函数的范围．
26．（24-25九年级上·广东汕头·期末）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，求的值．
27．（2025·浙江绍兴·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移m个单位，若平移后的抛物线过点，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值．
(2)已知点在抛物线上，且，求n的取值范围．
七、二次函数的性质与推理问题
28．（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线（是常数，）与轴相交于点．
(1)若抛物线经过点，求的值；
(2)已知，若，有最大值9，求的值；
(3)①求点坐标；
②已知，若抛物线经过，和，且，求的取值范围．
29．（24-25九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．
(1)当时，
①直接写出b与a满足的数量关系；
②m与n的大小关系是：m_______n．（填“＞”，“＜”或“＝”）
(2)已知点在抛物线上，若对于，都有，求t的取值范围．
八、二次函数与函数值的最值或范围问题
30．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知二次函数 (a，b，c是常数，)，其中两个变量x与y的部分对应值如下表所示：
x … m 1 …
y … 0 0 …
(1)则 ；
(2)求该二次函数的表达式；
(3)当时，则y的取值范围是 ．
31．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数，经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知点，，连结，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，请直接写出n的值，不必说明理由．
九、构造的新函数图象探究问题
32．（24-25九年级上·云南昆明·期中）九年级“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x的取值范围是全体实效，x与y的几组对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 m 0 0 3 …
其中，______；
(2)根据表中数据，在如图的平面直角坐标系中描点．并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3)进一步观察探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程有______个实数根；
②方程有______个实数根；
③关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是______．
33．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）小亮同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表，描点，连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：_______；
②方程的解为：_______；
③若方程有四个实数根，则的取值范围是_______．
(2)延伸思考：
将函数的图象经过平移可得到函数的图象，画出平移后的大致图象，并写出平移过程，再通过图象直接写出当时，自变量的取值范围．
答案
六、已知二次函数图象与x轴的交点情况求参数
25． （1）解：∵二次函数与轴有两个不同交点，
∴，
解得；
（2）解：依题意，把代入，
得，
∴对称轴为直线，
∵，
∴开口向上，
在对称轴处，有最小值，即，
把代入，
把代入，
∴当时，该函数的范围为．
解：抛物线经过不同两点，，
抛物线对称轴为直线，
即，整理得，
该二次函数的图象与x轴有公共点
∴
，
∵，
∴，
，，
．
（1）解：①∵，
∴，
∴抛物线的顶点坐标为．
②将抛物线向下平移m个单位，所得抛物线为，
将代入，得，
∴，
∴．
设平移后抛物线与x轴的两个交点坐标为，，
∴，．
∵平移后抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∴．
（2）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
将，代入，
得，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴n的取值范围为．
七、二次函数的性质与推理问题
28． （1）解：将点代入，
得，
解得，
∴的值分别为；
（2）解：∵，
，
∴抛物线为，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，，
∴当时，为最大值，
即，解得；
②当时，抛物线开口向下，
∴当时，为最大值，
即，解得；
综上所述，或
（3）解：①∵抛物线，
当时，，则点坐标为；
②∵，均在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线经过，，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴．
29． （1）解：（1）①由题意，∵，
∴．
②∵抛物线中，，
∴抛物线开口向上，
∵点，点在抛物线上，对称轴为直线，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴．
故答案为：>．
（2）由题意，∵抛物线的对称轴是直线，且抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大．
∵，
∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
∵，都有，
∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，
∴ ，
∴．
∴t的取值范围是．
八、二次函数与函数值的最值或范围问题
（1）解：∵抛物线经过点和，
∴抛物线的对称轴为直线
∴当和 时，即
故答案为：；
（2）解：设抛物线解析式为把代入得，解得，
∴抛物线解析式为即；
（3）解：，
∴当时，有最小值，最小值为
∵当时，；当时，；
∴当时，则的取值范围是
故答案为：．
（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线，
∴，，
∴，，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，，将向上平移5个单位长度，向右平移个单位长度后，
∴点，的对应点坐标为，
由（1）知二次函数的表达式为，
令，
解得：，
令，
解得：，
如图：当点经过点时，恰好与的图象有交点，
则；
如图，当点经过点时，恰好与的图象有交点，
则；
综上，时，恰好与的图象有交点；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，且，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
①当时，即时，
二次函数的最大值为，最小值为，
∴，
∴(不合题意，舍去)；
②当时，
二次函数的最大值为，最小值为，或最大值为，
∴或，
∴或(不合题意，舍去)；或(不合题意，舍去)；
当时，
二次函数的最小值为，最大值为，
∴，
∴(不合题意，舍去)；
综上，n的值为．
九、构造的新函数图象探究问题
32． （1）解：把代入函数解析式可得：，
所以．
故答案为：0；
（2）解：如图所示：
（3）解：①由函数图象知，函数图象与轴有3个交点，
所以方程有3个实数根；
②如图：
函数图象与直线有2个交点，
所以有2个实数根；
③由函数图象可知，关于的方程有4个实数根，
则直线在直线和轴之间，
所以．
故答案为：①3，3；②2；③．
33． （1）解：①由图象可得：关于轴对称；函数有最大值为0等；（答案不唯一）．
②由图象可得：或；
③由图象可得：当时，方程有四个实数根，
故答案为：①关于轴对称（答案不唯一）；②或；③；
（2）解：图象如图所示，
平移过程为：将函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数的图象，
由图象可得：当时，
自变量的取值范围为且．
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