资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二十二章 二次函数--二次函数与一元二次方程重点题型梳理 专题练（一） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、二次函数与坐标轴的交点问题
1．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线与x轴的两个交点分别为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
2．（22-23九年级上·上海普陀·期中）如果抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交点的坐标是，那么它与x轴的一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣6，0） B．（﹣4，0） C．（﹣2，0） D．（4，0）
3．（24-25九年级上·山东德州·期中）二次函数的解析式为与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是
4．（21-22九年级上·浙江丽水·期中）已知二次函数．
（1）求抛物线开口方向及对称轴．
（2）写出抛物线与y轴的交点坐标．
5．（22-23九年级上·广西河池·期中）若函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
6．（24-25九年级上·广东中山·期中）已知抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ．
7．（河南许昌·一模）已知抛物线与x轴只有一个交点，则 ．
8．（22-23九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若二次函数的图象与x轴只有一个交点，求b的值．
二、二次函数的图象与一元二次方程的解
9．（24-25九年级上·天津北辰·期中）已知函数的图象如图所示，那么方程的解是（ ）
A．， B．，0 C．，0 D．3，0
10．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）　　
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
11．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，已知抛物线与直线相交于，两点，则关于的方程的解为 ．
12．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则方程较小的根是 ．
13．（24-25九年级上·广西河池·期中）函数的图象如图所示，结合图象回答下列问题：

(1)方程的两个根为 ；
(2)当时，则x的取值范围为 ；当时，则变量y的取值范围为 ；
(3)若方程有实数根，则k的取值范围是 ．
三、判断一元二次方程的解的近似值
14．（24-25九年级上·山东潍坊·期末）已知二次函数（，，为常数），下表给出了自变量与函数值的部分对应值．
2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
3.96 4.25 4.56 4.89 5.24
根据表格，可以估计方程的近似解是（ ）
A．和2.55 B．1.45和2.55
C．1.25和2.75 D．和2.75
15．（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知二次函数的变量的部分对应值如表：
… 0 1 …
… 13 6 1 …
根据表中信息，可得一元二次方程的一个近似解的范围是 ．
16．（23-24九年级上·全国·课后作业）利用二次函数的图象求一元二次方程的实数根．（精确到0.1）
四、根据二次函数的图象写出不等式的解集
17．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，若二次函数图象的对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，点则当时，x的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
18．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图是二次函数的图象，使成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
19．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集为 ．
20．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集 ．
21．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于和两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点的直线与抛物线在第一象限交于点，若点的横坐标为4，请直接写出当时，的取值范围是_______．
五、二次函数的图象与系数的关系
22．（2025·湖北十堰·模拟预测）抛物线（a为常数且），过点，且，下列结论：①；②；③；④若关于x的方程有实数根，则．其中正确的结论有（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．②④
23．（2025·青海·三模）如图是抛物线图象的一部分，其顶点坐标为，与x轴的一个交点为，直线与抛物线交于A，B两点，下列结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④不等式的解集为；⑤方程有两个相等的实数根；其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图为二次函数（）的图象，图象与轴的交点为和，对称轴是直线，则下列说法正确的有（ ）
①；②；③；④；⑤（常数）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案
一、二次函数与坐标轴的交点问题
1． 解：令，
即，
解得一元二次方程的根为：，；
则抛物线与x轴的两个交点分别为和；
故答案选：A．
解： 抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与x轴另一交点的横坐标为 ，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为 ，
故选：C
解：∵，
当时，，解得：
当时，，
∴二次函数与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是．
故答案为：，．
（1）∵，
∴抛物线开口向上，
∵=，
∴对称轴是直线；
（2）∵，
∴，
∴与y轴交点坐标是．
解：函数的图象与轴有两个交点，
令，则，
∴，
解得，
故答案为：．
解：抛物线与轴没有交点，
∴，
解得，
的取值范围是．
故答案为：．
解：当时，，
由题意得，，
解得：，
故答案为：1．
8． 解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴．
解得：或-3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当时，二次函数的图象与x轴没有交点．
二、二次函数的图象与一元二次方程的解
9． 解：∵二次函数的图象与x轴的交点的横坐标为与，
∴的两根为：，．
故选：A．
解：一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线x轴的交点的横坐标，
结合图像，可知二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
解：根据题意，关于的方程的解为，
故答案为： ．
解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，
当或时，，
方程的解为，，
方程较小的根是，
故答案为：．
（1）解：由图象可得：方程的两个根为．
故答案为：；
（2）解：由图象可得：当时，则的取值范围为，
∵，
∴当时，，
∴当时，自变量的取值范．
故答案为：；；
（3）解：由图象可得：若方程有实数根，取值范围是．
故答案为：．
三、判断一元二次方程的解的近似值
14． 解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴观察表格可知，当时，在和之间，
根据二次函数的对称性可知，当时，还在和之间，
故选：D．
15． 解：根据表格中的数据可知：当时，且当时，
一元二次方程的一个近似解的范围是
故答案为：．
解：方程的根是函数的图象与轴的公共点的横坐标．
作出二次函数的图象（如图）．

由图象可知方程有两个根，一个根在和0之间，另一个根在2和3之间．先求和0之间的根．
当时，；
当时，．
因此，是方程的一个近似根．
同理，2.4是方程的另一个近似根．
综上，方程的实数根为（根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1均可）．
四、根据二次函数的图象写出不等式的解集
17． 解：二次函数对称轴为直线，与轴交点为，
∴根据二次函数的对称性，可得到图象与轴的另一个交点坐标为，
又函数开口向下，x轴上方部分，
．
故选：B．
18． 解：根据函数图象可知，当时，，，
结合函数图象可知，当成立的的取值范围是或．
故选：C．
解：根据函数图象可得直线在抛物线上方时，，
即的解集为，
故答案为：．
解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或；
故答案为：或．
（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：观察图象可知当或时，当，
故答案为：或．
五、二次函数的图象与系数的关系
解：①∵抛物线（a为常数且），过点，
∴抛物线可表示为，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，结论①错误；
②将代入，得
∵，
∴，
∵，
∴，结论②正确；
③∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，结论③错误；
④∵
∴
∴
∴
∴
∵，
∵，结论④正确．
综上，正确结论为②④，
故选：D．
∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线交轴于负半轴，
∴，
∵对称轴在轴右边，
∴，
∴，
∴，故错误，
∵顶点坐标为，
∴，
∴，故②正确；
∵，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点是，故错误，
由题意：图象与直线交于，两点，
∴当时，即不等式的解集为，故④正确，
∵抛物线 图象与直线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，故⑤正确，
故选C．
24． 解：由题意，∵抛物线开口向下，图象与轴交于正半轴，
∴，．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴．
∴，，故①②说法正确；
由图象可得，当时，，故③说法错误；
∵抛物线过，
∴当时，．
又∵，
∴，故④说法错误；
∵抛物线开口向下，对称轴是直线，
∴当时，取最大值为，
∴当时，，
∴，即，故⑤说法正确．
正确的有①②⑤，共个．
故选：B．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑