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第二十二章 二次函数--二次函数y=ax +bx+c的图象和性质重点题型梳理 专题练（二） 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29．（24-25九年级下·安徽池州·期中）抛物线经过点．
（1）若，则该抛物线的对称轴是直线 ．
（2）若对于，都有，则的取值范围是 ．
30．（2025·江苏扬州·二模）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：则 ．（填“>”“<”或“=”）
… 1 3 …
… …
31．（2025·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的表达式为，其中．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式；
(2)若为此二次函数图象上不同的两个点，当时，，求m的值；
(3)若点在此二次函数图象上，当时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．
32．（24-25九年级上·天津红桥·期末）当时，二次函数的最大值为 ．
33．（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数
(1)若该二次函数图象过点，求a的值．
(2)请直接写出此抛物线的对称轴．
(3)当时，y的最大值是6，求a的值．
34．（2025·山东聊城·三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若抛物线对称轴为直线，求顶点坐标；
(2)已知，是抛物线上两点，当且时．都有，求m的取值范围；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求m的值．
二、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35．（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，点，，在抛物线上．
(1)判断此抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；
(2)已知对于，，，总有，求的取值范围．
36．（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数的顶点横坐标比二次函数（a为常数）的顶点横坐标大1．
(1)求a的值；
(2)二次函数（a为常数）的图象是否可以由平移得到？如果可以，请说出平移方案；如果不可以，请说明理由．
(3)设点在抛物线上，点在抛物线上．若，且，，求n的值；
三、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37．（2025·陕西榆林·三模）冬暖夏凉的黄土窑洞藏着四千年的智慧，高窗与厚土交织出天人合一的居住哲学．如图1所示的窑洞，其下部近似为矩形（图2），上部近似为一条抛物线．已知米，米，窑洞的最高点P（抛物线的顶点）离地面的距离为4米．以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若在窑洞的上部安装两根窗框、，点D、E在矩形的边上，点F、G在抛物线上，点D与点E恰好是的三等分点（点D在点E的左侧），求这两根窗框的总长度．
38．（23-24九年级上·河南新乡·期末）如图，这是一位篮球运动员投篮的进球路线，球沿抛物线运动，然后准确落入篮球框内．已知投篮运动员在投篮处A到地面的距离m．以O为坐标原点，建立平面直角坐标系，篮球框的中心D的坐标为，对称轴与抛物线交于点B，与x轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式，
(2)求点O到所在直线的距离及点B到地面的距离．
四、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39．（24-25九年级下·福建漳州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交抛物线对称轴于点，为轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直线，分别交对称轴于点，，当点，均在点的下方时，求证：为定值．
40．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）如图，抛物线的图象交直线于，两点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
(1)求拋物线的解析式；
(2)连接，，求的面积；
(3)抛物线的对称轴上是否存在一动点E，使的值最小，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点E的坐标．
综合练
41．（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ．
42．（2025·安徽宿州·模拟预测）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)点P在直线上方的抛物线上，轴，交直线于点D，求线段的最大值．
(3)抛物线上是否存在一点Q，使得的面积等于3？若存在，求出点Q的横坐标q的值；若不存在，请说明理由．
43．（24-25九年级下·安徽池州·期中）已知二次函数．
(1)若二次函数的图象与x轴交于点，求二次函数图象与x轴的另外一个交点的坐标．
(2)若当自变量x取任意实数时，总有对应的函数值，求m的取值范围（用含有b的式子表示）．
(3)当时，，求和的值及的取值范围．
答案
一、二次函数y=ax +bx+c的函数值范围及最值问题
29． 解：（1）当时，，
若，则抛物线过点，，
该抛物线的对称轴是直线，
故答案为：1；
（2）抛物线经过点，，，，
，
，
，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，此时抛物线开口向上，
当时，随着的增大而增大，
对于，，都有，
，
，不合题意，舍去；
②当时，抛物线开口向下，对称轴为直线，
关于对称轴的对称点为，
对于，，都有，
，
解得，
综上，当时，都有．
故答案为：．
解：如图，根据点，，画出二次函数大致图像，
根据抛物线的对称性得对称轴为，
∴点距离对称轴个单位，
点距离对称轴个单位，
∵，
∴．
故答案为：．
（1）解：把点代入到二次函数的表达式中，
得
化简得：，
依题意联立方程组：，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线，
∵，
∴，
∴．
∵，
说明关于对称轴对称，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：∵点在此二次函数图象上，
∴，对称轴，
∵，
∴
∴，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴且，
∴
∴
解得：，
∴
∵
∴．
解：∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵，，，
∴当时，二次函数，此时最大，
故答案为：10．
33． （1）解：把，代入，得：，
解得：；
（2）由题意，对称轴为直线；
（3）当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数有最大值为，
解得：；
当时，
∵，对称轴为直线，
∴当时，函数值最大，即：，
解得：；
综上：或．
34． （1）解：∵对称轴为直线，
，
，
∴顶点坐标为；
（2）解：，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∵点为函数图象上任意两点，
若对于，且，都有，
又，即的中点在右侧，
∵离对称轴越近，函数值越小，
即．
（3）解：①当时，即时，如图，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
（舍去）．
②如图，当且时，时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
，（舍去）．
③如图，当且时，即时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
，（舍去）．
④如图，当时，即时，
当时，函数有最大值：，
当时，函数有最小值：，
，
（舍去）．
综上所述：或．
二、二次函数y=ax +bx+c的推理计算与证明问题
35． （1）解：此抛物线与x轴的交点个数为两个，理由如下：
∵抛物线，
∴，
∴此抛物线与x轴的交点个数为两个；
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
当时，
∵对于，，总有，
∴如图所示：
∴由图可得：，
解得，
当时，可以取到，此时，与题意矛盾，舍去；
∵，
∴为关于的二次函数，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，．
（1）解：∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数，
∴顶点坐标为，
∵二次函数的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，二次函数分别为，，
∴二次函数的图象可以由向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度得到．
（3）解：∵点在抛物线上，
∴，
∵，，
∴，
∴，
整理，得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、二次函数y=ax +bx+c与实际问题
37． （1）由题意知，顶点P的坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）由题意知，，
，
当时，，
由对称性可知，
，
故这两根窗框的总长度为米．
38． （1）解：，
点，
．
将点代入，
解得，
抛物线的表达式为．
（2）解：抛物线的表达式为，
对称轴为直线，
点O到所在直线的距离为m．
当时，，
点B到地面的距离为m．
四、二次函数y=ax +bx+c与几何压轴问题
39． （1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
抛物线的函数表达式为；
（2）证明：，当时，，
，
∴设直线的解析式为，
把点代入，得：，
∴直线的函数表达式为，
抛物线对称轴交直线于点，对称轴为直线，
当时，，
，
如图，设点，
，
设直线的函数表达式为，
将点的坐标代入，得，则，
直线的函数表达式为，
当时，，
，
．
同理可得，直线的函数表达式为，
当时，，
，
，
．
为定值．
（1）解：把点代入得：
，
解得：，
∴点，
把点代入，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线与y轴的交点为点H，
对于，
当时，，
∴直线与y轴的交点坐标为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
对于，当时，，
∴点D的坐标为，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在，
由函数的对称性知，点B、D关于抛物线的对称轴对称，设交抛物线对称轴于点E，则点E为所求点，此时的值最小，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点A关于对称轴的对称点为点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得：，
∴点E的坐标为．
综合练
解：二次函数，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
当时，函数值最小，，
二次函数，
抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小，
，
当时，函数值最小，，
，
故答案为：．
（1）解：∵抛物线对称轴为直线，即，
∴，
∵抛物线与y轴交于点，
∴，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：令，解得或，
∵，
∴，，
如图1，
设直线的函数表达式为，
∵直线经过点，，
∴
解得，
∴直线的函数表达式为，
由（1）得抛物线的函数表达式为，
设，则，
∴，
∵，
∴线段有最大值为．
（3）解：如图2，作轴交BC于点E，
设直线的函数表达式为，
∵直线经过点，，
∴，
解得
∴直线的函数表达式为，
设，
令，解得，
则，
∴，
∴的面积，
∵的面积等于3，
∴，解得或．
43．（ （1）解：将代入，得，
∴，
∴二次函数解析式为，
当时，，解得，
二次函数的图象与轴的另外一个交点的坐标为．
（2）解：，
当时，取最小值，最小值为．
取任意实数，总有，
．
（3）解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线．
又当时，，
当抛物线过点和时，总有，即的最小值，
，
∴，
．
当时，，
当时，的最小值为，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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