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全等三角形--全等三角形中动点与新定义型问题重点题型梳理
专题练 2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题
1.如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（ ）秒时，与全等．
A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12
2.如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等．
3.如图，，垂足为点，米，米，射线，垂足为点，动点从点出发以2米/秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过 秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等．
二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题
4．如图，在长方形中，，，延长至点使，连接，动点从点出发，以每秒的速度沿折线运动．当点运动 秒时，和全等．
5．如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等．
6．在中，，，，，动点P从点A出发，沿运动，回到点A停止，速度为．
（1）如图1，当点P到，的距离与相等时， ；
（2）如图2，在中，，，，．在中，若另外有一个动点Q与点P同时出发，从点A沿着运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，则点Q的运动速度为 ．
三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题
7．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）

A． B． C． D．
8.如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ．
9.如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ．
四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题
10．如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．证明：为的平分线．
11．如图，在中，，点是线段上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)求证：；
(2)设，．当点在线段上，时，请你探究写出与之间的数量关系是多少？
12．在中，，，是直线上的一个动点，连接，过点作的垂线，垂足为点，过点作的平行线交直线于点．
(1)基础探究：如图1，当点为的中点时，请直接写出线段与的数量关系．
(2)能力提升：如图2，当点在线段上（不与重合）时，探究线段，，之间的数量关系（要求：写出发现的结论，并说明理由）．
(3)拓展探究：如图3，当点在线段或者的延长线上运动时，分别画出图形并直接写出线段，，之间的数量关系．
五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题
13.新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形．
【初步尝试】
（1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长；
【理解运用】
（2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长．
【综合应用】
（3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由．
14.定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”．
(1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°．
(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形．
15.【阅读理解】
定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”．
【迁移运用】
(1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______；
(2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______；
(3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：．
答案
一、利用全等三角形的性质求时间的多解问题
1. 解：①如图1，Q在上，点P在上时，作，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
则，
即，
解得：；
②如图2，当点P与点Q重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
当，
则，
∴，
解得：；
③如图3，当点Q与A重合时，
由题意得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
当，
则，
即，
解得：；
当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等，
故选D．
解：由题意得：，
若，
根据证得，
，即，
若，
根据证得，
，即．
当t的值为1或7秒时．与全等．
故答案为：1或7．
解：当点在线段上，时，，
，
，
，
点的运动时间为（秒）；
当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为（秒）；
当在线段上，时，此时在点未动，时间为秒，不符合题意；
当在上，时，，
，
，
，
点的运动时间为（秒）；
综上所述，当点经过秒或秒或秒时（不包括0秒），由点组成的三角形与全等，
故答案为：秒或秒或．
二、利用全等三角形的性质求速度的多解问题
4． 解：①点在上时，如图，
，
，
运动秒；
②点在上时，如图，
，
，
，
的运动路程为：
，
，
运动秒；
运动或秒；
故答案为：或．
5． 解：①当，时，，
，
，
，
，解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
，
，
，解得：，
，
，
解得：，
综上所述，当或时，与全等，
故答案为：2或．
解：（1）连接，如图所示：
∵点P到，的距离与相等，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：3．
（2）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴运动时间为。
则，
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴运动时间为，
则，
解得：；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴此时运动时间为，
则，
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴此时运动时间为，
则，
解得；
∴运动的速度为或或或．
故答案为：或或或．
三、利用全等三角形的性质求动点中的最值问题
7． 解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，

∵平分，
∴，
∵，，
∴，同理，
∴，，，
∴，即：，在上时最小．
是的角平分线，
，
∵，
，则，
．
故选C．
8. 解：过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，
∵平分，，，
∴，
∴，
即当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．
∵的面积为12，最长边，
∴，即，
∴
即的最小值为3．
故答案为：3．
解：点D到的距离等于的长，
∴是的平分线，
过点作交于点，再过点作交于点，
∴，
∵，
∴此时有最小值，
∵中，，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
四、利用全等三角形的性质解决动点综合问题
10． 证明：如图，过作于点，于点，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴．
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的平分线．
11． （1）证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（1）解：，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴．
（2）解：当点在线段上（不与重合）时，线段，，之间的数量关系为，理由如下：
∵中，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：①如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴
∵，，
∴；
②如图，当点在线段的延长线上运动时，
同（1）得，
∴，
∵，，
∴．
五、利用全等三角形的性质解决新定义型综合问题
13. （1）解：过点作于，
与是积等三角形，
，
，
，
；
（2）解：如图2，延长至，使，连接，
与为积等三角形，
在和中，
，
在中
为正整数，
；
（3）是积等三角形
证明：如图3，过点作于点，

在和中，
，
与为积等三角形．
（1）．
理由：∵和是“同源三角形”，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵和是“同源三角形”，
∴．
∵，
∴．
由（1）可知，
∴．
∵，
∴．
故答案为：45；
（3）由（1）可知，
∴，．
，的中点分别为，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
15. （1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是；
（2）解：若是的“边垂角”，分两种情况
①如图，是的“边垂角”，
，
，
，
，

②如图，
是的“边垂角”，
，
，
，
，

综上所述，与的数量关系是或；
（3）解：延长交于点，
是的“边垂角”，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点关于直线对称点为点，
，
，
；
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