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全等三角形--角的平分线重点题型梳理 专题练
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一 作角平分线
1．（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线．
24-25八年级上·广东广州·期中）已知是的一个外角，．
(1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）；
(2)求证：．
3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，垂足为D．
(1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；）
(2)若的平分线分别交，于，两点，证明：．
二 用角平分线的性质定理证明
1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证：
(1)，
(2)．
2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：．
3．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且．
(1)求证：．
(2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由．
4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知平分，于点，交的延长线于点F，且，求证：．
三 用角平分线的性质定理求面积
1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ．
2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ．
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．

四 用角平分线的性质定理求线段长度
1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长．
2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，是它的角平分线．求证．
(1)在图1中完成上面的证明过程；
(2)在图2中，如果，，， 求的长．
五 用角平分线的性质定理求点到直线的距离
1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ．
2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ．
3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ．
六 角平分线的判定定理
1．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分．
2．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分．
（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上．
七 角平分线性质的实际应用
1．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法．
2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）．
3．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交．
求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
综合练
1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点；
(1)求证：．
(2)求的度数．
(3)连接，求证：平分．
(4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值．
2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、、的长分别为a、b、c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．则A的坐标为_________，B的坐标为_________．
【数学理解】
（1）如图2，连接，当平分时，求出t的值．
【深入探究】
（2）过P作交直线于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________．
【解决问题】
（2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）；
（3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值．
4．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足．
(1)求点，坐标；
(2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标；
(3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
答案
题型一 作角平分线
解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可；
（1）解：如图所示，射线即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵为的平分线，
∴
∴，
∴
∴．
（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接和两弧的交点，如下图即为的平分线：
；
（2）解：根据题意画图如下：
，，
，
．
，
．
，
．
，
．
题型二 用角平分线的性质定理证明
（1）证明：∵平分，，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴．
证明：平分，，，
，，
是的中点，
在和中，
，
∴，
．
（1）证明：，
，
是的平分线，，，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
在和中，
，
，
，
．
由（1）得，
．
证明：∵ 平分，于，于，
∴ ，，
在和中，
，
∴，
∴ ．
题型三 用角平分线的性质定理求面积
如下图，连接，过作于，于，
、分别平分和，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
的周长是，
，
故答案为：．
解：过作于，
平分，，
，
，，
，
∵在中，，的平分线交于，
，
，
的面积是：．
故答案为：
解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
题型四 用角平分线的性质定理求线段长度
解：∵为的角平分线，，，
∴，
∴
，
∵的面积是，，，
∴，
∴．
（1）证明：平分，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，，，，
，
，
．
（1）证明：过D作于E，于F，如图所示：
∵平分，
∴，
∵，，
∴．
即．
（2）解：如图，过点A作于E，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴
∴．
题型五 用角平分线的性质定理求点到直线的距离
解：∵，
∴的长为点到的距离，
∵是的角平分线，
∴点到的距离等于点到的距离，即为的长，
∵，
∴点到的距离等于2；
故答案为：2．
解：如图所示，过点D作于H，
由作图方法可得平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴点D到的距离是，
故答案为：3．
解：分别过点O作，连接，
∵点是与平分线的交点，
∴点在的角平分线上，
∴，
设，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离等于．
故答案为：．
题型六 角平分线的判定定理
证明：如图，作于，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴点在的角平分线上，
∴平分．
证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
平分．
（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上．
【答案】见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题关键．由题意得出，，即易证，得出，说明点在的平分线上．
【详解】解：∵为的中点，
∴．
∵，，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴点在的平分线上．
题型七 角平分线性质的实际应用
解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求．
2.解：依题意，
在射线上截取，使得，如图点为所求，
3.解：作法如下：
1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点；
2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点．
证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点，
点到公路AE、AF、BC的距离相等；
点是∠A与∠ABC平分线的交点，
点到公路AE、AF、BC的距离相等；
点、点即为所求作的点
综合练
（1）解：证明：，
，
又，，
在和中，
，
；
（2）解：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：过点作于点，于点，
，
，
，
，
，
，
，
又，
平分．
（4）解：如图所示，当在线段上，点在的右侧时，
，
是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
又，，
，
，
，
，，
，
如图所示，当在线段上，点在的左侧时，连接，
∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴,，
又∵,,
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴,，
∴，
∵,，
∴;
在直角三角形中，根据勾股定理可得，即
解得，
如图所示，当在的延长线上时，
，
同理，
，
，，
，
综上所述，或或．
解：问题背景：∵，，
∴，
∴，
则由图1可知，点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
数学理解：（1）如图2，过点作于点，
由上可知，，
由题意得：，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
深入探究：（2）如图3，当点在线段上时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴此时只能是，
∴，即，
解得，符合题设；
如图4，当点在的延长线上时，则，
同理可得：，，
又∵，
∴此时只能是，
∴，即，
解得，符合题设；
综上，存在这样的点，使与全等，此时的值为1或7．
【点睛】本题考查了绝对值、偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
解：（1）解：，，，
，
小亮证明用到的判定定理是，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；，；
（2）如图，过作于，于，
为的角平分线，
，
，，
；
（3），
由（1）知：，
，
，
，，平分，
由（2）知：，
，
．
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：解：分两种情况：
①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，
∴，，，
∴，
∵等腰直角，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为；
②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，
同①得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或；
（3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：的大小不变，为定值，理由如下：
如图3，过点C作于点M，于点N，
则，
∵，
∴，
由①可知，，，
∴，
∴，
∴是的角平分线，
∴，
即的大小不变，为定值．
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