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全等三角形--全等三角形判定重点题型梳理 专题练（二）
2025-2026学年上学期初中数学人教版（2024）八年级上册
一 倍长中线模型
1．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．
2．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，点E在的中线的延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的取值范围；
(3)若，求证：是直角三角形．
3． （21-22八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，为中边上的中线．
（1）求证：；
（2）若，，求的取值范围．
二 旋转模型
1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，．
(1)如图1当点在上，______．
(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）
2．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】
（1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
【模型运用】
（2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论．
（20-21八年级上·山西临汾·期中）如图，，，，
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
三 垂线模型
1．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，为等腰直角三角形，，．
(1)求证：；
(2)求证：
2．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由．
3．（20-21八年级上·四川广安·期末）在中，，过点C作直线，过点A作于点M，过点B作于点N．
（1）如图1，当直线在外时，证明：．
（2）如图2，当直线经过内部时，其他条件不变，则与之间有怎样的数量关系？请说明理由．
四 证明线段的和差问题
1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点．
(1)求的度数；
(2)求证：．
2．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，．
(1)求证：；
(2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由．
3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足．
(1)如图①，求证：；
(2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系．
4．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．

(1)求证：△△．
(2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明）
(3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形．
五 全等三角形综合问题
1．（24-25八年级上·河南南阳·期中）综合与探究．
如图①，，，，垂足分别为A、B，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点B出发在射线上运动．它们运动的时间为（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“，”改为“”，点Q的运动速度为，其他条件不变，当点P、Q运动到何处时有与全等，请直接写出相应的x的值．
2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若．
(1)求的度数；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，
①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值．
3．（24-25八年级上·山东济宁·期末）四边形中，，，，分别是边，上的动点，且．
(1)如图1，当，分别在线段，上时，
①填空：若设，则之间的数量关系是______；
②猜想之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)如图2，当，分别运动到在线段，延长线上时，其它条件不变，（1）中②你的猜想是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们之间的数据关系，并证明．
答案
一 倍长中线模型
证明：延长至点，使，连接，则：，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
（1）解：证明：是的中线，
，
在和中，
，
，
；
（2），，
，
即．
，
的取值范围是．
（3）∵，，，
∴，
∴，，
又，
∴，
即是直角三角形．
3.（1）证明：如图延长至，使，连接，
∵为中边上的中线，
∴，
在和中：
，
∴，
∴（全等三角形的对应边相等），
在中，由三角形的三边关系可得，
即；
（2）解：∵，，
由（1）可得，
∴，
∴．
二 旋转模型
（1）解：，
，
又，，
，
在中，，
故答案为：．
（2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：
，，，
（同角的余角相等），
在与中有：
（），
，
，，
，，
，
故答案为：．
解：（1）结论：．
理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，，，
∴，即：三点共线，
，
∴，
∴，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
（2）结论：．
理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，

则：，
同法（1）可得：，
，
又，
．
（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°，
∴∠EAB=∠E =37°，
∵∠DAB=65°，
∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65 -37 =28°，
（2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°，
∴∠DAE=∠B，
在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD＝BC．
三 垂线模型
（1）证明：是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（1）DE=BD+CE．理由如下：
∵BD⊥，CE⊥，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2），理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
（1）证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，
∴．
四 证明线段的和差问题
（1）解：∵，
∴，
∵与的平分线，交于点
∴,，
∵是的外角，
∴；
（2）证明：在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵，
∴．
（1）证明：如图，延长至点，使，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图，在上截取，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即：．
（1）证明：如图，在上截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
（2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立．
图②中，结论：；
图③中，结论：．
对于②，截取，连接，
为等腰直角三角形，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
．
对于③，截取，连接，同理可证：．
（1）证明：于点，于点，，
，，，
．
在和中
，
．
（2）解：．理由如下：
由（1）知，，则
∴
∴
（3）解：结论：或．
理由：设与的交点为，
当离点近时，结论为；
当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）．
当离点近时，如图：

同（1）可证明，
，．
，
．
当离点近时，如图：

同理，得．
五 全等三角形综合问题
（1）解：，线段和线段的位置关系是，理由如下：
，，
，
∵当时，，
，
，
在和中，
，
．
．
，
，
又，
，
．
（2）解：由题意可得：，，
∴，
∵
∴分两种情况讨论：
①若，则，，
可得，，
解得，；
②若，则，，
可得，，
解得，．
综上，当与全等时，的值为3或．
（1）解：∵在中，为高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，，
当时，
如图，；
当时，如图，
．
综上所述，；
②∵，
∴，
当点F在线段延长线上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
解得：；
当点在线段上时，如图，
∵，
∴，
∴当时，，
∴，
解得：．
综上所述，当与全等时，t的值为或．
（1）解：（1）①四边形中，，
∴
∵．
∴
∵，
∴.
故答案为：．
②猜想：．
证明：延长至点，使，连接．
．
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
．
（2）解：（1）②中猜想不成立，．
证明：如图，在上截取，
，
．
在和中，
，
．
．
，
．
．
．
在和中，
，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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