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四川省乐山市2025年中考数学试题
1．（2025·乐山）2025年“五一”期间，乐山大佛“夜游凌云山”项目营收突破300万元，创下同期历史新高．数据3000000用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】3000000=3×106
故答案选：B
【分析】用科学记数法表示绝对值大于10的数时，要满足形式a×10n，其中，n等于原数的整数位数减1.
2．（2025·乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝70°，则∠2＝（　　）
A．130° B．110° C．90° D．70°
【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如图。
∵
∴
∵互为对顶角
∴
故答案选：D
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得到，再利用对顶角的性质求出。
3．（2025·乐山）如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】从上往下俯视这个几何体，可知其平面图形为
故答案选：A
【分析】俯视图就是站在几何体的正前方，从上往下看所得到的平面图形，发挥空间想象能力即可得到答案.
4．（2025·乐山）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2）
C．（3，2） D．（3，﹣2）
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】点P在第3列，第2排，因此其坐标为（3，2）.
故答案选：C
【分析】一个点在平面直角坐标系中的坐标就是对应的有序数对，找到它在第几列，第几排，按照“列在前排在后”的规则写出相应的有序数对即可。
5．（2025·乐山）计算：的结果为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】 =
故答案选：D
【分析】将转化为，从而将两个分式统一为同分母分式相减的问题，分母不变，分子相减即可求出答案为1.
6．（2025·乐山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ l1∥l2∥l3
∴
∴
故答案选：B
【分析】利用平行线分线段成比例性质即可求出EF的长。
7．（2025·乐山）若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，则x2+x1的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知x1+x2=1，x1x2=-2。
∴x2+x1 =x1x2(x1+x2)=(-2)1=-2
故答案选：C
【分析】先根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合因式分解即可求出答案。
8．（2025·乐山）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（　　）
A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
故答案选：A
【分析】加权平均数的计算公式是：，其中，分别为x1，x2，x3，，wn的权重。
9．（2025·乐山）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，〇代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察这些图形可知，图1中有4个氢原子，图2中有6（即4+2×1）个氢原子，图3中有8（即4+2×2）个氢原子，图4中有10（即4+2×3）个氢原子，以此类推，第9个图形中有4+2×8=20个氢原子。
故答案选：B
【分析】图形类找规律题目需要学生仔细观察图形的变化之处，分析数字变化规律，从而得出一般性的结论。
10．（2025·乐山）已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2；
②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；
③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|；
④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解： 二次函数为 y = x2 + 4 x + m ，其二次项系数为1（正数），故开口向上。对称轴为 x == 2，结论①正确；
二次函数与x轴的交点个数由判别式 Δ = b 2 4 a c 决定。代入得：
Δ = 42 4 × 1 × m = 16 4 m ，当 Δ > 0 时，方程有两个实根，即 16 4 m > 0 m < 4，结论②正确；
函数开口向上，对称轴为 x = 2 。若 y1 < y2 ，则点 A 离对称轴的距离比点 B 近。距离为 | x 1 + 2 | 和 | x2 + 2 | ，故 | x1 + 2 | < | x2 + 2 | 。但结论③中为 | x1 + 2 | > | x2 + 2 | ，与推导矛盾，因此结论③错误；
当 x ≥ 2 时，联立方程 x2 + 4 x + m = 2 x 1 ，化简为：
x2 + 2 x + ( m + 1 ) = 0 ， 方程有两个不相同的根，则 判别式 Δ = 22 4 × 1 × ( m + 1 ) = 4 4 ( m + 1 ) = 4 m > 0 m < 0，二次函数的对称轴为x=-1，且开口向上，故最小值在x=-1处取得，为m，而两根都大于或等于-2，则当x=-2时，对应的函数值m+10，综上可知，结论④正确。
故答案选：C
【分析】①根据二次函数的图象性质与系数之间的联系不难判断图像开口方向和对称轴；
②二次函数图象与x轴的交点个数可以转化为相应的一元二次方程根的情况，所以令y=0，让方程的判别式大于0即可求出m的取值范围；
③对于一个开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，由 y1＜y2 可知点A比点B距离对称轴更近，故，即 |x1+2|<|x2+2|；
④联立两个函数解析式得到关于x的含参一元二次方程，为保证方程有两个不相等的实数根，，为保证两根都大于等于-2，根据图象可知当x=-2时，该二次函数值应大于0，由此得出m的范围是。
11．（2025·乐山）﹣2的相反数是　 　
【答案】2
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：﹣2的相反数是2，
故答案为：2．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
12．（2025·乐山）某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为　 　 ．
【答案】7.5
【知识点】众数
【解析】【解答】这组数据一共有5个数，其中7.5出现了3次，次数最多，因此评分的众数是7.5.
故答案填：7.5
【分析】根据众数的定义即可填出答案。
13．（2025·乐山）如图，∠1的度数为 　 　 ．
【答案】100°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形外角性质可知
故答案填：100°
【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角和，由此可以求出∠1等于100°。
14．（2025·乐山）已知 ， ，则 　 　.
【答案】12
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解： .
故答案为：12
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知 ，由幂的乘方的逆运算可知 ，再将 ， 代入求解.
15．（2025·乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是 　 　 （只需填一种组合即可）．
【答案】①③
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ADC＝90°
∴四边形ABCD是矩形，OB=OD
∵ AC⊥BD
∴
在中，
∴
∴AB=AD
∴四边形ABCD是正方形
故答案填：①③
【分析】有一个角为直角的平行四边形是矩形，再通过证明得到对应边AB=AD，邻边相等的矩形就是正方形。
16．（2025·乐山）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．
⑴下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是　 　 （填番号）；
①y＝x+2；
②y；
③y＝x2+1．
⑵若一次函数yx+m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围为　 　 ．
【答案】③；m
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标系中的两点距离公式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：（1）函数①： x2 + ( x + 2 )2 = 1，整理得 2 x2 + 4 x + 3 = 0，，故函数①上不存在单位圆点；
函数②： x2 + = 1，两边乘x2得x4 x2 + 1 = 0，令t=x2，方程变为t2 t + 1 = 0，，故函数②上不存在单位圆点；
函数③： x2 + ( x2 + 1 )2 = 1，整理得x2 ( x 2 + 3 ) = 0 ，解得x=0，y=1，对应的点(0，1)满足
x2 + y2 = 0 + 1 = 1，故函数③上存在单位圆点。
（2）联立与得5 x2 + 4 m x + 4 ( m2 1 ) = 0，，令得m。
故答案填：（1）③；（2）m
【分析】（1）对于每个函数，都联立得到关于x的一元二次方程，通过计算判别式可知方程是否有解，从而对应函数是否存在单位圆点；
（2）对于含参数的函数，求解方法与（1）类似，让对应的含参一元二次方程的判别式大于等于0即可求出参数范围。
17．（2025·乐山）计算：|﹣3|2sin30°．
【答案】解：原式＝3+5﹣2
＝8﹣1
＝7
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用绝对值的概念可知，根据算术平方根的定义可知，由正弦的定义可知，从而可以计算原式等于7.
18．（2025·乐山）解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①得，x＞﹣2，
解不等式②得，x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式组的固定步骤为分别解每一个不等式，再找出它们的公共解集作为不等式组的解集，遵循的口诀是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。
19．（2025·乐山）先化简，再求值：（x+3）2+3x（x﹣2），其中x．
【答案】解：原式＝x2+6x+9+3x2﹣6x
＝4x2+9．
当x时，
原式＝4×（）2+9＝10
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则将原式化简为4x2+9，再将x值代入计算即可.
20．（2025·乐山）如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE．求证：AB＝DC．
【答案】证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AB＝DC
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】观察发现AB与CD是△ABE和△DCE的对应线段，只要证明这两个三角形全等即可得到 AB＝DC，条件基本都是现成的，已知 AE＝DE，BE＝CE，而对顶角，由SAS判定即可证明△ABE≌△DCE，所以得证.
21．（2025·乐山）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：A．体育中的数学，B．绘制公园平面地图，C．改进我们的课桌椅，D．高度的侧量．若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表．如图所示．
项目 人数 频率
A 16 　
B 8 　
C 　 　
D 4 0.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查抽取的学生总人数为 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）已知该校共有800名学生，请估计选择项目B的学生人数；
（3）现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目A和项目B的概率．
【答案】（1）解：40．
（2）解：800160（人），
∴估计选择项目B的学生人数约160人．
（3）解：列表如下：
A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12种等可能的结果，其中恰好选到项目A和项目B的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴恰好选到项目A和项目B的概率为
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）本次调查抽取的学生总人数为4÷0.1＝40（人）．
选择C项目的人数为40﹣16﹣8﹣4＝12（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）见答案；
（3）见答案。
【分析】（1）利用项目D的频数除以频率即可得到样本容量；
（2）根据样本中B项目所占比例可以估计，在总体中B项目也占相同的比例，用该校总人数乘以这个比例即可；
（3）从四个项目中选两个作汇报展示，那么在表格中就要排除（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）四种情况，总共就是12中组合，恰好选到A和B的有两种组合（A，B）、（B，A），因此概率为。
22．（2025·乐山）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2．
（1）求AB的长；
（2）求点C到线段AB的距离．
【答案】（1）解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J．
在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°，
∴AJ＝AC sin60°，CJ＝AC cos60°＝1，
在Rt△ABJ中，∠B＝45°，
∴AJ＝BJ，
∴ABAJ
（2）解：过点C作CK⊥AB于点K．
由（1）可知
在Rt△BCK中，
∴点C到线段AB的距离为
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过A点作于点J，在Rt△ACJ中，AJ、CJ可求解，然后在Rt△ABJ中，AB可求解；
（2）过点C作CK⊥AB于点K，由（1）可知，故CK可求解。
23．（2025·乐山）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（m，1）、B（﹣1，n）．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若在x轴上存在点P（a，0），使得△ABP的面积为6，求a的值．
【答案】（1）解：∵点A（m，1）、B（﹣1，n）在一次函数y＝x﹣1的图象上，
∴1＝m﹣1，n＝﹣1﹣1＝﹣2，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴A（2，1）、B（﹣1，﹣2），
k＝2，
∴反比例函数解析式为y
（2）解：如图，由一次函数y＝x﹣1可知C（1，0），则PC＝|1﹣a|，
∴S△PAB＝S△PAC+S△PBC|1﹣a||1﹣a|＝6，
解得a＝﹣3或5
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）点A、B再一次函数图象上，则它们的坐标满足一次函数解析式，故可求出m=2，n=-2，再将A(2，1)代入反比例函数即可求得k=2；
（2）先求出直线AB与x轴的交点坐标为C(1，0)，则，将的面积分为与的面积和，在中，以PC为底，则高为1，在中，以PC为底，则高为2，列出关于a的方程，求解即可。
24．（2025·乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长．
【答案】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE，
∴AB⊥DE，EF＝DF，
∴BE＝DB，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠CBD＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BC∥DE，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线
（2）解：∵BC∥DE，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，
∵tanC＝tanE，
∴设BF＝3x，EF＝4x，
∴BE5x＝5，
∴x＝1，
∴EF＝4，BF＝3，
连接OE，
在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（OE﹣3）2+42，
∴OE，
∴OF3
【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的判定；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）先由垂径定理推出，于是可知BE=BD，故，而，所以有，从而可知，又已知AB⊥DE，故AB⊥BC，即BC为 ⊙O 切线；
（2）易证四边形BCDE为平行四边形，故，在Rt△BFE中，按比设参，结合勾股定理可求BF=3，EF=4，在Rt△OEF中，再次利用勾股定理求得OE，故OF。
25．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
26．（2025·乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
（1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）；
第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　 　 和 　 　 ；
第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 　 　 ．
（2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
（i）若a，求W内的“整点”个数；
（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．
【答案】（1）（﹣1，0）；（0，1）；y＝x+1
（2）解：存在点P（0，1）满足题意，理由如下：
∵函数y1图象可看成是反比例函数y的图象的向上平移1个单位后得到，
且反比例函数y的图象是关于原点（0，0）成中心对称的，
∴函数y1的图象关于点（0，1）成中心对称，满足题意．
故P点坐标为（0，1）
（3）解：（i）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a的顶点坐标为（1，a），
则（1，a）关于点（2，2）成中心对称的点为（3，4﹣a），
故函数C2可设为：y＝﹣a（x﹣3）2+4﹣a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
当a时，函数C1：y，函数C2：y．
画出两函数图象如图所示：
则W区域内整点为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3），共计5个整点．
（ii）联立C1和C2表达式，即ax2﹣2ax+2a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
整理得2ax2﹣8ax+12a﹣4＝0，
令Δ＝0，此时两抛物线只有一个交点，整理可得﹣32a2+32a＝0，
解得a＝1或0（0舍去，不合题意），
故a＝1，
∵C1和C2要围成区域W，
∴0＜a＜1．
∵C1和C2关于点（2，2）成中心对称，
则点（2，2）必为W区域内一个“整点”．
当有9个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图2可知，“整点”只能是（1，1）和（3，3）、（2，1）和（2，3）、（0，1）和（4，3）、（1，2）和（3，2），
此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，
可得a；
当有15个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出7对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，即（0，2）和（4，2）、（3，1）和（﹣1，1）、（1，3）和（5，3），
此时当函数C1过点（5，3），
∴16a+a＝3，
解得a，
综上可得a的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）∵（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
（0，﹣1）关于原点的对称点为（0，1），
设过（﹣1，0）、（0，1）两点的函数表达式为y＝kx+b，代入两点坐标，得：
，解得，
∴y＝x+1，
故答案为：（﹣1，0），（0，1），y＝x+1．
【分析】（1）由中心对称的性质可知（1，0）、（0，-1）关于原点对称的点为（-1，0）、（0，1），进而用待定系数法可求函数表达式；
（2）将函数y1与学过的反比例函数y联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y的图象向上平移1个单位后得到，而反比例函数y的图象是关于点（0，0）成中心对称的，故而函数y1的图象是关于点（0，1）成中心对称的，即得到答案；
（3）(i)当 a 时，分别求出C1和C2的解析式，再画出图形即可求解；
(ii)根据C1和C2关于点（2，2）成中心对称，则点（2，2）必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是（1，1），（3，3），（2，1），（2，3），（0，1），（4，3），（1，2），（3，2），此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，可得a；同理，当有13个整点时，由图3可求得a，综合可知a的取值范围是。
1 / 1四川省乐山市2025年中考数学试题
1．（2025·乐山）2025年“五一”期间，乐山大佛“夜游凌云山”项目营收突破300万元，创下同期历史新高．数据3000000用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108
2．（2025·乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若∠1＝70°，则∠2＝（　　）
A．130° B．110° C．90° D．70°
3．（2025·乐山）如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·乐山）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2）
C．（3，2） D．（3，﹣2）
5．（2025·乐山）计算：的结果为（　　）
A． B． C．﹣1 D．1
6．（2025·乐山）如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（2025·乐山）若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，则x2+x1的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
8．（2025·乐山）某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（　　）
A．7.8元 B．7.9元 C．8元 D．8.1元
9．（2025·乐山）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，〇代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
10．（2025·乐山）已知二次函数y＝x2+4x+m的图象经过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣2；
②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；
③若y1＜y2，则|x1+2|＞|x2+2|；
④当x≥﹣2时，二次函数的图象与y＝2x﹣1的图象有两个交点，则﹣1≤m＜0．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025·乐山）﹣2的相反数是　 　
12．（2025·乐山）某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为　 　 ．
13．（2025·乐山）如图，∠1的度数为 　 　 ．
14．（2025·乐山）已知 ， ，则 　 　.
15．（2025·乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是 　 　 （只需填一种组合即可）．
16．（2025·乐山）定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”．
⑴下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是　 　 （填番号）；
①y＝x+2；
②y；
③y＝x2+1．
⑵若一次函数yx+m的图象上存在“单位圆点”，则m的取值范围为　 　 ．
17．（2025·乐山）计算：|﹣3|2sin30°．
18．（2025·乐山）解不等式组：．
19．（2025·乐山）先化简，再求值：（x+3）2+3x（x﹣2），其中x．
20．（2025·乐山）如图，已知线段AC、BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE．求证：AB＝DC．
21．（2025·乐山）某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择：A．体育中的数学，B．绘制公园平面地图，C．改进我们的课桌椅，D．高度的侧量．若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表．如图所示．
项目 人数 频率
A 16 　
B 8 　
C 　 　
D 4 0.1
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查抽取的学生总人数为 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）已知该校共有800名学生，请估计选择项目B的学生人数；
（3）现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目A和项目B的概率．
22．（2025·乐山）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2．
（1）求AB的长；
（2）求点C到线段AB的距离．
23．（2025·乐山）如图，一次函数y＝x﹣1的图象与反比例函数y（k≠0）的图象交于点A（m，1）、B（﹣1，n）．
（1）求m、n的值和反比例函数的表达式；
（2）若在x轴上存在点P（a，0），使得△ABP的面积为6，求a的值．
24．（2025·乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长．
25．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
26．（2025·乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点P成中心对称，则称这两个函数关于点P互为“对称函数”．请同学们解决以下问题：
（1）求函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤：
第一步：在函数y＝x﹣1的图象上取两点（1，0）和（0，﹣1）；
第二步：分别求出这两个点关于点（0，0）的对称点 　 　 和 　 　 ；
第三步：函数y＝x﹣1关于点（0，0）的“对称函数”为 　 　 ．
（2）是否存在点P，使得函数y1关于点P的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a（a＞0）关于点（2，2）的“对称函数”为C2，函数C1与函数C2所围成的区域（包括边界）记作W，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”．
（i）若a，求W内的“整点”个数；
（ii）若W内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】3000000=3×106
故答案选：B
【分析】用科学记数法表示绝对值大于10的数时，要满足形式a×10n，其中，n等于原数的整数位数减1.
2．【答案】D
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】如图。
∵
∴
∵互为对顶角
∴
故答案选：D
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得到，再利用对顶角的性质求出。
3．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】从上往下俯视这个几何体，可知其平面图形为
故答案选：A
【分析】俯视图就是站在几何体的正前方，从上往下看所得到的平面图形，发挥空间想象能力即可得到答案.
4．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】点P在第3列，第2排，因此其坐标为（3，2）.
故答案选：C
【分析】一个点在平面直角坐标系中的坐标就是对应的有序数对，找到它在第几列，第几排，按照“列在前排在后”的规则写出相应的有序数对即可。
5．【答案】D
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】 =
故答案选：D
【分析】将转化为，从而将两个分式统一为同分母分式相减的问题，分母不变，分子相减即可求出答案为1.
6．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ l1∥l2∥l3
∴
∴
故答案选：B
【分析】利用平行线分线段成比例性质即可求出EF的长。
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由韦达定理可知x1+x2=1，x1x2=-2。
∴x2+x1 =x1x2(x1+x2)=(-2)1=-2
故答案选：C
【分析】先根据韦达定理得到两根之和与两根之积，再结合因式分解即可求出答案。
8．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：
故答案选：A
【分析】加权平均数的计算公式是：，其中，分别为x1，x2，x3，，wn的权重。
9．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：观察这些图形可知，图1中有4个氢原子，图2中有6（即4+2×1）个氢原子，图3中有8（即4+2×2）个氢原子，图4中有10（即4+2×3）个氢原子，以此类推，第9个图形中有4+2×8=20个氢原子。
故答案选：B
【分析】图形类找规律题目需要学生仔细观察图形的变化之处，分析数字变化规律，从而得出一般性的结论。
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解： 二次函数为 y = x2 + 4 x + m ，其二次项系数为1（正数），故开口向上。对称轴为 x == 2，结论①正确；
二次函数与x轴的交点个数由判别式 Δ = b 2 4 a c 决定。代入得：
Δ = 42 4 × 1 × m = 16 4 m ，当 Δ > 0 时，方程有两个实根，即 16 4 m > 0 m < 4，结论②正确；
函数开口向上，对称轴为 x = 2 。若 y1 < y2 ，则点 A 离对称轴的距离比点 B 近。距离为 | x 1 + 2 | 和 | x2 + 2 | ，故 | x1 + 2 | < | x2 + 2 | 。但结论③中为 | x1 + 2 | > | x2 + 2 | ，与推导矛盾，因此结论③错误；
当 x ≥ 2 时，联立方程 x2 + 4 x + m = 2 x 1 ，化简为：
x2 + 2 x + ( m + 1 ) = 0 ， 方程有两个不相同的根，则 判别式 Δ = 22 4 × 1 × ( m + 1 ) = 4 4 ( m + 1 ) = 4 m > 0 m < 0，二次函数的对称轴为x=-1，且开口向上，故最小值在x=-1处取得，为m，而两根都大于或等于-2，则当x=-2时，对应的函数值m+10，综上可知，结论④正确。
故答案选：C
【分析】①根据二次函数的图象性质与系数之间的联系不难判断图像开口方向和对称轴；
②二次函数图象与x轴的交点个数可以转化为相应的一元二次方程根的情况，所以令y=0，让方程的判别式大于0即可求出m的取值范围；
③对于一个开口向上，对称轴为x=-2的抛物线，由 y1＜y2 可知点A比点B距离对称轴更近，故，即 |x1+2|<|x2+2|；
④联立两个函数解析式得到关于x的含参一元二次方程，为保证方程有两个不相等的实数根，，为保证两根都大于等于-2，根据图象可知当x=-2时，该二次函数值应大于0，由此得出m的范围是。
11．【答案】2
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：﹣2的相反数是2，
故答案为：2．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
12．【答案】7.5
【知识点】众数
【解析】【解答】这组数据一共有5个数，其中7.5出现了3次，次数最多，因此评分的众数是7.5.
故答案填：7.5
【分析】根据众数的定义即可填出答案。
13．【答案】100°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：由三角形外角性质可知
故答案填：100°
【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形的外角等于不相邻的两个内角和，由此可以求出∠1等于100°。
14．【答案】12
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解： .
故答案为：12
【分析】根据同底数幂乘法的逆运算可知 ，由幂的乘方的逆运算可知 ，再将 ， 代入求解.
15．【答案】①③
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ADC＝90°
∴四边形ABCD是矩形，OB=OD
∵ AC⊥BD
∴
在中，
∴
∴AB=AD
∴四边形ABCD是正方形
故答案填：①③
【分析】有一个角为直角的平行四边形是矩形，再通过证明得到对应边AB=AD，邻边相等的矩形就是正方形。
16．【答案】③；m
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；坐标系中的两点距离公式；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：（1）函数①： x2 + ( x + 2 )2 = 1，整理得 2 x2 + 4 x + 3 = 0，，故函数①上不存在单位圆点；
函数②： x2 + = 1，两边乘x2得x4 x2 + 1 = 0，令t=x2，方程变为t2 t + 1 = 0，，故函数②上不存在单位圆点；
函数③： x2 + ( x2 + 1 )2 = 1，整理得x2 ( x 2 + 3 ) = 0 ，解得x=0，y=1，对应的点(0，1)满足
x2 + y2 = 0 + 1 = 1，故函数③上存在单位圆点。
（2）联立与得5 x2 + 4 m x + 4 ( m2 1 ) = 0，，令得m。
故答案填：（1）③；（2）m
【分析】（1）对于每个函数，都联立得到关于x的一元二次方程，通过计算判别式可知方程是否有解，从而对应函数是否存在单位圆点；
（2）对于含参数的函数，求解方法与（1）类似，让对应的含参一元二次方程的判别式大于等于0即可求出参数范围。
17．【答案】解：原式＝3+5﹣2
＝8﹣1
＝7
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用绝对值的概念可知，根据算术平方根的定义可知，由正弦的定义可知，从而可以计算原式等于7.
18．【答案】解：，
解不等式①得，x＞﹣2，
解不等式②得，x≤3，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】解不等式组的固定步骤为分别解每一个不等式，再找出它们的公共解集作为不等式组的解集，遵循的口诀是“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。
19．【答案】解：原式＝x2+6x+9+3x2﹣6x
＝4x2+9．
当x时，
原式＝4×（）2+9＝10
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则将原式化简为4x2+9，再将x值代入计算即可.
20．【答案】证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AB＝DC
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】观察发现AB与CD是△ABE和△DCE的对应线段，只要证明这两个三角形全等即可得到 AB＝DC，条件基本都是现成的，已知 AE＝DE，BE＝CE，而对顶角，由SAS判定即可证明△ABE≌△DCE，所以得证.
21．【答案】（1）解：40．
（2）解：800160（人），
∴估计选择项目B的学生人数约160人．
（3）解：列表如下：
A B C D
A 　 （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） 　 （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） 　 （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） 　
共有12种等可能的结果，其中恰好选到项目A和项目B的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴恰好选到项目A和项目B的概率为
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）本次调查抽取的学生总人数为4÷0.1＝40（人）．
选择C项目的人数为40﹣16﹣8﹣4＝12（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）见答案；
（3）见答案。
【分析】（1）利用项目D的频数除以频率即可得到样本容量；
（2）根据样本中B项目所占比例可以估计，在总体中B项目也占相同的比例，用该校总人数乘以这个比例即可；
（3）从四个项目中选两个作汇报展示，那么在表格中就要排除（A，A）、（B，B）、（C，C）、（D，D）四种情况，总共就是12中组合，恰好选到A和B的有两种组合（A，B）、（B，A），因此概率为。
22．【答案】（1）解：如图，过点A作AJ⊥BC于点J．
在Rt△ACJ中，AC＝2，∠ACJ＝60°，
∴AJ＝AC sin60°，CJ＝AC cos60°＝1，
在Rt△ABJ中，∠B＝45°，
∴AJ＝BJ，
∴ABAJ
（2）解：过点C作CK⊥AB于点K．
由（1）可知
在Rt△BCK中，
∴点C到线段AB的距离为
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）过A点作于点J，在Rt△ACJ中，AJ、CJ可求解，然后在Rt△ABJ中，AB可求解；
（2）过点C作CK⊥AB于点K，由（1）可知，故CK可求解。
23．【答案】（1）解：∵点A（m，1）、B（﹣1，n）在一次函数y＝x﹣1的图象上，
∴1＝m﹣1，n＝﹣1﹣1＝﹣2，
解得m＝2，n＝﹣2，
∴A（2，1）、B（﹣1，﹣2），
k＝2，
∴反比例函数解析式为y
（2）解：如图，由一次函数y＝x﹣1可知C（1，0），则PC＝|1﹣a|，
∴S△PAB＝S△PAC+S△PBC|1﹣a||1﹣a|＝6，
解得a＝﹣3或5
【知识点】反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）点A、B再一次函数图象上，则它们的坐标满足一次函数解析式，故可求出m=2，n=-2，再将A(2，1)代入反比例函数即可求得k=2；
（2）先求出直线AB与x轴的交点坐标为C(1，0)，则，将的面积分为与的面积和，在中，以PC为底，则高为1，在中，以PC为底，则高为2，列出关于a的方程，求解即可。
24．【答案】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE，
∴AB⊥DE，EF＝DF，
∴BE＝DB，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠CBD＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BC∥DE，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线
（2）解：∵BC∥DE，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，
∵tanC＝tanE，
∴设BF＝3x，EF＝4x，
∴BE5x＝5，
∴x＝1，
∴EF＝4，BF＝3，
连接OE，
在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（OE﹣3）2+42，
∴OE，
∴OF3
【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的判定；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）先由垂径定理推出，于是可知BE=BD，故，而，所以有，从而可知，又已知AB⊥DE，故AB⊥BC，即BC为 ⊙O 切线；
（2）易证四边形BCDE为平行四边形，故，在Rt△BFE中，按比设参，结合勾股定理可求BF=3，EF=4，在Rt△OEF中，再次利用勾股定理求得OE，故OF。
25．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
26．【答案】（1）（﹣1，0）；（0，1）；y＝x+1
（2）解：存在点P（0，1）满足题意，理由如下：
∵函数y1图象可看成是反比例函数y的图象的向上平移1个单位后得到，
且反比例函数y的图象是关于原点（0，0）成中心对称的，
∴函数y1的图象关于点（0，1）成中心对称，满足题意．
故P点坐标为（0，1）
（3）解：（i）函数C1：y＝ax2﹣2ax+2a的顶点坐标为（1，a），
则（1，a）关于点（2，2）成中心对称的点为（3，4﹣a），
故函数C2可设为：y＝﹣a（x﹣3）2+4﹣a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
当a时，函数C1：y，函数C2：y．
画出两函数图象如图所示：
则W区域内整点为（1，1）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，3），共计5个整点．
（ii）联立C1和C2表达式，即ax2﹣2ax+2a＝﹣ax2+6ax+4﹣10a，
整理得2ax2﹣8ax+12a﹣4＝0，
令Δ＝0，此时两抛物线只有一个交点，整理可得﹣32a2+32a＝0，
解得a＝1或0（0舍去，不合题意），
故a＝1，
∵C1和C2要围成区域W，
∴0＜a＜1．
∵C1和C2关于点（2，2）成中心对称，
则点（2，2）必为W区域内一个“整点”．
当有9个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图2可知，“整点”只能是（1，1）和（3，3）、（2，1）和（2，3）、（0，1）和（4，3）、（1，2）和（3，2），
此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，
可得a；
当有15个“整点”时，须以点（2，2）为中心，再向外找出7对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，
由图3可知，即在前面9个“整点”的基础上再增加3对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，即（0，2）和（4，2）、（3，1）和（﹣1，1）、（1，3）和（5，3），
此时当函数C1过点（5，3），
∴16a+a＝3，
解得a，
综上可得a的取值范围为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象的对称性；坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；二次函数图象的对称变换
【解析】【解答】解：（1）∵（1，0）关于原点的对称点为（﹣1，0），
（0，﹣1）关于原点的对称点为（0，1），
设过（﹣1，0）、（0，1）两点的函数表达式为y＝kx+b，代入两点坐标，得：
，解得，
∴y＝x+1，
故答案为：（﹣1，0），（0，1），y＝x+1．
【分析】（1）由中心对称的性质可知（1，0）、（0，-1）关于原点对称的点为（-1，0）、（0，1），进而用待定系数法可求函数表达式；
（2）将函数y1与学过的反比例函数y联系起来，它的图象可以看作由反比例函数y的图象向上平移1个单位后得到，而反比例函数y的图象是关于点（0，0）成中心对称的，故而函数y1的图象是关于点（0，1）成中心对称的，即得到答案；
（3）(i)当 a 时，分别求出C1和C2的解析式，再画出图形即可求解；
(ii)根据C1和C2关于点（2，2）成中心对称，则点（2，2）必为W区域内一个整点。当有9个整点时，须以点（2，2）为中心，再向外找出4对关于（2，2）成中心对称的点的坐标，由图2可知，整点只能是（1，1），（3，3），（2，1），（2，3），（0，1），（4，3），（1，2），（3，2），此时当函数C2过点（0，1），即4﹣10a＝1时，满足题意，可得a；同理，当有13个整点时，由图3可求得a，综合可知a的取值范围是。
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