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2024-2025学年甘肃省兰州三十五中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸文化是中国古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 若，则
C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设
3.如图，在中，若，，则BC的长为( )
A.
B. 5
C. 6
D.
4.已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.下列多项式中，不能用公式法因式分解的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，点O是、的平分线的交点，且，，则点O到边AB的距离为( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
7.如图，是“俄罗斯方块”游戏的示意图.若使上方的“T”型方块组阴影部分落下后刚好填满下方两层的空格，则可以将上方的方块组( )
A. 先绕点P逆时针旋转，再向下平移4格
B. 先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格
C. 先绕点P逆时针旋转，再向下平移5格
D. 先绕点P顺时针旋转，再向下平移5格
8.如图，中，，，AD是的中线，点E在AC上，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.某品牌运动鞋的进价为每双200元，售价为每双300元，该商店准备举行打折促销活动，要求利润率不低于，如果将这种品牌的运动鞋打x折销售，则能正确表示该商店的促销方式的不等式是( )
A. B.
C. D.
10.如图，在中，，，，，则AB的长为( )
A. 3 B. C. 2 D.
11.若关于x的不等式组的解集为，则的值为( )
A. B. 5 C. 6 D.
12.如图，中，的平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D，的延长线于点M，于点若，，则AB的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.已知是关于x的一元一次不等式，则______.
14.______.
15.若，则的值是______.
16.如图，将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位得到位置，下列结论：
①且；
②；
③若，，则AB边扫过的图形的面积为5；
④若四边形的周长为a，三角形ABC的周长为b，则其中正确的结论是______.
三、解答题：本题共11小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题4分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
18.本小题6分
因式分解：
；
19.本小题5分
已知关于x，y的方程组的解满足不等式组求满足条件的m的整数值.
20.本小题4分
如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题：
作出关于坐标原点O成中心对称的；
将绕点C逆时针旋转，画出旋转后的
21.本小题6分
如图，在中，，AD平分，于E，点F在边AC上，连接
若，，求DE的长；
若，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.
22.本小题8分
我校即将进行秋季实践活动，计划租用A、B两种型号的大巴车，已知租用1辆A型大巴车和2辆台B型大巴车，共需费用1100元；4辆台A型大巴车比5辆B型大巴车的费用多500元.
求A型大巴车和B型大巴车每辆各需多少元.
若计划租用A、B两种型号大巴车共30辆，且A型大巴车的辆数不少于B型大巴车的一半，两种型号大巴车的租用采购总费用不超过11500元，共有哪几种采购方案？
在的条件下，直接写出采用哪一种租用方案可使总费用最低，最低费用是多少元？
23.本小题6分
如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、
分别求出这两个函数的解析式；
求的面积；
根据图象直接写出不等式的解集．
24.本小题6分
【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“”分组，二是“”分组.两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“2，2”分组.
例如：
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法.
【学以致用】：因式分解：
【拓展延伸】：已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积.
25.本小题8分
如图，已知OA、OC分别是的外角和的平分线，连接
求证：BO平分；
若，且与的面积分别是12和18，求的周长.
26.本小题9分
新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”.
在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是______填序号；
关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有3个整数解，试求m的取值范围.
27.本小题10分
阅读下面材料，并解决问题：
如图，1，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为1，，2，求的度数.
为了解决本题，我们可以以AP为一边在AP右侧作等边三角形，连接，此时可证≌，这样就可以将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出的度数.请你写出完整的解题过程；
请你利用第题的解答思想方法，解答下面问题.
基本运用
如图2，点P为等边外一点，，，，求PC长.
能力提升
如图3，在中，，，，点P为内一点，连接AP，BP，CP，则的最小值是______.
参考答案
1.C
解：选项图形是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.选项图形是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D.选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：
2.C
解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误；
C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确；
D、用反证法证明：“已知，，求证：”第一步应先假设，故本选项说法错误；
故选：
3.A
解：过点C作于点H，则，
，
，
，
，
，
故选：
4.B
解：不等式的解是，
对于一次函数，当时，，
即当时，一次函数的图象上x的上方．
故选：
5.D
解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意；
故选：
6.A
解：如图，连接OB，过点O作于D，于E，于F，
在中，，，，
由勾股定理得：，
点O是、的平分线的交点，，，，
，，
，
，
，即，
解得：，
则点O到边AB的距离为2cm，
故选：
7.B
解：将上方的方块组先绕点P顺时针旋转，再向下平移4格，上方的“T”型方块组阴影部分落下后刚好填满下方两层的空格．
故选：
8.D
解：，，AD是的中线，
，
，
，
，
故选：
9.B
解：如果将这种运动鞋打x折销售，根据题意得，
故选：
10.C
解：如图，延长AD到点E，使，连接CE，
则，
，
，
，，
≌，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
故选：
11.D
解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
不等式组的解集为：，
关于x的不等式组的解集为，
，
解得：，
故选：
12.C
解：连接AD、CD，
的平分线BD和AC边的垂直平分线DE交于点D，
，
交BA的延长线于点M，于点N，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：
13.
解：由题意得：且，
解得：且，
，
故答案为：
14.
解：
，
则原式
故答案为：
15.2026
解：，
，
，
故答案为：
16.①②④
解：将一块三角板ABC沿一条直角边CB所在的直线向右平移m个单位得到位置，
且，故①符合题意；
，
，
，故②符合题意；
当，，则AB边扫过的图形的面积为：，故③不符合题意；
四边形的周长为，
的周长为，
由平移可知，，
，
，即，故④符合题意，
综上，符合题意的有①②④，
故答案为：①②④．
17.解：解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为
其解集在数轴上表示为：如图所示．

18.解：；
19.解：，
①，得，③
②-③，得，
所以，
把代入①，得，
所以
将代入不等式组，
得，
即，
解得，
则m的整数值为或
20.解：如图，即为所求；
如图，即为所求．

21.解：，，，
，
平分，于E，，
，
，
，
解得，
的长为
，
理由：于E，，
，
平分，于E，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
22.解：设租用1辆A型大巴车需x元，租用1辆B型大巴车需y元，
根据题意得：，
解得：
答：租用1辆A型大巴车需500元，租用1辆B型大巴车需300元；
设租用m辆A型大巴车，则租用辆B型大巴车，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为10，11，12，
共有3种租车方案，
方案1：租用10辆A型大巴车，20辆B型大巴车；
方案2：租用11辆A型大巴车，19辆B型大巴车；
方案3：租用12辆A型大巴车，18辆B型大巴车；
选择方案1所需总费用为元；
选择方案2所需总费用为元；
选择方案3所需总费用为元，
，
采用方案1可使总费用最低，最低费用是11000元．
23.解：将点P 代入，
得，
解得，
将点P 代入，
得，
解得，
这两个函数的解析式分别为和；
在中，令，得，
在中，令，得，
由函数图象可知，当时，
24.解：
；
因为，
所以，
即，
所以，，
因为a，b，c为等腰的三边长，
所以或，
时，底边上的高是：，
面积是：，
时，底边上的高是：，
面积是：
答：等腰的面积是48或
25.证明：如图，过点O分别作，，，垂足分别为点F、G、H，
平分，CO平分，
，，
等量代换，
，，
点O在的角平分线上，
即BO平分；
解：的面积为12，
，
，
，
，
，
，
，
即，
整理得，
，
的周长为
26.解：①去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，；
②，
去括号得，，
移项合并同类项得，；
③，
移项得，，
系数化为1得，；
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
和在的范围内，所以方程①和③是不等式组的“关联方程”．
故答案为：①③．
，
解得，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
解得；
原方程去分母得，，
移项合并同类项得，；
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
，
解得，
不等式组有3个整数解，
，
解得，
27.解：和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
；
如图②，将绕点C顺时针旋转60度，得到，连接PE，AE，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
在中，，，，
，
，
绕B点瞬时针方向旋转，
如图3所示，
，
，，，
，
绕点B顺时针方向旋转，得到，
，，，
是等边三角形，
，，
，
，
当C、P、、四点共线，的值最小，
在中，，
故答案为：

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