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2024-2025学年辽宁省沈阳市法库县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.由个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图为( )
A.
B.
C.
D.
2.如图，已知与位似，位似中心为点，且：：，则线段：的值为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
3.如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是( )
A. B. C. D.
4.若反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而减小，则( )
A. B. C. D.
5.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.电路上在电压保持不变的条件下，电流与电阻成反比例关系，与的函数图象如图，关于函数解析式是( )
A.
B.
C.
D.
7.小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点若，，则的长为( )
A. B. C. D.
9.如图，为等边三角形，点，分别在边，上，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，在中，点在边上，则在下列四个条件中：；；；，能满足与相似的条件是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据：
实验种子数量颗
发芽种子数量颗
种子发芽的频率精确到
则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为______结果精确到
12.若一元二次方程为常数的一个根是，则另一个根是______．
13.如图，，是的两条中线，连接若，则 ______．
14.如图，矩形的对角线，相交于点，过点作交于点，若，，则的长为______．
15.如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
解方程：；
解方程：．
17.本小题分
如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点．
求证：；
若，求的长．
18.本小题分
在金属、纸板、果皮、电池等几种垃圾中，金属和纸板为可回收物，果皮定为厨余垃圾，电池为有害垃圾为了普及垃圾分类的知识，某老师做了这么一个活动：在四张相同的小卡片上分别写上字母代表金属、代表纸板、代表果皮、代表电池，把四张小卡片装入一个不透明的袋子里，让甲、乙两名同学同时从袋子中摸出一张卡片．
请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
求出甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率．
19.本小题分
在菱形中，对角线与交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，已知，，求长．
20.本小题分
某商店以每件元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价元销售，售出件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，单价每降低元时，月销售量可增加件，如何定价，才能使以后每个月的利润达到元？
21.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，反比例函数在第二象限内的图象经过点．
求反比例函数的表达式．
点是轴上一点，若是直角三角形，请直接写出点的坐标．
22.本小题分
如图，已知正方形中，为延长线上一点，且，、分别为、的中点，连交于，交，于点．
求证：；
求证：；
过作于点，连，则的值．
23.本小题分
在坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，过点的直线交轴于，点是直线上的一动点．
求直线的解析式；
如图，点在运动过程中，当时，求点的坐标；
若将线段绕点旋转，点落在轴点处，试问平面内是否存在一点，使得以点、、、四点为顶点形成的四边形是正方形，若存在，写出点的坐标．
参考答案
1.
解：这个组合体的左视图为：
故选：．
2.
解：与位似，
∽，，
∽，
：：：，
与相似比为：，
：：．
故选：．
3.
解：根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有种，
可配成紫色，
故选：．
4.
解：反比例函数在每个象限内的函数值随的增大而减小，
．
故选：．
5.
解：由题可得：在四边形中，，
四边形为菱形，
，，
，
，
．
故选：．
6.
解：当，时，
电压，
．
故选：．
7.
解：根据题意，可列方程：，
故选：．
8.
解：，，
，
，
四边形是菱形，点在上，点在的延长线上，
，，
∽，
，
，
，
故选：．
9.
解：是等边三角形，
，，
，
．
，
，
∽，
，
，
设，
则，
，
，
，
故选：．
10.
解：当，，所以∽；故正确；
当，，所以∽；故正确；
当，即：：，，所以∽；故正确；
当，即：：，
而，
所以不能判断和相似，故错误；
能满足与相似的条件是．
故选D．
11.
解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在左右，即估计它能发芽的概率为，
故答案为：．
12.
解：设方程的根为：，，
则，
解得．
故答案为：．
13.
解法一：，是的两条中线，
是的中位线，
，，
∽，
，即，
解得．
解法二：，是的两条中线，
，
，
故答案为：．
14.
解：连接，
四边形是矩形，对角线，相交于点，，，
，，，，
交于点，
垂直平分，
，
，且，
，
解得，
故答案为：．
15.
解：作关于直线的对称点，连接，
，，
，
过作于，
在正方形中，有，
四边形，
，，
在中，
，
，
故答案为：．
16.解：，
，
，
或，
，；
，
，
或，
，．
17.证明：连接，．
点，分别为，的中点，
，．
又，
．
又，
四边形是平行四边形．
与互相平分，
；
解：在中，
为的中点，，
．
又四边形是平行四边形，
．
18.解：根据题意画树状图如下：
；
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的结果和有种，
甲、乙两名同学摸出的卡片上的字母代表的都属于“可回收物”的概率．
19.解：取的中点，连接，则，
四边形是菱形，对角线与交于点，，
，，
，，，
点在的延长线上，且，
，
∽，
，
，
的长为．
20.解：设单价降低了元，则定价为元，月销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：定价为每件元时，才能使以后每个月的利润达到元．
21.解：，，，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
点的坐标为，
反比例函数在第二象限内的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为：；
点是轴上一点，若是直角三角形，
有以下两种情况：
当时，如图所示：
，
，
，
四边形是矩形，
，
设点的坐标为，则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
整理得：，
，，
由，解得：不合题意，舍去，
由，解得：，
点的坐标为；
当时，如图所示：
设，
则，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
22.证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
≌，
；
证明：延长至，且使，连接、，如图所示：
则，
四边形是矩形，
，，，
在和中，，
≌，
，
，，
为的中点，
为的中位线，
，
；
解：过点作交于，如图所示：
则，
，
，
，
，
，，
由角的互余关系得：，
，
在和中，，
≌，
，，
是等腰直角三角形，
，
．
23.解：直线，
令，则，
，
令，则，
，
设直线的解析式为，
解得
，
即直线的解析式为：；
为上一点，
设，
，，
，，
，
，
，
或，
或，
或；
如图，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点，
由题意得：，设点，
，，
，
在和中，
≌，
则，，
解得：或，
则点或，
当时，
则，即点，
由中点坐标公式得，点横坐标，点的纵坐标为，
点；
当点时，
同理可得：点，
综上，点的坐标为：或

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