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广西壮族自治区钦州市共美学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．-2的倒数是（ ）
A．-2 B． C． D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（　　）
A．二、三象限 B．一、三象限 C．三、四象限 D．二、四象限
4．我国是世界上严重缺水的国家之一，目前我国每年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿用科学记数法表示为（ ）
A．275×104 B．2.75×104 C．2.75×1012 D．27.5×1011
5．下列几何体的左视图为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
6．分式方程的解是（ ）
A． B．1 C． D．无解
7．笔筒中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
9．如图，在中，E是的中点，交于点F，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，过点，，，点B是x轴下方上的一点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
11．如图， ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
12．如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，于点F，交于点P．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．比较实数的大小：3 （填“＞”、“＜”或“=”）．
14．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab= ．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= ．

16．若，，则代数式的值为 ．
17．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c= ．
18．如图，在菱形中，，，是边的中点，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值是 ．
三、解答题
19．计算：解不等式组．
20．先化简再求值：，其中，．
21．如图，在中，，，作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．
(1)由题意补全图形；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：．
22．为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动，学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图的折线统计图表示：（甲为实线，乙为虚线）
依据折线统计图，得到下面的表格：
射击次序（次） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲的成绩（环） 8 9 7 9 8 6 7 8 10 8
乙的成绩（环） 6 7 9 7 9 10 8 7 7 10
(1)甲成绩的众数是_____环，平均数是_____环，乙成绩的中位数是_____环；
(2)请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定？
(3)该校射击队要参加市组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率．
23．为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度．一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的、两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在处海域．如图所示，海里，在处测得在北偏东的方向上，处测得在北偏西的方向上，在海岸线上有一灯塔，测得海里．
(1)求出A与C距离（结果保留根号）．
(2)已知在灯塔周围100海里范围内有暗礁群，我在处海监船沿前往处盘查，途中有无触礁的危险（参考数据：，，．
24．为推进主题公园设施建设，某城市公园管理局准备改扩建绿化一块草坪场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元）
甲 8000
乙 x 6000
信息二
甲工程队施工，所需天数与乙工程队施工，所需天数相等．
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工20天，且完成的施工面积不少于，求该段时间内城市公园管理局至少需要支付多少施工费用？
25．如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．
（1）求证：PQ是⊙O的切线；
（2）求证：BD2=AC BQ；
（3）若AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，且tan∠PCD=，求⊙O的半径．
26．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)E是线段上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F．
①求的边上的高的最大值；
②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C C B C A B B
题号 11 12
答案 A C
1．B
解：-2的倒数是-，
故选：B．
2．B
解：A、原式，故本选项错误；
B、原式，故本选项正确；
C、与不是同类项，无法合并，故本选项错误；
D、原式，故本选项错误；
故选：B．
3．D
根据y=的图像经过点P（-1,2），代入可求的k=-2，因此可知k＜0，即图像经过二四象限.
故选D
4．C
解：将27500亿用科学记数法表示为：2.75×1012．
故选C．
5．C
解：A．球的左视图是圆；
B．圆台的左视图是梯形；
C．圆柱的左视图是长方形；
D．圆锥的左视图是三角形．
故选：C．
6．B
解：∵，
∴，解得，
但是，
综上，
经检验是原分式方程的解．
故选：B．
7．C
解：∵在标有的号码的10支铅笔中，标号为3的倍数的有3、6、9这3种情况，
∴抽到编号是3的倍数的概率是，
故选：C．
8．A
设方程的另一个根为t，
根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
故选A．
9．B
解：∵四边形是平行四边形，是的中点，
，
，
，
，
故选：B．
10．B
解：连接，如图所示，
，
，
∴，
，
∵=，
，
故选：B．
11．A
解：∵ ABCD的周长为36，
∴2（BC+CD）=36，则BC+CD=18．
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，BD=12，
∴OD=OB=BD=6．
又∵点E是CD的中点，DE=CD，
∴OE是△BCD的中位线，∴OE=BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=BD+（BC+CD）=6+9=15，
即△DOE的周长为15．
故选A
12．C
解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
13．＞
解：将3化成，
因为9>5，
所以3大于.
故答案为：＞．
14．12
∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=12，
故答案为：12．
15．3
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×6=3．
故答案为3．
16．-12
详解：，，
，
故答案为
17．7
∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴
又∵c为奇数，
∴c=7，
故答案为：7．
18．
解：四边形是菱形，
，
，，
．
作关于的对称点，过作的垂线，垂足为，与交于点，此时的最小值，其值为．
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
19．不等式组的解集为．
解：解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
20．，
解：
，
当，时，
原式．
21．(1)见详解
(2)见详解
（1）解：补全图形如下：
（2）证明：如图，连接，
由（1）知，是线段的垂直平分线，
∴．
∴．
∵，，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴．
22．(1)8、8，7.5
(2)甲成绩更稳定
(3)
（1）解：甲射击成绩次数最多的是8环，
所以甲成绩的众数是8环，
甲成绩的平均数是（环），
乙射击成绩重新排列为：6、7、7、7、7、8、9、9、10、10，
则乙成绩的中位数为环，
故答案为：8、8，7.5；
（2）解：甲成绩的方差为（环，
乙成绩的平均数为（环，
所以乙成绩的方差为（环，
故甲成绩更稳定；
（3）解：用、表示男生，用、表示女生，列表得：
共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况，
恰好选到1男1女的概率为．
23．(1)与的距离为海里
(2)海监船沿前往处盘查，无触礁的危险
（1）解：如图所示，过点作于点，
可得，，
设，
在中，，
在中，，
海里，
，
解得：，
则，
答：与的距离为海里；
（2）解：如图所示，过点作于点，
在中，
，，
，
故海监船沿前往处盘查，无触礁的危险．
24．(1)400
(2)该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用
（1）解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
的值是.
（2）解：设甲工程队施工天，则乙工程队单独施工天，
由题意得：，
解得：，
设该段时间城市公园管理局需要支付元施工费用，
则，即，
，
随着的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值，
该段时间内城市公园管理局至少需要支付140000元施工费用．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
解：（1）证明：∵PQ∥AB，
∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠BDQ=∠ACD，
如图1，连接OB，OD，交AB于E，
则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，
∴2∠ODB+2∠O=180°，
∴∠ODB+∠O=90°，
∴PQ是⊙O的切线；
（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，
∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，
∴AD=BD，
∵∠DBQ=∠ACD，
∴△BDQ∽△ACD，
∴，
∴BD2=AC BQ；
（3）解：方程可化为x2﹣mx+4=0，
∵AC、BQ的长是关于x的方程的两实根，
∴AC BQ=4，
由（2）得BD2=AC BQ，
∴BD2=4，
∴BD=2，
由（1）知PQ是⊙O的切线，
∴OD⊥PQ，
∵PQ∥AB，
∴OD⊥AB，
由（1）得∠PCD=∠ABD，
∵tan∠PCD=，
∴tan∠ABD=，
∴BE=3DE，
∴DE2+（3DE）2=BD2=4，
∴DE=，
∴BE=，
设OB=OD=R，
∴OE=R﹣，
∵OB2=OE2+BE2，
∴R2=（R﹣）2+（）2，
解得：R=，
∴⊙O的半径为．
26．(1)
(2)①；②存在，，．
（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）①设直线的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为：．
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的边上的高为，如图，
设点E为，则，
则，
在中，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②存在．
∵
∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形．
当时，
∵轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴点F的纵坐标为3，把代入，
得，
解得，（舍去），
当时，，
∴．
当时，如图：作于点G，
则，
∴，
解得，（舍去），
当时，，
∴．
综上所述，符合条件的点F的坐标为，．

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