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2024-2025学年上海市南汇三中九年级（下）月考数学试卷（5月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中是无理数的是( )
A. B. C. D.
2.下列方程中，没有实数根的方程是( )
A. B. C. D.
3.已知直线经过第一、二、四象限，那么直线一定不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析．在此问题中，样本是指( )
A. 80 B. 被抽取的80名初三学生
C. 被抽取的80名初三学生的体重 D. 该校初三学生的体重
5.如图，已知是绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是
A. B. C. D.
6.在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等
B. 一组对边相等，一组对角相等
C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线
D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.计算：______.
8.分解因式： .
9.方程的根是______.
10.如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为______.
11.如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是______.
12.抛物线在y轴右侧部分呈现______的趋势填“上升”或者“下降”
13.在六张形状、质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有：线段、正三角形、平行四边形、矩形、正五边形、圆，现将它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是______.
14.如图，传送带AB和地面BC所处斜坡的坡度为1：3，如果它把物体从地面送到离地面2米高的地方，那么物体所经过的路程是______米结果保留根号
15.为了解区内AI赋能教学实践的情况，从3000名九年级学生中，随机抽取100名学生进行了关于AI辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下：
满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意
频数 5 15
频率
根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______.
16.如图，AD、BE是的中线，交于点O，设，，那么向量用向量、表示是______.
17.如图，正方形ABCD中，，E为AD中点，点G、F分别在边DC、AB上.联结BE、FG，且线段BE、FG的夹角为若，则FB的长为______.
18.如图，已知矩形ABCD中，，以点B为圆心，AB为半径作，交AB的延长线于点E，联结再以点A为圆心，AD为半径作若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
计算：
20.本小题8分
解方程：
21.本小题8分
如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G，
求证：；
当E为弧中点时，求证：
22.本小题8分
已知抛物线经过点，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点
求这条抛物线的表达式；
如果P是这条抛物线对称轴上一点，，求点P的坐标；
在第小题的条件下，当点P在x轴上方时，求的正弦值．
23.本小题8分
如图，在中，，，，点D是边AC上一点，，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点点F不与A、C重合，作，交射线BC于点
用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长保留作图痕迹；
当点G的边BC上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
联结EG，当与相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系．
参考答案
1.D
解：原式，故A不是无理数；
B.原式，故B不是无理数；
C.是分数，故C不是无理数；
D.是无理数.
故选：
2.A
解：原方程变形为，即，，所以方程没有实数根，故A符合题意；
B.，所以原方程有实数根，故B不符合题意；
C.原方程变形为，解得，当时，分式方程左边右边，因此是原分式方程的根，故C不符合题意；
D.原方程变形为，即，，所以原方程有实数根，故D不符合题意．
故选：
3.B
解：直线经过第一、二、四象限，
，，
直线一定不经过第二象限．
故选：
4.C
解：样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选
5.D
解：是由旋转得到，
，，
，
，
故A，B，C正确，
故选：
6.C
解：A、一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，故该选项错误，不符合题意；
B、一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的这组对边平行或另一组对边相等，故该选项错误，不符合题意；
C、根据一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的这组对边也相等，故是平行四边形，该选项正确，符合题意；
D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的这组对边平行，故该选项错误，不符合题意．
故选
7.
解：原式
故答案为
8.
解：
故答案是
9.4
解：方程两边同时平方，得，
解得：，或，
当时，原方程不成立，
当时，方程左边，方程右边，方程成立．
故答案为
10.
解：由题意，方程有两个相等的实数根，
故答案为：
11.5
解：根据题意得：
这个多边形的边数是，
故答案为：
12.下降
解：中的，，
抛物线开口向下，对称轴为y轴，
轴右侧部分下降，
故答案为：下降．
13.
解：在六张形状、质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有：线段、正三角形、平行四边形、矩形、正五边形、圆，且从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段、矩形、圆，
从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是：
故答案为：．
14.
解：由题意可得：，；
故在中，
故答案为：
15.1800人
解：估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是为：人，
故答案为：1800人．
16.
解：、BE是的中线，交于点O，
，
，
，
，
故答案为
17.
解：如图，连接EG，BG，过点F作于点H，
线段BE、FG的夹角为，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
为AD中点，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
故答案为：
18.
解：交点在CE时，此时与相切，，
如图2，
当交点在BC上时，，
综上所述：，
故答案为：，
19.解：
20.解：去分母得：，
整理得：，即，
分解因式得：，
解得：或，
检验：当时，，
当时，，
是增根，分式方程的解为
21.证明：连接AE，AF，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：为弧中点，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
即
22.解：抛物线经过点，，
，
解得：，
这条抛物线的表达式为；
，，
这条抛物线的对称轴为直线
设点P的坐标为
，点B的坐标为，点C的坐标为
解得或
点P的坐标为或；
作，垂足为点
点，点，点，
设直线BC的解析式为，
代入解得，
直线BC的解析式为，
把代入得，，
直线BC与对称轴相交于点，
，
，
解得

23.解：作线段AD的垂直平分线，交AB于E，交AC于H，如图1，
点E即为所求作．
在中，，，
，
圆E的半径长为5；
当点G的边BC上时，如图2所示．
，，，
，，
∽，
，
，
；
①当点G在BC上时，
Ⅰ当时，
过点E作于N，如图2，
，
∽，
∽，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
与相交；
Ⅱ当时，如图3，
则有，
，，
四边形CGEH是矩形，
，，
，
与外离；
②当点G在BC延长线上时，设GE交AC于M，如图4，
，，
∽，
，
，
，，，
，，
，
在和中，
≌，
，，
，，
，
与外离．
综上所述：当与相似时，与相交或外离．

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